2026年浙江省苏教版高中数学第10章极限应用同步练习题

2026年浙江省苏教版高中数学第10章极限应用同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在函数f(x)＝ln(x²－2x＋3)的定义域内，求x→2时f(x)的极限值。下列解法正确的是（）A.直接代入f(2)＝ln(2²－2×2＋3)＝ln3B.因为x²－2x＋3＝0，所以极限不存在C.令t＝x²－2x＋3，当x→2时t→5，所以极限值为ln5D.需要用洛必达法则，因为ln(x²－2x＋3)是“0•∞”型未定式2.已知数列{a_n}的通项公式为a_n＝(n+1)/n(n+2)，求该数列前n项和S_n的极限。下列计算正确的是（）A.S_n＝1/2+1/6+1/12+…+1/n(n+2)，用裂项相消法可得极限为1B.S_n＝(n+1)/n(n+2)的极限为0，所以S_n的极限为0C.需要用积分法求数列极限，因为数列和是连续函数的离散形式D.S_n＝1/2－1/(n+2)，所以极限为1/23.函数f(x)＝(x²－1)/(x－1)在x→1时的极限值为（）A.0B.1C.2D.不存在4.若函数f(x)＝e^x－1/x在x→0时的极限值为L，则函数g(x)＝x²ln(x+1)在x→0时的极限值为（）A.LB.L²C.L/2D.05.已知函数f(x)＝sin(1/x)在x→0时极限不存在，下列说法正确的是（）A.因为sin(1/x)在x→0时振荡，所以极限不存在B.极限不存在意味着f(x)在x→0时无界C.可以用夹逼定理证明该极限存在D.该函数在x→0时连续6.函数f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为（）A.0B.1C.ln3D.37.已知函数f(x)＝(ax+b)/(cx+d)，若lim(x→∞)f(x)＝1/2，且f(1)＝2，则a∶c的值为（）A.1∶2B.2∶1C.3∶4D.4∶38.函数f(x)＝xlnx在x→0⁺时的极限值为（）A.0B.1C.-1D.不存在9.已知数列{a_n}满足a_1＝1，a_(n+1)＝(1+a_n)/(1+a_(n+1))，求lim(n→∞)a_n的值。A.1B.2C.0D.不存在10.函数f(x)＝|x|sin(1/x)在x→0时的极限值为（）A.0B.1C.-1D.不存在二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝(x²－4)/(x－2)在x→2时的极限值为______。2.已知函数f(x)＝e^(kx)，若lim(x→0)(f(x)－1)/x＝3，则k＝______。3.函数f(x)＝sinx－cosx在x→0时的极限值为______。4.若函数f(x)＝(ax²+bx+c)/(x－1)在x→1时的极限值为5，则a+b+c＝______。5.函数f(x)＝ln(x+1)－x在x→0时的极限值为______。6.已知数列{a_n}满足a_n＝1/(n+1)ln(n+1)，求lim(n→∞)a_n的值______。7.函数f(x)＝(e^x－1)/sinx在x→0时的极限值为______。8.若函数f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为L，则函数g(x)＝xln(1+x)在x→0时的极限值为______。9.函数f(x)＝sinx/x在x→0时的极限值为______。10.已知函数f(x)＝(x²－1)/(x－1)在x→1时的极限值为______。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)在x→a时极限存在，则f(x)在x→a时连续。（）2.函数f(x)＝1/x在x→0时极限不存在，因为1/x在x→0时无界。（）3.若数列{a_n}单调递增且lim(n→∞)a_n存在，则该极限一定是1。（）4.函数f(x)＝e^x在x→－∞时的极限值为0。（）5.若函数f(x)在x→a时极限存在，则f(x)在x→a时一定可导。（）6.函数f(x)＝sin(1/x)在x→0时极限不存在，因为sin(1/x)在x→0时振荡。（）7.若函数f(x)＝(x²－1)/(x－1)在x→1时的极限值为2，则f(1)＝2。（）8.函数f(x)＝lnx在x→0⁺时的极限值为－∞。（）9.若数列{a_n}满足a_n→A(n→∞)，则数列{a_n}的前n项和S_n→A(n→∞)。（）10.函数f(x)＝|x|在x→0时的极限值为0。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)＝(x²－4)/(x－2)在x→2时的极限值，并说明理由。2.已知函数f(x)＝e^(kx)，若lim(x→0)(f(x)－1)/x＝3，求k的值。3.求函数f(x)＝sinx－cosx在x→0时的极限值，并说明理由。4.若函数f(x)＝(ax²+bx+c)/(x－1)在x→1时的极限值为5，求a+b+c的值。5.求函数f(x)＝ln(x+1)－x在x→0时的极限值，并说明理由。6.已知数列{a_n}满足a_n＝1/(n+1)ln(n+1)，求lim(n→∞)a_n的值。7.求函数f(x)＝(e^x－1)/sinx在x→0时的极限值，并说明理由。8.若函数f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为L，求函数g(x)＝xln(1+x)在x→0时的极限值。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某物体做自由落体运动，其位移s(t)＝4.9t²(m)，求该物体在t→2s时的瞬时速度。2.已知函数f(x)＝(x²－1)/(x－1)，求x→1时f(x)的极限值，并说明理由。3.某工厂生产某种产品的成本函数C(x)＝x²－2x＋5(元)，求当产量x→10时平均成本的变化趋势。4.已知函数f(x)＝ln(x+1)－x，求x→0时f(x)的极限值，并说明理由。5.某城市人口增长模型为P(t)＝P₀e^(kt)，若lim(t→∞)P(t)/t＝10，求k的值。6.已知函数f(x)＝(e^x－1)/x，求x→0时f(x)的极限值，并说明理由。7.某商品的需求函数为Q(p)＝100/(p+1)，求当价格p→10时需求量的变化趋势。8.已知函数f(x)＝sinx/x，求x→0时f(x)的极限值，并说明理由。【标准答案及解析】一、单项选择题1.C解析：令t＝x²－2x＋3，当x→2时t→5，所以极限值为ln5。其他选项错误：A直接代入错误，因为x=2在定义域内；B错误，因为x²－2x＋3≠0；D错误，因为不是“0•∞”型未定式。2.A解析：S_n＝1/2+1/6+1/12+…+1/n(n+2)，用裂项相消法可得S_n＝1－1/(n+2)，所以极限为1。其他选项错误：B错误，因为数列和的极限不等于单项极限；C错误，数列极限不能用积分法；D错误，因为S_n＝1－1/(n+2)。3.C解析：f(x)＝(x²－1)/(x－1)＝x+1(x→1时)，所以极限值为2。其他选项错误：A、B、D均与计算结果不符。4.C解析：f(x)＝e^x－1/x在x→0时的极限值为1，所以g(x)＝x²ln(x+1)在x→0时的极限值为1/2（用洛必达法则或等价无穷小）。其他选项错误：A、B、D均与计算结果不符。5.A解析：sin(1/x)在x→0时振荡，所以极限不存在。其他选项错误：B错误，振荡不等于无界；C错误，夹逼定理不适用；D错误，该函数在x→0时不连续。6.C解析：f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为ln3（用等价无穷小或洛必达法则）。其他选项错误：A、B、D均与计算结果不符。7.B解析：lim(x→∞)f(x)＝a/c＝1/2，且f(1)＝(a+b)/(c+d)＝2，解得a∶c＝2∶1。其他选项错误：A、C、D均与计算结果不符。8.A解析：f(x)＝xlnx在x→0⁺时的极限值为0（用换元法t＝1/x）。其他选项错误：B、C、D均与计算结果不符。9.A解析：数列{a_n}满足a_(n+1)＝(1+a_n)/(1+a_(n+1))，变形得a_(n+1)²－a_(n+1)＋a_n－1＝0，解得a_n→1(n→∞)。其他选项错误：B、C、D均与计算结果不符。10.A解析：f(x)＝|x|sin(1/x)在x→0时的极限值为0（用夹逼定理，因为－|x|≤|x|sin(1/x)≤|x|，且－|x|→0）。其他选项错误：B、C、D均与计算结果不符。二、填空题1.2解析：f(x)＝(x²－4)/(x－2)＝x+2(x→2时)，所以极限值为2。2.3解析：f(x)＝e^(kx)，lim(x→0)(f(x)－1)/x＝k＝3。3.0解析：f(x)＝sinx－cosx在x→0时的极限值为sin0－cos0＝0。4.6解析：f(x)＝(ax²+bx+c)/(x－1)在x→1时的极限值为a+b+c＝5。5.0解析：f(x)＝ln(x+1)－x在x→0时的极限值为ln1－0＝0。6.0解析：a_n＝1/(n+1)ln(n+1)→0(n→∞)。7.1解析：f(x)＝(e^x－1)/sinx在x→0时的极限值为1（用洛必达法则或等价无穷小）。8.1/2解析：f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为ln3，g(x)＝xln(1+x)在x→0时的极限值为1/2（用等价无穷小）。9.1解析：f(x)＝sinx/x在x→0时的极限值为1（用夹逼定理）。10.2解析：f(x)＝(x²－1)/(x－1)＝x+1(x→1时)，所以极限值为2。三、判断题1.×解析：极限存在不意味着连续，例如f(x)＝1/x在x→0时极限不存在但连续。2.×解析：1/x在x→0时振荡，所以极限不存在，但无界不等于极限不存在。3.×解析：单调递增且极限存在不一定是1，例如a_n＝1/(n+1)→0。4.×解析：e^x在x→－∞时的极限值为0。5.×解析：极限存在不意味着可导，例如f(x)＝|x|在x→0时不可导但极限存在。6.√解析：sin(1/x)在x→0时振荡，所以极限不存在。7.×解析：极限值为2不意味着f(1)＝2，例如f(x)＝(x²－1)/(x－1)在x→1时极限值为2但f(1)无定义。8.√解析：lnx在x→0⁺时趋于－∞。9.×解析：数列和的极限不等于单项极限，例如a_n＝1/(n+1)→0但S_n＝ln2。10.√解析：|x|在x→0时的极限值为0。四、简答题1.解：f(x)＝(x²－4)/(x－2)＝x+2(x→2时)，所以极限值为2。2.解：f(x)＝e^(kx)，lim(x→0)(f(x)－1)/x＝k＝3，所以k＝3。3.解：f(x)＝sinx－cosx在x→0时的极限值为sin0－cos0＝0。4.解：f(x)＝(ax²+bx+c)/(x－1)在x→1时的极限值为a+b+c＝5。5.解：f(x)＝ln(x+1)－x在x→0时的极限值为ln1－0＝0。6.解：a_n＝1/(n+1)ln(n+1)→0(n→∞)，所以极限值为0。7.解：f(x)＝(e^x－1)/sinx在x→0时的极限值为1（用洛必达法则或等价无穷小）。8.解：f(x)＝(3^x－1)/x在x→0时的极限值为ln3，g(x)＝xln(1+x)在x→0时的极限值为1/2（用等价无穷小）。五、应用题1.解：s(t)＝4.9t²，瞬时速度v(t)＝s'(t)＝9.8t，v(2)＝19.6m/s。2.解：f(x)＝(x²－1)/(x－1)＝x+1(x→1时)，所以极限值为2。3.解：C(x)＝x²－2x