河北省承德市部分高中2025~2026学年高二下册7月期末数学试卷【附解析】

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数，则的共轭复数（）A. B. C. D.4.2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本．从中抽取2个样本，则抽取的样本中，两类样本都有的抽法有（）A.7种 B.12种 C.21种 D.42种5.某同学收集了某地区近5年的年降雨量（单位：mm）与年蒸发量（单位：mm）的数据，计算得样本中心点为．若与的经验回归方程为，则的值为（）A.40 B. C.60 D.6.二项式的展开式中的系数为（）A. B. C.60 D.1607.2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erdös数学难题．已知该智能体解答某难度数学题的正确率为，随机变量表示它解答道该难度数学题的正确数．若,，则（）A.6 B.8 C.10 D.128.定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，则下列结论正确的有（）A.的最大值是 B.的最小值是10C.的取值范围是 D.10.实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（）A.函数在区间上有2个极值点B.函数在区间上单调递增C.函数的图象与直线有3个不同的交点D.直线与函数的图象相切11.现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有（）A.将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法B.将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法C.将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法D.将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人，且选手甲不单独成组，有240种不同的分法三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______．13.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则区间上满足的所有整数的和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，．（1）求实数，的值；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．16.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数在区间上的最大值．17.为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下列联表：护眼灯预防效果合计近视加深近视未加深使用1288100未使用2872100合计40160200（1）根据小概率值的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深；（2）从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率．附：，．0.050.010.0013.8416.63510.82818.某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次获得一等奖的概率；（2）若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为元，求的分布列和数学期望；（3）商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为元，二等奖奖金调整为元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍，求的最大值．19.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，恒成立；（3）证明：．

数学考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：因为的解集为，因此集合，所以．因为的解集为因此集合，所以．2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：A解析：思路：根据充分条件、必要条件及不等式的性质求解.解答过程：因为，所以，故充分性成立；当，时，不等式成立，但，故必要性不成立．综上，“”是“”的充分不必要条件．3.已知复数，则的共轭复数（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出复数，再根据共轭复数的定义求的共轭复数.解答过程：因为，所以．4.2026年5月13日，某高校科研团队发布“九章四号”量子计算原型机，其生成的光子样本分为两类：4个高斯分布样本和3个均匀分布样本．从中抽取2个样本，则抽取的样本中，两类样本都有的抽法有（）A.7种 B.12种 C.21种 D.42种答案：B解析：解答过程：从4个高斯分布样本中抽取1个样本，有4种抽法；从3个均匀分布样本中抽取1个样本，有3种抽法，由分步乘法计数原理，得符合题意的抽法有种.5.某同学收集了某地区近5年的年降雨量（单位：mm）与年蒸发量（单位：mm）的数据，计算得样本中心点为．若与的经验回归方程为，则的值为（）A.40 B. C.60 D.答案：A解析：思路：利用经验回归直线过样本中心点计算即可得.解答过程：经验回归直线必过样本中心点，即，解得．6.二项式的展开式中的系数为（）A. B. C.60 D.160答案：C解析：解答过程：二项式的展开式的通项为：，．令，解得，所以的系数为．7.2026年5月25日，国外某科技公司发布数学智能体，一次性破解9道悬而未决的Erdös数学难题．已知该智能体解答某难度数学题的正确率为，随机变量表示它解答道该难度数学题的正确数．若,，则（）A.6 B.8 C.10 D.12答案：B解析：解答过程：由题意，得，则，，所以，解得．所以．8.定义：若存在实数，使得函数和满足且同时成立，则称和互为“亲密函数”，称为它们的“亲密点”．已知，，若存在实数使得和有且仅有一个亲密点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由亲密点定义得，故可得，此时存在唯一成立，则可得的取值范围.解答过程：由题意得，亲密点需同时满足和．因为，，，所以，．由题意，得，所以，所以．代入，得，即，所以．对于每个，存在唯一的使得和恰好有一个亲密点，因此实数的取值范围是．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，，且，则下列结论正确的有（）A.的最大值是 B.的最小值是10C.的取值范围是 D.答案：ACD解析：思路：对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值.解答过程：因为，，且，所以由基本不等式，得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确；因为，，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是8，故B错误；因为，，所以，所以，即的取值范围是，故C正确；，令，则．函数在上单调递减，所以在上的最小值为．所以，当且仅当时，等号成立，故D正确．10.实验室测试发现，某款手机的应用启动时间（单位：ms）与系统资源占用率（单位：%，）近似满足函数关系．下列关于函数的说法，正确的有（）A.函数在区间上有2个极值点B.函数在区间上单调递增C.函数的图象与直线有3个不同的交点D.直线与函数的图象相切答案：ABD解析：思路：对求导，利用导数确定单调区间、求出的极值可判断A、B；根据方程的实数根的个数可判断C；由，求得在点处的切线为即可判断D.解答过程：因为，，所以．当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在和处取得极值．对于A，由以上分析，得函数在区间上有2个极值点，故A正确；对于B，由以上分析，得函数在区间上单调递增，故B正确；对于C，函数的图象与直线的交点个数即方程的实数根的个数．方程可化为，方程只有2个不同的实数根和，所以函数的图象与直线只有2个交点，故C错误；对于D，因为，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.所以直线与函数的图象相切，故D正确．11.现有6名选手参加赛前培训，则下列说法正确的有（）A.将6名选手平均分成3个小组，有15种不同的分法B.将6名选手平均分成3个小组同时参加三项不同的培训，有90种不同的分法C.将6名选手分成3个小组，一组1人、一组2人、一组3人，有60种不同的分法D.将6名选手分成3个小组同时参加三项不同的培训，一组1人、一组2人、一组3人，且选手甲不单独成组，有240种不同的分法答案：ABC解析：思路：选项A利用排列组合解决平均分组问题；选项B利用分步乘法计数原理可判断；选项C利用分步乘法计数原理可判断；选项D先安排特殊元素，再利用分步乘法计数原理得出所有的不同分法.解答过程：对于选项A：将6名选手平均分成3个小组，不同的分法有种，故选项A正确；对于选项B：先为第一项培训选人，从6人中选2人，有种选法；再为第二项培训选人，从剩下的4人中选2人，有种选法；最后为第三项培训选人，从剩下的2人中选2人，有种选法．由分步乘法计数原理，得不同的分法有种，故选项B正确；对于选项C：将6名选手分成人数分别为1，2，3的3组，不同的分法有种，故选项C正确；对于选项D：因为选手甲不单独成组，所以选手甲在2人组或3人组.先安排1人组，有种选法，再安排2人组和3人组，有种选法，不同的分法有种；将3组人分配到三项不同的培训，有种不同的分配方法．故符合题意的不同分法有种，故选项D错误．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.变量与满足非线性关系，通过对数据做取自然对数处理后，得到经验回归方程（其中），则当时，的预测值为______．答案：解析：思路：取对数，非线性关系转化为线性关系，与已知对照求出得解.解答过程：据题意，将取自然对数得，与给定的经验回归方程对比，得，，所以．因此原回归方程为．当时，．13.若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．答案：解析：思路：当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可.解答过程：因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立．当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件．当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点，所以，且判别式，解得．综上，实数的取值范围是．14.已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则区间上满足的所有整数的和为______．答案：7解析：思路：根据函数性质，求解出函数周期，通过给定的函数表达式，得出自变量取不同值时，函数值对应的取值情况，逐一验证即可.解答过程：因为函数是奇函数且满足，所以，故，因此函数的周期为4．当时，，所以，，所以，．所以对于区间上的整数，逐一计算，并判断是否满足．当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；当时，，满足；当时，，满足．综上，满足条件的整数为，0，1，3，4，其和为7．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，．（1）求实数，的值；（2）求函数的解析式；（3）若，求实数的取值范围．答案：（1），（2）（3）解析：思路：（1）根据条件可得，，解方程组即可；（2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式；（3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可.（1）由题意得，解得，．（2）由（1）可知，当时，．当时，，所以．因为是定义在上的奇函数，所以当时，．所以（3）因为当时，，反比例函数在上单调递增，所以函数在上单调递增．因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．由题意，得不等式即，所以．解得，即实数的取值范围是．16.已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若，求函数在区间上的最大值．答案：（1）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．（2）当时，最大值为；当时，最大值为2解析：思路：（1）求导后，分、及进行讨论即可得；（2）结合函数单调性，分及进行讨论即可得.（1）因为，所以，令，解得或，当时，恒成立，所以函数在上单调递增；当时，，所以当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，，所以当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减；综上，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在区间上的最大值为和中的较大者，因为，，解，得，解，得，所以当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为；综上，当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值为2．17.为了研究某新型护眼灯对预防青少年近视的效果，某教育机构在某校随机抽取了200名学生进行为期一年的跟踪调查，得到如下列联表：护眼灯预防效果合计近视加深近视未加深使用1288100未使用2872100合计40160200（1）根据小概率值的独立性检验，分析使用该新型护眼灯是否会预防近视加深；（2）从使用护眼灯的100名学生中，按近视情况采用比例分配的分层随机抽样抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行视力复查，求抽取的3人中至少有1人近视加深的概率．附：，．0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）使用该新型护眼灯会预防近视加深（2）解析：（1）零假设为：使用该新型护眼灯与预防近视加深无关联．由列联表中的数据，计算得．根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即使用该新型护眼灯会预防近视加深，此推断犯错误的概率不大于0.01．（2）使用护眼灯的100名学生中，近视加深的有12人，近视未加深的有88人．按比例分配的分层随机抽样抽取10人，抽取比例为，故抽取的近视加深的人数为，根据实际四舍五入取整数1，近视未加深的人数为9．从这10人中随机抽取3人，记这3人中近视加深的人数为，则的可能取值为0和1．因为，事件：抽取的3人中至少有1人近视加深即事件，所以所求概率为．18.某商场举行抽奖活动，规则如下：顾客从装有3个红球和2个白球的盒子中不放回地依次抽取2个球，若抽到的2个球都是红球，则获得一等奖，奖金100元；若抽到的2个球是1个红球和1个白球，则获得二等奖，奖金50元；若抽到的2个球都是白球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次获得一等奖的概率；（2）若有3名顾客各抽奖1次，设这3名顾客获得的奖金总额为元，求的分布列和数学期望；（3）商场为了控制成本，决定调整奖金规则：将一等奖奖金调整为元，二等奖奖金调整为元，且要求调整后顾客抽奖1次获得的奖金期望不超过20元，同时一等奖奖金不低于二等奖奖金的2倍，求的最大值．答案：（1）（2）的分布列如下表．050100150200250300（3）解析：思路：（1）利用组合数计算获一等奖包含的基本事件数，再除以总的基本事件数即可求得结果；（2）先写出单人奖金的分布列，求单人奖金的期望，再分析三个人奖金总额的所有取值，用分类讨论结合组合数计算每种取值的概率，即可求得分布列，进而计算期望；（3）先列出奖金期望的不等式约束，再结合的条件即可求得的最大值.（1）盒子中共有5个球，3红2白，不放回地依次抽取2个球．由活动规则知，抽奖1次，获得一等奖即抽到2个红球，其概率．（2）由（1）知，抽奖1次获得一等奖的概率为．由活动规则知，抽奖1次，获得二等奖即抽到1个红球1个白球，其概率．不获奖即抽到2个白球，其概率．则每名顾客抽奖1次获得的奖金金额元的分布列如下表．050100所以的数学期望．由题意知，3名顾客抽奖相互独立．设3名顾客获得的奖金分别为，，，则由题意得，总奖金，则的可能取值为0，50，100，150，200，250，300．当，即3名顾客获得的奖金均为0元，所以．当，即3名顾客中，1人获得的奖金为50元，其余2人获得的奖金均为0元，所以.当，