2025-2026年高一数学第十四章数列与不等式练习题

2025-2026年高一数学第十四章数列与不等式练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值等于（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若不等式3x-5>0的解集为A，不等式x^2-4x+3<0的解集为B，则集合A∩B等于（）A.{x|x>5}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|x>3}解析：解集A={x|x>5/3}，解集B={x|1<x<3}，取交集得A∩B={x|5/3<x<3}，即{1<x<3}。选项B正确。4.已知不等式|2x-1|<3的解集为M，则集合M中所有整数的和等于（）A.5B.6C.8D.9解析：由绝对值不等式可得-3<2x-1<3，解得-1<x<2，整数解为x=0,1，和为1。选项B正确。5.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式c_n=c_1q^{n-1}，代入c_2=c_1q=6，c_4=c_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。6.若关于x的不等式ax+1>0在x∈(0,1)上恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a≥0C.a<0D.a≤0解析：当x∈(0,1)时，ax+1>0恒成立等价于a>-1/x在(0,1)上恒成立，即a>-1，故a>0。选项A正确。7.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），则d_5的值等于（）A.31B.63C.127D.255解析：递推关系变形为d_{n+1}+1=2(d_n+1)，可得{d_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列，d_n+1=2^n，故d_5=2^5-1=31。选项A正确。8.若不等式x^2-2x-3>0的解集为P，不等式x^2+x-6≤0的解集为Q，则集合P∪Q等于（）A.RB.{x|x<-3或x>5}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|x<-3或-2≤x≤3}解析：解集P={x|x<-1或x>3}，解集Q={x|-3≤x≤2}，取并集得P∪Q={x|x<-3或-2≤x≤3}。选项D正确。9.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值等于（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项B正确。10.若不等式a^2x^2+ax+1>0对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a≥0C.a<0D.a≤0解析：当a=0时原不等式为1>0恒成立；当a≠0时需满足Δ=a^2-4a<0且a>0，解得0<a<4，综上a∈(0,4)。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3+a_7=18，则a_5+a_9=______解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=18，故a_5+a_9=18。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_4=______解：b_4=S_4-S_3=81-26=55。3.不等式|3x+2|≥5的解集为______解：3x+2≥5或3x+2≤-5，解得x≥1或x≤-7/3，解集为{x|x≥1或x≤-7/3}。4.在等比数列{c_n}中，若c_1=2，c_3=8，则该数列的前6项和S_6=______解：由c_3=c_1q^2=8，得q=2，S_6=2(2^6-1)/2-1=63。5.若关于x的不等式mx+1>0在x∈(1,2)上恒成立，则实数m的取值范围是______解：m>-1/2在(1,2)上恒成立，故m>1。6.已知数列{d_n}满足d_1=3，d_{n+1}=d_n+2n（n∈N），则d_5=______解：d_2=5，d_3=9，d_4=13，d_5=17。7.不等式x^2-3x+2>0的解集为______解：解得x<1或x>2，解集为{x|x<1或x>2}。8.在等差数列{e_n}中，若e_1=1，e_3=7，则该数列的通项公式e_n=______解：由e_3=e_1+2d=7，得d=3，故e_n=1+3(n-1)=3n-2。9.若不等式a^2x^2+2ax+1>0对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______解：需满足Δ=4a^2-4a<0且a>0，解得0<a<4。10.已知数列{f_n}的前n项和T_n=2^n-1，则f_3=______解：f_3=T_3-T_2=7-3=4。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则数列{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例：取a_n=n，则a_n^2=n^2，其相邻项差为(n+1)^2-n^2=2n+1，不是常数，故错误。2.不等式|2x-1|>3的解集为{x|x>2或x<-1}。（√）解：2x-1>3或2x-1<-3，解得x>2或x<-1，解集正确。3.在等比数列{b_n}中，若b_2=6，b_4=54，则该数列的公比q=3。（√）解：由b_4=b_2q^2，得q^2=9，q=3，正确。4.若不等式ax+1>0在x∈(0,1)上恒成立，则实数a必须大于0。（√）解：由x∈(0,1)时ax>-1恒成立，得a>-1/x在(0,1)上恒成立，即a>0，正确。5.已知数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（√）解：当n≥2时c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，故数列为等比数列。6.不等式x^2-4x+3<0的解集为{x|1<x<3}。（√）解：解得x^2-4x+3=(x-1)(x-3)<0，解集正确。7.在等差数列{d_n}中，若d_1=2，d_3=8，则该数列的公差为3。（√）解：由d_3=d_1+2d，得8=2+2d，解得d=3，正确。8.若不等式a^2x^2+ax+1>0对所有实数x恒成立，则实数a必须大于0。（×）解：当a=0时原不等式为1>0恒成立，故a∈(-∞,0)∪(0,4)，错误。9.已知数列{e_n}满足e_{n+1}=e_n+2n（n∈N），则该数列是等比数列。（×）解：相邻项差为2n，不是常数，故不是等比数列，错误。10.不等式|3x-2|<5的解集为{x|-1<x<3}。（√）解：-5<3x-2<5，解得-1<x<3，解集正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，求该数列的通项公式b_n。解：当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，故b_n=2n。3.解不等式3x-5>2x+1。解：移项得x>6。4.已知不等式ax+1>0在x∈(0,2)上恒成立，求实数a的取值范围。解：需满足a>-1/2在(0,2)上恒成立，即a>0。5.若不等式x^2-5x+m<0的解集为{x|1<x<4}，求实数m的值。解：由解集可知1和4是方程x^2-5x+m=0的两根，故1+4=5，1×4=m，解得m=4。6.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的前5项和S_5。解：由c_4=c_2q^2，得q=3，S_5=6(3^5-1)/3-1=158。7.解不等式|2x+1|≤3。解：-3≤2x+1≤3，解得-2≤x≤1。8.已知数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=2d_n+1（n∈N），求该数列的前4项和T_4。解：d_2=3，d_3=7，d_4=15，T_4=1+3+7+15=26。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为100件，以后每年比前一年增产20件，求第5年的产量。解：由等差数列{a_n}，a_1=100，d=20，a_5=100+4×20=180件。2.某城市人口增长率为每年1.5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量（精确到0.1万）。解：由等比数列{b_n}，b_1=100，q=1.015，b_5=100×1.015^5≈113.4万。3.解不等式组：{2x-1>0x^2-3x+2≤0}解：由2x-1>0得x>1/2，由x^2-3x+2≤0得1≤x≤2，取交集得1≤x≤2。4.已知数列{c_n}的前n项和S_n=3^n-1，求该数列的第3项c_3。解：c_3=S_3-S_2=26-8=18。5.解不等式|3x-2|>7。解：3x-2>7或3x-2<-7，解得x>3或x<-5/3。6.在等差数列{d_n}中，若d_1=5，d_6=17，求该数列的通项公式d_n。解：由d_6=d_1+5d，得17=5+5d，解得d=2，故d_n=5+2(n-1)=2n+3。7.解不等式组：{3x+2<0x^2-4x+3>0}解：由3x+2<0得x<-2/3，由x^2-4x+3>0得x<1或x>3，取交集得x<-2/3。8.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第4项e_4。解：e_4=T_4-T_3=20-12=8。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.B4.B5.A6.A7.A8.B9.B10.A解析：1.等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，由a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。二、填空题1.182.553.{x|x≥1或x≤-7/3}4.635.m>16.177.{x|x<1或x>2}8.3n-29.0<a<410.4解析：1.等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7=18，故a_5+a_9=18。三、判断题1.×2.√3.√4.√5.√6.√7.√8.×9.×10.√解析：1.反例：取a_n=n，则a_n^2=n^2，其相邻项差为(n+1)^2-n^2=2n+1，不是常数，故错误。四、简答题1.a_n=3/2n+1/2解：由a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得a_1=2，d=3/2，故a_n=2+3/2(n-1)=3/2n+1/2。2.b_n=2n解：当n=1时b_1=S_1=2，当n≥2时b_n=S_n-S_{n-1}=2n，验证n=1时成立，故b_n=2n。3.x>6解：移项得x>6。4.a>0解：需满足a>-1/2在(0,2)上恒成立，即a>0。5.m=4解：由解集可知1和4是方程x^2-5x+m=0的两根，故1+4=5，1×4=m，解得m=4。