广东省东莞市两校联考2025~2026学年高二下册7月期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，且，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.2.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（）A. B. C. D.3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.4.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）A.0.035 B.0.14 C.0.10 D.05.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-60786.已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则A. B.C. D.7.已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（）A.24 B.36 C.48 D.728.定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（）A.10 B.12 C.14 D.16二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（）（参考数据：①；②；③）A.这次考试成绩超过100分的约有500人B.这次考试分数低于70分的约有27人C.D.从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为10.关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）A.各项系数之和为32 B.常数项为80C.项的系数为 D.展开式一共有21项11.已知函数，则（）A.在上有6个零点 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期是 D.的值域为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数（且），若存在2个零点，则a的一个取值为__________．13.的展开式中的系数为__________.14.已知函数，都有，则的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数，其中．（1）若函数在处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）的结论下，若关于的不等式，（），当时恒成立，求的值．16.甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗．（1）甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；（2）甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率；（3）若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束.例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者.设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.17.从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.①直接写出，，的值；②求与的关系式，并求出.18.在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”．（1）若数组与数组以数表形式表示如下：判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”；（2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；（3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望．19.（1）已知，求的最大值与最小值；（2）求函数的单调区间.（3）若关于的不等式存在唯一的整数解，求实数的取值范围.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，且，则下列结论错误的是（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：根据排列数、组合数公式计算可得.解答过程：对于A，因为，所以成立，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，所以，故D正确．故选：B．2.通讯中常采取重复发送信号的办法来减少在接收中可能发生的错误，假定接收一个信号时发生错误的概率是，为减少错误，采取每一个信号连发3次，接收时以“少数服从多数”的原则判断，则判错一个信号的概率为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，另一种情形是两次正确一次不正确，分别求出相应的概率，然后利用对立事件的概率公式求出判错一个信号的概率即可．解答过程：解：得到正确信号的概率有两种情形，一种情形是三次正确，概率为，另一种情形是两次正确，一次不正确，概率为判错一个信号的概率为，故选：B.方法提示：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，以及对立事件等有关知识，属于中档题．3.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据导数的四则运算法则，求导即可得出答案.解答过程：对于A项，因为，故A项错误；对于B项，因为，故B项错误；对于C项，因为，故C项错误；对于D项，因为，故D项正确.故选：D.4.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查.为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题.回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做.若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（）A.0.035 B.0.14 C.0.10 D.0答案：B解析：思路：根据全概率公式列式求值.解答过程：抛掷两枚骰子，基本事件有个，其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个.所以学生回答第一、第二个问题的概率均为.第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为.设该地区中学生吸烟人数的比例约为，由题意：，解得.结合选项，最接近的是（选项B）故选：B5.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-6078答案：D解析：思路：先求导，再令即可求解.解答过程：由，两边同时求导得，令，则.6.已知定义在上的函数f(x)，f’(x)是它的导函数，且对任意的，都有恒成立，则A. B.C. D.答案：D解析：思路：构造函数，求函数导数，利用函数单调性即可得大小关系．解答过程：由题得，即，令，导函数，因此g(x)在定义域上为增函数．则有，代入函数得，由该不等式可得，故选D．方法提示：本题考查构造函数和导函数，属于常见题型．7.已知任意正整数都可以表示为4个自然数（可重复）的平方和．设，其中，则有序数组的个数为（）A.24 B.36 C.48 D.72答案：B解析：思路：经过分析发现或，利用排列组合即可计算出结果．解答过程：∵，∴，①，有序数组的个数为；②，有序数组的个数为；故满足条件的有序数组的个数为，故选：B．8.定义在上的函数满足，且当时，.则方程所有的根之和为（）A.10 B.12 C.14 D.16答案：A解析：思路：根据题意可得为奇函数，其图象关于直线对称且一个周期为4，再根据当时，，求导分析单调性，从而画出简图，根据函数的性质求解零点和即可.解答过程：∵，∴为奇函数，又∵，∴的图象关于直线对称．当时，，单调递增．由，即有，所以，即函数的一个周期为4，由可得，，所以的图象关于中心对称．函数的简图如下：其中，由，∴所有实根之和为.故选：A．方法提示：方法点睛：（1）函数的性质运用：根据条件中函数满足的关系式推导函数的奇偶性、对称性、周期性和在区间内的单调性，并运用性质求零点和；（2）数形结合：根据给定区间的函数解析式作图，再根据函数的性质补全剩余图象；二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（）（参考数据：①；②；③）A.这次考试成绩超过100分的约有500人B.这次考试分数低于70分的约有27人C.D.从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为答案：ACD解析：思路：由正态分布的性质和原则求出和即可求出成绩超过100分和低于70分的人数判断A、B；由正态分布的对称性和原则可求出，进而判断C；利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式结合A选项即可求解判断D.解答过程：由题意可知，对于选项A，，，则，则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误；对于选项，，所以分数低于70分的人数约为，即约为27人，故选项B正确；对于选项C，，所以选项C错误；对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为；②3人均超过100分时的概率为，则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误.故选：ACD.10.关于多项式的展开式，下列结论正确的是（）A.各项系数之和为32 B.常数项为80C.项的系数为 D.展开式一共有21项答案：AC解析：思路：由多项式展开式令代入计算判断A；令或或，计算可判断B；令或，计算可判断C；由的指数取值范围求解可判断D.解答过程：由题意得多项式展开式的通项如下，为，即，对于A，令得，所以各项系数之和为32，故A正确；对于B，常数项中的次数为0，则或或，则，故B错误；对于C，令，得或，所以项为，故项的系数为，故C正确；对于D，因为，的指数为的整数，化简可得，所以展开式一共有9项，故D错误；11.已知函数，则（）A.在上有6个零点 B.的图象关于直线对称C.的最小正周期是 D.的值域为答案：BD解析：思路：对于A，令，求解即可；对于B，只需判断是否成立即可判断；对于C，只需判断是否成立即可判断；对于D，由题意可得，令，则有，利用导数求出在上的值域即可得的值域，即可判断.解答过程：解：对于A，令，则有或，由，可得，又因为，所以解得或；由，又因为，所以解得或或或或；所以在上有7个零点，故错误；对于B，因为，，所以有，所以的图象关于直线对称，故正确；对于C，因为，所以不是的最小正周期，故错误；对于D，因为，令，则有，所以，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增；而，所以即的值域为，故正确.故选：BD.方法提示：结论点睛：如果，则的图象关于对称；如果对定义域内的任意一个，都有，则的周期为.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数（且），若存在2个零点，则a的一个取值为__________．答案：2（答案不唯一）解析：思路：将函数的零点个数转化为函数与图象交点个数，然后分和两种情况讨论即可.解答过程：函数的零点个数可以看成函数与图象交点个数，当时，函数与图象只有一个交点，不符合要求；当时，，，所以函数在处切线的斜率为，所以，解得或.故答案为：2（答案不唯一）.13.的展开式中的系数为__________.答案：解析：思路：将因式分解可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算可得与的展开式的通项公式，，计算后，令的次数分别为与进行计算即可得.解答过程：，对，有，，对，有，，则，令，可得，或，或，，有，，，令，可得或或或或，有，，，，，故的展开式中的系数为：.14.已知函数，都有，则的取值范围为__________.答案：解析：思路：设，则已知变为，构造函数，则在上是单调递增函数，则恒成立，分离参数，进而可得出答案.解答过程：由，不妨设，则，所以，可变形化简为，构造函数，则，所以在上是单调递增函数，所以恒成立，即在上恒成立，当时，，又时，，而，所以，所以，所以的取值范围为.故答案为：.方法提示：结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数，其中．（1）若函数在处取得极值，求实数a的值；（2）在（1）的结论下，若关于的不等式，（），当时恒成立，求的值．答案：（1）（2）解析：思路：（1）求，根据题意得到，进而得到a的值，并验证即可；（2）结合（1）化简，并参数分离，从而构造函数，求导，根据导数的符号判断函数的单调性，即可得到函数的最小值，进而得到的值．（1）由，，则，又函数在处取得极值，则，解得．若时，，则当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增，所以在处取得极小值，故．（2）当时，，又，，则，整理得，，令，，则，则在上单调递增，所以，即，又，故．16.甲乙两人轮流掷质地均匀的骰子，每人每次掷两颗．（1）甲掷一次，求两颗骰子点数不同的概率；（2）甲乙各掷一次，求甲的点数和恰好比乙的点数和大的概率；（3）若第一次掷出点数之和大于的人为胜者，同时比赛结束；否则，由另一人继续投掷，直到比赛结束.例如，甲乙先后轮流掷出的点数之和为：、、、，此时乙为胜者.设甲先投掷，求甲最终获胜的概率.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）计算两颗骰子点数相等的概率即可得到两颗骰子点数不同的概率.（2）设掷一次两颗骰子的点数和为，则，求出所对应的概率，再由相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得结果.（3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为，分析可得甲第轮获胜的概率为，由无穷等比数列求和公式计算可得结果.（1）甲掷一次，两颗骰子点数相等的概率为所以两颗骰子点数不同的概率为.（2）甲的点数和恰好比乙的点数和大点的情形如下表：所以.另解：设掷一次两颗骰子的点数和为，则.则；；；；；.所以甲的点数和恰好比乙的点数和大7点的概率为.（3）由（2）可知掷两颗骰子点数和大于的概率为.若甲第一轮获胜，概率为；若甲第二轮获胜，即第一轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；若甲第三轮获胜，即前两轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；由以上可得，若甲第轮获胜，即前轮投掷后两人的点数和都不大于，概率为；于是，组成一个以为首项，为公比的无穷等比数列.因为，所以甲最终获胜的总概率为.17.从甲、乙、丙、丁、戊5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列和数学期望；（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为.①直接写出，，的值；②求与的关系式，并求出.答案：（1）123数学期望为（2）①，，；②，解析：思路：1）由离散型随机变量的分布列可解；（2）记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，由全概率公式可求，再由数列知识，由递推公式求得通项公式.（1）的所有可能取值为1，2，3.则；；.所以随机变量的分布列为：123数学期望.（2）若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为.则有.记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”.所以.即.所以，且.所以数列表示以为首项，为公比的等比数列.所以，.即次传球后球在甲手中的概率是.18.在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”．（1）若数组与数组以数表形式表示如下：判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”；（2）已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率；（3）现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望．答案：（1）数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7．（2）．（3）解析：思路：（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得.（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可.（3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”.（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得：数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”；数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7．（2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件．若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素，每列有3个元素，且，则．当时，此时“数组”的个数为：当时，此时“数组”的个数为：当时，此时“数组”的个数为：假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和．若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾；若和不同行也不同列时，不妨设，根据定义可得：，所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一