2025-2026年天津市人教版高二数学第3章数列单元检测卷

2025-2026年天津市人教版高二数学第3章数列单元检测卷一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.31D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，c_5=c_4+8=21，c_6=c_5+10=31。观察发现c_n=c_{n-1}+2(n-1)，累加可得c_n=c_1+2(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，验证n=6时成立，故c_6=6^2-6+1=31。正确答案为D。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，均符合条件。需进一步验证d_1，由d_2=6可得d_1=6/q，代入d_4=54得(6/q)×q^3=54，解得q=3。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，验证n=1时成立，故e_n=2n-1，e_3=2×3-1=5。选项均不符合，重新计算发现T_n=n^2+n，T_{n-1}=(n-1)^2+(n-1)，e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，e_3=5。选项有误，正确答案应为5。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，可得f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)=5+log_2(15)。选项均不符合，重新计算发现f_n=f_1+(log_2(2)+log_2(3)+...+log_2(n))=2+log_2(2×3×...×n)=2+log_2(n!)，f_5=2+log_2(120)=2+6.9069≈8.9069。选项有误，正确答案应为8.9069。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_n=a_1+(n-1)d，可得a_3+a_7=a_1+2d+a_1+6d=2a_1+8d=18，即a_1+4d=9。则a_5+a_9=a_1+4d+a_1+8d=2a_1+12d=2(a_1+4d)=2×9=18。选项均不符合，重新计算发现a_5+a_9=a_1+4d+a_1+8d=2a_1+12d=2(a_1+4d)=2×9=18。选项有误，正确答案应为18。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值为（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2。当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2×3^{n-1}，h_4=2×3^3=54。选项均不符合，重新计算发现U_n=3^n-1，U_{n-1}=3^{n-1}-1，h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，h_4=2×3^3=54。选项有误，正确答案应为54。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4的值等于（）A.4B.5C.6D.7解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，可得i_2=i_1+2/2=2，i_3=i_2+2/3=2+2/3=8/3，i_4=i_3+2/4=8/3+1/2=19/6。选项均不符合，重新计算发现i_n=i_1+(2/2+2/3+...+2/(n+1))=1+2(1/2+1/3+...+1/(n+1))=1+2(H_{n+1}-1)，其中H_n为n阶调和级数，i_4=1+2(H_5-1)=1+2(1.2+1/3+1/4+1/5-1)=1+2(2.2833-1)=1+2.6666=3.6666。选项有误，正确答案应为3.6666。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_5=32，则该数列的前6项和S_6等于（）A.62B.64C.66D.68解析：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_2=j_1q=4，j_5=j_1q^4=32，两式相除得q^3=8，解得q=2。则j_1=4/2=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=2(1-64)/(-1)=126。正确答案为B。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。参考答案：32.若数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2+n，则b_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=T_1=3。当n≥2时b_n=2n^2+n-2(n-1)^2-(n-1)=4n-1，验证n=1时成立，故b_n=4n-1，b_3=11。参考答案：113.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_4=c_1q^3=16，解得q^3=8，故q=2。参考答案：24.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n+3n，则d_6的值等于______。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，可得d_2=1+3=4，d_3=4+6=10，d_4=10+9=19，d_5=19+12=31，d_6=31+15=46。观察发现d_n=d_{n-1}+3(n-1)，累加可得d_n=1+3(1+2+...+(n-1))=1+3n(n-1)/2=3n^2/2-3n/2+1，验证n=6时成立，故d_6=3×6^2/2-3×6/2+1=46。参考答案：465.若数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，则e_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=S_1=1。当n≥2时e_n=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1，验证n=1时成立，故e_n=3n^2-3n+1，e_4=3×4^2-3×4+1=43。参考答案：436.在等差数列{f_n}中，若a_1=5，a_6=17，则该数列的通项公式a_n等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_6=a_1+5d=17，解得d=2，故a_n=5+(n-1)×2=2n+3。参考答案：2n+37.已知数列{g_n}满足g_1=2，g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，则g_5的值等于______。解：由递推关系g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，可得g_2=2+log_2(2)=3，g_3=3+log_2(3)=3+log_2(3)，g_4=3+log_2(3)+log_2(4)=3+log_2(3)+2，g_5=3+log_2(3)+2+log_2(5)=5+log_2(15)。参考答案：5+log_2(15)8.若数列{h_n}的前n项和T_n=3^n-1，则h_5的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=T_1=2。当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_n=2×3^{n-1}，h_5=2×3^4=162。参考答案：1629.在等比数列{i_n}中，若i_3=8，i_6=64，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_3=i_1q^2=8，i_6=i_1q^5=64，两式相除得q^3=8，解得q=2。参考答案：210.已知数列{j_n}满足j_1=1，j_{n+1}=j_n+n，则j_7的值等于______。解：由递推关系j_{n+1}=j_n+n，可得j_2=1+1=2，j_3=2+2=4，j_4=4+3=7，j_5=7+4=11，j_6=11+5=16，j_7=16+6=22。观察发现j_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+n(n-1)/2，验证n=7时成立，故j_7=1+7×6/2=22。参考答案：22三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=1。当n≥2时a_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故a_n=2^{n-1}，该数列是等比数列，公比q=2。参考答案：正确2.在等差数列{b_n}中，若a_1+a_5=12，则a_3+a_4=12。解：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，故a_3=6。又由等差数列性质a_3+a_4=2a_3.5，其中a_3.5为第3.5项，不存在，故该命题错误。参考答案：错误3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，观察发现c_n-c_{n-1}=2(n-1)，故该数列不是等差数列。参考答案：错误4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于3。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。需进一步验证d_1，由d_2=6可得d_1=6/q，代入d_4=54得(6/q)×q^3=54，解得q=3。参考答案：正确5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n-1。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，验证n=1时成立，故e_n=2n-1。参考答案：正确6.在等差数列{f_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9=18。解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9。又由等差数列性质a_5+a_9=2a_7，故a_7=18/2=9，矛盾，故该命题错误。参考答案：错误7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，则g_n=1+log_2(n!)。解：由递推关系g_{n+1}=g_n+log_2(n+1)，可得g_n=g_1+(log_2(2)+log_2(3)+...+log_2(n))=1+log_2(2×3×...×n)=1+log_2(n!)。参考答案：正确8.在等比数列{h_n}中，若h_2=4，h_5=32，则该数列的前6项和S_6等于64。解：由等比数列通项公式h_n=h_1q^{n-1}，代入h_2=h_1q=4，h_5=h_1q^4=32，两式相除得q^3=8，解得q=2。则h_1=4/2=2，S_6=2(1-2^6)/(1-2)=2(1-64)/(-1)=126。参考答案：错误9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_n=1+2(H_{n+1}-1)。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，可得i_n=i_1+2(1/2+1/3+...+1/(n+1))=1+2(H_{n+1}-1)。参考答案：正确10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=3^n-1，则j_n=2×3^{n-1}。解：由数列前n项和与通项关系j_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=T_1=2。当n≥2时j_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故j_n=2×3^{n-1}。参考答案：正确四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3。代入a_5=10得a_1=2，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和T_n=n^2+n，求b_4的值。解：由数列前n项和与通项关系b_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=T_1=2。当n≥2时b_n=n^2+n-[(n-1)^2+(n-1)]=2n-1，验证n=1时成立，故b_n=2n-1，b_4=7。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=4，c_5=c_1q^4=32，两式相除得q^3=8，解得q=2。4.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n+n，求d_6的值。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+n，可得d_2=1+1=2，d_3=2+2=4，d_4=4+3=7，d_5=7+4=11，d_6=11+5=16。观察发现d_n=1+1+2+3+...+(n-1)=1+n(n-1)/2，验证n=6时成立，故d_6=1+6×5/2=16。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加了5台，第二年增加了8台，第三年增加了11台，以此类推。求该工厂第10年增加的设备数量。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3(n-1)，可得d_n=5+3(1+2+...+(n-1))=5+3n(n-1)/2，验证n=1时成立，故d_n=3n^2/2-3n/2+5。当n=10时d_{10}=3×10^2/2-3×10/2+5=145。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列通项公式P_n=P_1q^{n-1}，其中P_1=100万，q=1.1，n=5，故P_5=100×1.1^4≈133.1万。3.某投资项目的年收益率为15%，已知第一年投资100万元，求第五年的本息和。解：由等比数列通项公式A_n=A_1q^{n-1}，其中A_1=100万，q=1.15，n=5，故A_5=100×1.15^4≈201.356万。4.某公司员工工资每年上涨，已知第一年工资为5000元，第二年工资为5500元，第三年工资为6000元，以此类推。求该员工第10年的工资。解：由等差数列通项公式W_n=W_1+(n-1)d，其中W_1=5000元，d=500元，n=10，故W_{10}=5000+(10-1)×500=8500元。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.C4.A5.D6.D7.D8.D9.D10.B二、填空题1.32.113.24.465.436.2n+37.5+log_2(15)8.1629.210.22三、判断题1.正确2.错误3.错误