二次函数与一元二次方程、不等式（讲义）原卷版

2.3二次函数与一元二次方程、不等式

1.一元二次方程：ax2+bx+e=0(a0)

①方程有两个实数根O△=/-4ac20

A>0

②方程有同号两根oc

xix2=—>0

_a

A>0

③方程有异号两根O-c

xxx2=—<0

-a

④韦达定理及应用：%1=--,xxx2=-

a-a

，从-44c

XX2XXX2

x；+x：=(14-0)-217,|)-xd=J(x)+X2)-4X]X2=

同向

22

T+W=(X]+x2XXj-x)%2+x；)=(X)+A2)[(X1+^2)-3^1%2]

2.二次函数

①一般式：y=ax2+hx+c=a(x+—)2+―—―(«^0),对称轴是X=--—,

2a4ala

baa/b4ac-b2.

顶点是(一丁,一-——)：

2a4a

②顶点式：y=a(x+m)2+k(a^O),对称轴是1=一〃?,顶点是(T〃M)；

③交点式：y=。（工一%］（工一%）（。工°），其中（X，。），<x2,0）是抛物线与x釉II勺交

点

3.二次函数的性质

①函数y=ax2+bx+c（aw0）的图象关于直线x=2对称。

2a

②。>0时，在对称轴（1=-2）左侧，y值随x值的增大而减少；在对称轴

2a

（X=_2）右侧；V的值随X值的增大而增大。当x=-2时，V取得最小值

2a2a

4ac-b2

4a

③。<0时，在对称轴（X=—2）左侧，y值随x值的增大而增大；在对称轴

2a

（x=_2）右侧；y的值随X值的增大而减少。当工=_2时，y取得最大值

2a2a

4ac-b2

4a

4.一元二次不等式的概念

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等

式.

一元二次不等式的一般形式是a?+法+c>0或a，+6+CY。，其中〃，b,〃均为常

数，4W0

5.一元二次不等式的解法

例1解下列不等式：

（1）X2-X-6>0；

（2）25x2-10.r+l>0：

（3）-2X2+X+1<0.

变式1-1

解下列不等式:

(1)-2炉+3工-1<0：

(2)(X-1)2-6>0；

6-x-x2<0

(3),

x~+3x-4<0

变式1-2

解下列不等式

(1)-X2+2A-3<0：

(2)-3X2+5X-2>0.

变式1-3

解下列不等式：

(1)-X2+6X-9>0：

(2)x2+x-l<0：

变式1-4

求下歹1J不等工弋的解集：

(l)(x+2)(x-3)>0；

⑵3X2-7X<10；

(3)-x2+4x-4<0；

(4)x2-x+—<0;

4

(5)-2X2+X<-3；

(6)x2-3x4-4>0.

变式1-5

当x取哪些值时，函数），二一丁+6］一5的值分别大于0、等于0、小于0?

例2x是什么实数时，有意义?

变式训练

不是什么实数时，下列各式有意义？

⑴Jx2-4%+9:

⑵A/-2X2+12X-18-

例3解关于x的不等式aF_2（。+1»+4>0（。GR）

例4解关于X的不等式：ZCLX1+\+a>3cix+x-

变式4-1

解关于x的不等式：x2-2av-36?<0

变式训练2

求关于x的一元二次不等式F一x一+1）>o的解集.

例5不等式0^+5工一2>0的解集是{川5〈工<2},则不等式加一5'一］的解集

是一

变式5-1

已知不等式ar?—法+2v0的解集为“11vx<2},求。/的值.

变式5-2

关于“的不等式"2+"+2>0的解集为{1|一】<工<2}.

(1)求。涉的值；

(2)求关于x的不等式加一统一2>0的解集.

6.一元二次不等式的综合问题

例6己知集合A=,B=1x|x2-4x+3>0},求AljB.

例7已知集合人={文|/一5x+4,,0},3={%|/一2如+〃+2<0}.当BqA时，求实数

。的取值范围.

例8对于/wR,不等式/一2x+3—〃?20恒成立，求实数，〃的取值范围

变式8-1

已知集合

/4=1x|2X2+7X—15<0j,|x2+av+Z?<0|,若

AnB=0,AD8={X|-5<¥W2},求实数以/）的值.

变式8-2

对任意xwR,函数/（工）=〃比2+（加-4）戈+4-2/〃的值恒大于零，求〃?的取值范围.

变式8-3

设〃：尸=｛乂/一8工一2040｝,一非空集合5=｛乂1一用工工工1+〃“，且〃是0的充分不必

要条件，求实数团的取值范围

7.一元二次不等式的实际应用问题

例9一服装厂生产某种风衣，月销售量近件）与售价夕（元/件）之间的关系为夕=160-2必生

产/件的成本总数"=500+30x（元）.

（