2025-2026年北师大版高三数学第十六章概率与统计练习题

2025-2026年北师大版高三数学第十六章概率与统计练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第十六章《概率与统计》中，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，这种抽样方法属于（）A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.整群抽样解析：本题考查抽样方法的基本分类。简单随机抽样是指从总体中直接随机抽取样本，系统抽样是按固定间隔抽取，分层抽样是按比例分层抽取，整群抽样是抽取整群单位。题中随机抽取100名学生，符合简单随机抽样的定义，故选A。2.已知某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人，现要抽取一个容量为10的样本，若采用分层抽样，则抽取的男生和女生分别约为（）A.6人，4人B.7人，3人C.8人，2人D.9人，1人解析：分层抽样需按比例抽取。男生占比30/50=60%，女生占比20/50=40%，则抽取男生约10×60%=6人，女生约10×40%=4人，故选A。3.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击3次，则恰好命中2次的概率为（）A.0.128B.0.384C.0.512D.0.8解析：本题考查二项分布。命中2次的概率为C(3,2)×0.8²×0.2=3×0.64×0.2=0.384，故选B。4.已知一组样本数据：5，7，x，9，12的众数为7，中位数为8，则x的值为（）A.8B.9C.10D.11解析：众数为7，则x=7；中位数为8，排序后为5，7，7，9，12，满足中位数为8，故选A。5.在北师大版高三数学第十六章中，某班级期中考试成绩的频率分布直方图如下，若成绩在80分以上（含80分）的学生有30人，则该班级的总人数约为（）（注：直方图各矩形高度依次为0.05，0.1，0.15，0.2，0.1）A.200人B.250人C.300人D.350人解析：80分以上频率为0.15+0.2+0.1=0.45，对应人数30人，总人数为30÷0.45≈200人，故选A。6.已知某校高三（1）班和（2）班各有50名学生，两班数学平均成绩分别为85分和90分，则两班数学成绩的总平均分为（）A.87.5分B.88分C.89分D.90分解析：总平均分=(85×50+90×50)/(50+50)=87.5分，故选A。7.在北师大版高三数学第十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取3件产品，则至少有一件不合格的概率为（）A.0.857B.0.927C.0.959D.0.073解析：至少一件不合格=1-全部合格=1-0.95³≈0.857，故选A。8.已知一组样本数据的方差为9，若每个数据都减去5后得到的新数据的方差为（）A.9B.15C.3D.4解析：方差反映数据离散程度，加减常数不改变方差，故新数据方差仍为9，故选A。9.在北师大版高三数学第十六章中，某班级进行篮球投篮测试，每次投篮命中概率为0.6，现投篮直到命中为止，则第3次投篮才命中的概率为（）A.0.216B.0.192C.0.36D.0.6解析：第3次才命中即前两次不中，概率为0.4²×0.6=0.192，故选B。10.已知一组样本数据：3，x，5，7的极差为4，则x的值为（）A.1或7B.2或6C.3或5D.4或8解析：极差为4，则x-3=4或7-x=4，解得x=7或x=3，故选A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第十六章中，若事件A的概率P(A)=0.7，事件B的概率P(B)=0.5，且P(AB)=0.3，则事件A与事件B相互独立的是_________。参考答案：不独立解析：若独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.5=0.35≠0.3，故不独立。2.已知一组样本数据：2，4，6，8，10的样本标准差为_________。参考答案：3解析：平均数为6，方差s²=(4+4+0+4+16)/5=8，标准差s=√8=2√2≈2.83，取整为3。3.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现独立射击4次，则恰好命中3次的概率为_________。参考答案：0.4116解析：C(4,3)×0.7³×0.3=4×0.343×0.3=0.4116。4.已知一组样本数据的中位数为8，众数为10，则这组数据中至少有一个值为_________。参考答案：10解析：众数为10，则数据中至少有一个10。（注：直方图各矩形高度依次为0.05，0.1，0.15，0.2，0.1）参考答案：200解析：60分以下频率为0.05，对应人数10人，总人数为10÷0.05=200人。5.已知某校高三（1）班和（2）班各有50名学生，两班数学平均成绩分别为85分和90分，则两班数学成绩的总方差为_________。参考答案：78.5解析：总平均分87.5，(50×(85-87.5)²+50×(90-87.5)²)/100=78.5。6.在北师大版高三数学第十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取4件产品，则至少有一件不合格的概率为_________。参考答案：0.262解析：1-0.95⁴≈0.262。7.已知一组样本数据的平均数为10，样本方差为4，若每个数据都乘以2后得到的新数据的平均数为_________。参考答案：20解析：平均数乘以2，新平均数为10×2=20。8.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现投篮直到不中为止，则第2次投篮才不中的概率为_________。参考答案：0.36解析：前一次命中，第二次不中，概率为0.6×0.4=0.24。9.已知一组样本数据：5，7，9，x的极差为6，则x的值为_________。参考答案：1或11解析：x-5=6或9-x=6，解得x=11或x=1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在北师大版高三数学第十六章中，若事件A与事件B互斥，则P(AB)=0。参考答案：正确解析：互斥事件不可能同时发生，故概率为0。2.已知一组样本数据的中位数为8，则这组数据中至少有一个值大于8。参考答案：错误解析：中位数是排序后中间的值，可能所有值都小于等于8。3.在北师大版高三数学第十六章中，若事件A与事件B相互独立，则P(A|B)=P(A)。参考答案：正确解析：独立事件条件概率等于原概率，P(A|B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)。4.已知一组样本数据的平均数为10，样本方差为0，则这组数据中所有值都相等。参考答案：正确解析：方差为0表示数据无离散，故所有值相等。5.在北师大版高三数学第十六章中，某班级期中考试成绩的频率分布直方图中，最高矩形对应的频率为0.2，则成绩在最高矩形范围内的人数占总人数的20%。参考答案：正确解析：频率即占比，故人数占总人数的20%。6.已知某校高三（1）班和（2）班各有50名学生，两班数学平均成绩分别为85分和90分，则两班数学成绩的总平均分一定大于87.5分。参考答案：错误解析：总平均分为87.5分，与班级数量无关。7.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现独立射击3次，则至少有一件命中的概率为0.8。参考答案：错误解析：至少一件命中=1-全部不中=1-0.2³=0.928。8.已知一组样本数据：3，4，5，6的极差为3，则这组数据中一定有一个值为4。参考答案：错误解析：极差为3，数据可能为2，4，6或3，5，8等。9.在北师大版高三数学第十六章中，若事件A与事件B相互独立，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。参考答案：错误解析：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)，独立时P(AB)=P(A)P(B)，故P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)。10.已知一组样本数据的平均数为10，样本标准差为3，若每个数据都减去2后得到的新数据的方差为9。参考答案：正确解析：减去常数不改变方差，新方差仍为9。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.在北师大版高三数学第十六章中，简述简单随机抽样的步骤。参考答案：（1）将总体中的每个个体编号；（2）采用抽签法或随机数表法抽取样本。2.已知一组样本数据：2，4，6，8，10，求这组数据的平均数和方差。参考答案：平均数=(2+4+6+8+10)/5=6；方差s²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=8。3.在北师大版高三数学第十六章中，解释什么是互斥事件。参考答案：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，如掷骰子时“出现偶数”与“出现5点”。4.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现独立射击4次，求恰好命中2次的概率。参考答案：C(4,2)×0.7²×0.3²=6×0.49×0.09=0.2646。5.在北师大版高三数学第十六章中，简述频率分布直方图的绘制步骤。参考答案：（1）确定分组区间；（2）计算各区间频率；（3）以组距为宽，频率/组距为高绘制矩形。6.已知一组样本数据的中位数为8，众数为10，若数据个数为奇数，则这组数据可能的排序为_________。参考答案：10，x，10，8，y（x≤8≤y）解析：中位数为排序后中间的值，众数为10。7.在北师大版高三数学第十六章中，解释什么是条件概率。参考答案：条件概率是指事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。参考答案：0.2解析：70-80分频率=0.4-0.2=0.2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在北师大版高三数学第十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取3件产品，求至少有一件不合格的概率。参考答案：至少一件不合格=1-全部合格=1-0.95³≈0.262。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，x的极差为6，平均数为6，求x的值。参考答案：极差为6，x-3=6或9-x=6，解得x=9或x=3；平均数为6，(3+5+7+9+x)/5=6，解得x=0，矛盾，故x=3。3.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现投篮直到命中为止，求第3次投篮才命中的概率。参考答案：前两次不中，第三次命中，概率为0.4²×0.6=0.096。4.已知某校高三（1）班和（2）班各有50名学生，两班数学平均成绩分别为85分和90分，若两班数学成绩的总平均分为87.5分，求两班数学成绩的总方差。参考答案：总平均分87.5，(50×(85-87.5)²+50×(90-87.5)²)/100=78.5。5.在北师大版高三数学第十六章中，某班级期中考试成绩的频率分布直方图中，成绩在60分以下（含60分）的频率为0.1，成绩在80分以上（含80分）的频率为0.3，若成绩在70分以上（含70分）的频率为0.4，求成绩在60-70分范围内的频率。参考答案：60-70分频率=0.4-0.3=0.1。6.已知一组样本数据的中位数为8，众数为10，若数据个数为奇数，且数据之和为100，求这组数据可能的排序。参考答案：设数据为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，中位数为a₃=8，众数为10，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=100，可能的排序为：10，x，8，y，z（x≤8≤y≤z，且10+x+8+y+z=100）。7.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现独立射击4次，求恰好命中3次的概率。参考答案：C(4,3)×0.7³×0.3=4×0.343×0.3=0.4116。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，结果如下表：|阅读时间（小时/天）|0.5以下|0.5-1|1-1.5|1.5-2|2以上||---------------------|--------|-------|-------|-------|-------||人数|20|30|25|15|10|（1）求阅读时间在1小时以上的学生占比；（2）若该校共有2000名学生，估计阅读时间在0.5-1小时之间的学生人数。参考答案：（1）1小时以上占比=(25+15+10)/100=0.5；（2）0.5-1小时人数=2000×30/100=600人。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现连续射击5次，求恰好命中3次的概率。参考答案：C(5,3)×0.8³×0.2²=10×0.512×0.04=0.2048。3.已知一组样本数据：4，6，8，x，10的众数为8，中位数为7，求x的值。参考答案：众数为8，x=8；中位数为7，排序后为4，6，7，8，10，满足条件。4.某班级期中考试成绩的频率分布直方图中，成绩在60分以下（含60分）的频率为0.1，成绩在80分以上（含80分）的频率为0.3，若成绩在70分以上（含70分）的频率为0.4，求成绩在60-70分范围内的频率。参考答案：60-70分频率=0.4-0.3=0.1。5.在北师大版高三数学第十六章中，某工厂生产的产品合格率为95%，现随机抽取4件产品，求至少有一件不合格的概率。参考答案：至少一件不合格=1-全部合格=1-0.95⁴≈0.2625。6.已知一组样本数据的中位数为9，众数为12，若数据个数为偶数，且数据之和为180，求这组数据可能的排序。参考答案：设数据为a₁，a₂，a₃，a₄，中位数为(a₂+a₃)/2=9，众数为12，a₁+a₂+a₃+a₄=180，可能的排序为：12，x，9，y（x≤9≤y，且12+x+9+y=180）。7.在北师大版高三数学第十六章中，某射手每次射击命中目标的概率为0.6，现投篮直到不中为止，求第2次投篮才不中的概率。参考答案：前一次命中，第二次不中，概率为0.6×0.4=0.24。8.已知某校高三（1）班和（2）班各有50名学生，两班数学平均成绩分别为88分和92分，若两班数学成绩的总平均分为90分，求两班数学成绩的总方差。参考答案：总平均分90，(50×(88-90)²+50×(92-90)²)/100=50。9.在北师大版高三数学第十六章中，某班级期中考试成绩的频率分布直方图中，成绩在70分以上（含70分）的频率为0.5，成绩在80分以上（含80分）的频率为0.2，若成绩在60分以上（含60分）的频率为0.7，求成绩在60-70分范围内的频率。参考答案：60-70分频率=0.7-0.5=0.2。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.在北师大版高三数学第十六章中，论述抽样方法在统计中的重要性。参考答案：抽样方法能以较少成本获取样本信息，推断总体特征，提高效率；简单随机抽样公平性高，系统抽样按规律抽取，分层抽样按比例抽取，整群抽样便于实施，需根据实际情况选择。2.已知一组样本数据：3，5，7，9，x的极差为6，平均数为6，求x的值并解释原因。参考答案：极差为6，x-3=6或9-x=6，解得x=9或x=3；平均数为6，(3+5+7+9+x)/5=6，解得x=0，矛盾，故x=3。3.在北师大版高三数学第十六章中，解释什么是条件概率，并举例说明。参考答案：条件概率是指事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)；例如，掷骰子时“出现偶数”与“出现不大于4”，P(偶数|不大于4)=1/4。4.已知某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现独立射击4次，求恰好命中3次的概率。参考答案：C(4,3)×0.7³×0.3=4×0.343×0.3=0.4116。5.在北师大版高三数学第十六章中，论述频率分布直方图的绘制步骤及注意事项。参考答案：绘制步骤：确定分组区间，计算各区间频率，以组距为宽，频率/组距为高绘制矩形；注意事项：组数要适中，避免过密或过疏；频率之和必须为1；需标注横纵轴及标题。6.已知一组样本数据的中位数为8，众数为10，若数据个数为奇数，且数据之和为100，求这组数据可能的排序。参考答案：设数据为a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，中位数为a₃=8，众数为10，a₁+a₂+a₃+a₄+a₅=100，可能的排序为：10，x，8，y，z（x≤8≤y≤z，且10+x+8+y+z=100）。7.在北师大版高三数学第十六章中，解释什么是互斥事件，并举例说明。参考答案：互斥事件是指不可能同时发生的两个事件；例如，掷骰子时“出现偶数”与“出现5点”，不可能同时发生。8.已知某班级期中考试成绩的频率分布直方图中，成绩在60分以下（含60分）的频率为0.1，成绩在80分以上（含80分）的频率为0.3，若成绩在70分以上（含70分）的频率为0.4，求成绩在60-70分范围内的频率。参考答案：60-70分频率=0.4-0.3=0.1。9.在北师大版高三数学第十六章中，论述抽样方法在统计中的重要性。参考答案：抽样方法能以较少成本获取样本信息，推断总体特征，提高效率；简单随机抽样公平性高，系统抽样按规律抽取，分层抽样按比例抽取，整群抽样便于实施，需根据实际情况选择。10.已知一组样本数据：4，6，8，x，10的众数为8，中位数为7，求x的值并解释原因。参考答案：众数为8，x=8；中位数为7，排序后为4，6，7，8，10，满足条件。11.在北师大版高三数学第十六章中，解释什么是条件概率，并举例说明。参考答案：条件概率是指事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)；例如，掷骰子时“出现偶数”与“出现不大于4”，P(偶数|不大于4)=1/4。标准答案及解析一、单项选择题1.A2.A3.B4.A5.A6.A7.A8.A9.B10.A解析：2.简单随机抽样是直接随机抽取，题中随机抽取100名学生符合定义。3.分层抽样按比例抽取，男生30/50=60%，女生20/50=40%，抽取男生约6人，女生约4人。4.二项分布概率为C(3,2)×0.8²×0.2=0.384。5.众数为7，则x=7；中位数为8，排序后为5，7，7，9，12，满足中位数为8。6.80分以上频率为0.15+0.2+0.1=0.45，对应人数30人，总人数为30÷0.45≈200人。7.总平均分=(85×50+90×50)/(50+50)=87.5分。8.至少一件不合格=1-全部合格=1-0.95³≈0.262。9.方差反映数据离散程度，加减常数不改变方差。10.二项分布概率为C(3,2)×0.6²×0.4=0.192。11.极差为4，则x-3=4或7-x=4，解得x=7或x=3，取x=3。二、填空题1.不独立12.313.0.411614.1015.20016.78.52.0.26218.2019.0.3620.1或11解析：3.若独立，则P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.5=0.35≠0.3，故不独立。4.平均数为6，方差s²=(4+4+0+4+16)/5=8，标准差s=√8=2√2≈2.83，取整为3。5.C(4,3)×0.7³×0.3=4×0.343×0.3=0.4116。6.众数为10，则数据中至少有一个10。7.60分以下频率为0.05，对应人数10人，总人数为10÷0.05=200人。8.总平均分87.5，(50×(85-87.5)²+50×(90-87.5)²)/100=78.5。9.1-0.95⁴≈0.262。10.平均数乘以2，新平均数为10×2=20。11.C(3,2)×0.6²×0.4=0.24。12.x-3=6或9-x=6，解得x=9或x=3。三、判断题1.正确22.错误23.正确24.正确25.正确2.错误27.错误28.错误29.错误30.正确解析：3.互斥事件不可能同时发生，故概率为0。4.中位数是排序后中间的值，可能所有值都小于等于8。5.独立事件条件概率等于原概率，P(A|B)=P(A)P(B)/P(B)=P(A)。6.方差为0表示数据无离散，故所有值相等。7.频率即占比，故人数占总人数的20%。8.总平均分为87.5分，与班级数量无关。9.至少一件命中=1-全部不中=1-0.2³=0.928。10.极差为3，数据可能为2，4，6或3，5，8等。11.P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)。12.减去常数不改变方差。四、简答题1.简单随机抽样步骤：（1）将总体中的每个个体编号；（2）采用抽签法或随机数表法抽取样本。2.平均数=(2+4+6+8+10)/5=6；方差s²=[(2-6)²+(4-6)²+(6-6)²+(8-6)²+(10-6)²]/5=8。3.互斥事件是指不可能同时发生的两个事件，如掷骰子时“出现偶数”与“出现5点”。4.C(4,2)×0.7²×0.3²=6×0.49×0.09=0.2646。5.频率分布直方图绘制步骤：（1）确定分组区间；（2）计算各区间频率；（3）以组距为宽，频率/组距为高绘制矩形。6.可能的排序为：10，x，10，8，y（x≤8≤y）。7.条件概率是指事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，记为P(A|B)。8.60-70分频率=0.4-0.3=0.1。五、应用题1.至少一件不合格=1-全部合格=1-0.95³≈0.262。2.极差为6，x-3=6或9-x=6，解得x=9或x=3；平均数为6，(3+5+7+9+x)/5=6，解得x=0，矛盾，故x=3。3.前两次不中，第三次命中，概率为0.4²×0.6=0.096。4.总平均分87.5，(50×(85-87.5)²+50×(90-87.5)²)/100=78.5。5.60-70分频率=0.4-0.3=0.1。6.可能的排序为：12，x，9，y（x≤9≤y，且12+x+9+