函数放缩试题及其答案

函数放缩精选试题及其答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数y=√(3x)的图像可以看作由函数y=√x的图像进行下列哪种变换得到的？A.横坐标缩短为原来的1/√3倍B.横坐标伸长为原来的√3倍C.纵坐标伸长为原来的√3倍D.纵坐标缩短为原来的1/√3倍2.函数y=sin(2x+π/3)的图像可以看作由函数y=sin(x)的图像进行下列哪种变换得到的？A.向左平移π/3个单位B.向右平移π/3个单位C.向左平移π/6个单位D.向右平移π/6个单位3.函数y=(1/2)^(-x)的图像与函数y=2^x的图像关于下列哪条直线对称？A.x=0B.y=xC.y=-xD.x=14.函数f(x)=x^3在区间(1,+∞)上单调递增，将它的图像进行横坐标伸长为原来的2倍变换，得到函数g(x)，则g(x)在区间(1,+∞)上的单调性是？A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定5.函数y=cos(π-x)的图像可以看作由函数y=cos(x)的图像进行下列哪种变换得到的？A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.向右平移π个单位6.函数y=-3sin(4x)的图像可以看作由函数y=sin(x)的图像进行下列哪种变换得到的？A.横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标伸长为原来的3倍B.横坐标伸长为原来的1/4倍，纵坐标伸长为原来的3倍C.横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标缩短为原来的1/3倍D.横坐标伸长为原来的1/4倍，纵坐标缩短为原来的1/3倍7.函数f(x)=|x|在定义域内单调递增，将它的图像进行纵坐标压缩为原来的1/2倍变换，得到函数g(x)，则g(x)在区间(-∞,0)上的单调性是？A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.无法确定8.函数y=log_a(x)(a>1)的图像在其定义域内单调递减，将它的图像进行横坐标压缩为原来的1/2倍变换，得到函数g(x)=log_a(2x)，则g(x)的图像在区间(1,2)上是？A.单调递减B.单调递增C.先增后减D.无法确定二、多项选择题：下列每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。请在答题卡上将所选项字母涂黑。9.函数y=f(2x)的图像可以看作由函数y=f(x)的图像进行下列哪些变换得到的？A.横坐标伸长为原来的2倍B.横坐标缩短为原来的1/2倍C.图像关于y轴对称D.图像沿x轴方向向右平移log₂(2)个单位10.函数y=2f(x)的图像与函数y=f(x)的图像相比，下列哪些说法是正确的？A.若f(x)的图像经过点(a,b)，则2f(x)的图像经过点(a,2b)B.若f(x)是奇函数，则2f(x)也是奇函数C.若f(x)的图像关于原点对称，则2f(x)的图像也关于原点对称D.若f(x)在某区间上单调递增，则2f(x)在该区间上单调递增11.函数y=f(1-x)的图像可以看作由函数y=f(x)的图像进行下列哪些变换得到的？A.将函数y=f(x)的图像关于x轴对称B.将函数y=f(x)的图像关于y轴对称C.将函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称D.将函数y=f(x)的图像向右平移1个单位12.对函数y=f(x)的图像进行先纵坐标伸长为原来的a倍（a>1），再横坐标缩短为原来的1/b倍（b>1）变换，得到函数y=af(bx)，则下列哪些说法是正确的？A.变换的顺序可以交换（先压缩再伸长）B.a和b的取值会影响变换的最终效果C.如果a=b，则变换相当于将图像沿x轴或y轴方向平移D.变换相当于将图像同时进行横向和纵向的缩放13.函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过变换y=Asin(ωx+φ)(A>0)，得到函数g(x)，则下列哪些说法是正确的？A.g(x)的振幅变为AB.g(x)的周期变为ω/2πC.g(x)的图像可能关于x轴对称（取决于A和φ）D.g(x)的图像可能关于原点对称（取决于A和φ）三、填空题：14.函数y=tan(π/4-x)的图像可以看作由函数y=tan(x)的图像进行______变换得到的。15.函数y=e^(x-1)的图像可以看作由函数y=e^x的图像进行______变换得到的。16.将函数y=cos(x)的图像进行横坐标伸长为原来的3倍，再纵坐标压缩为原来的1/2倍变换，得到函数g(x)。若g(π/4)=√2/4，则原函数y=cos(x)的值域是______。17.函数f(x)=x^2在区间(-1,1)上单调递减，将它的图像进行纵坐标压缩为原来的1/4倍变换，得到函数g(x)，则g(x)在区间(-2,2)上的最小值是______。四、解答题：18.已知函数f(x)=√(x+1)。(1)求函数f(x)的定义域和值域。(2)将函数f(x)的图像进行横坐标缩短为原来的1/2倍变换，得到函数g(x)。求函数g(x)的定义域和值域。(3)将函数f(x)的图像进行纵坐标伸长为原来的3倍变换，得到函数h(x)。判断函数h(x)在其定义域内是否单调递增，并说明理由。19.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)。(1)求函数f(x)的最小正周期。(2)将函数f(x)的图像进行横坐标伸长为原来的2倍变换，得到函数g(x)。求函数g(x)在区间[0,π/2]上的最大值和最小值。(3)是否存在常数a，使得函数y=sin(2x)+cos(2x)的图像可以经过纵坐标伸长为原来的a倍变换后，与函数y=acos(2x+θ)(θ为常数)的图像完全重合？若存在，求出a和θ的值；若不存在，说明理由。20.设函数f(x)=|x+1|-|x-1|。(1)作出函数f(x)的图像。(2)将函数f(x)的图像进行横坐标压缩为原来的1/2倍，纵坐标伸长为原来的2倍变换，得到函数g(x)。求函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)在区间(-∞,0)上的单调性。21.已知函数f(x)=(1/2)^x+ax+b。(1)若函数f(x)的图像经过点(0,3)，求a+b的值。(2)若将函数f(x)的图像进行纵坐标压缩为原来的1/2倍变换，得到函数g(x)=(1/4)^x+(a/2)x+b。求实数a的取值范围，使得函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递减。试卷答案一、单项选择题：1.C*解析：y=√(3x)=√(√3*√x)=√√3*√x。将y=√x的图像纵坐标伸长为原来的√3倍（即伸长为原来的3倍）得到y=√√3*√x=√(3x)。2.C*解析：y=sin(2x+π/3)=sin[2(x+π/6)]。将y=sin(x)的图像向左平移π/6个单位得到y=sin(x+π/6)，再进行横坐标缩短为原来的1/2倍变换得到y=sin[2(x+π/6)]=sin(2x+π/3)。3.B*解析：y=(1/2)^(-x)=2^x。y=2^x与y=2^(-x)=(1/2)^x的图像关于y=x对称。y=(1/2)^(-x)=2^x与y=2^(-x)关于原点对称，因此y=2^x与y=(1/2)^(-x)关于y=x对称。4.A*解析：将f(x)=x^3的图像横坐标伸长为原来的2倍得到g(x)=(x/2)^3=x^3/8。对于x>1，有x/2<x，因此x^3/8<x^3，即g(x)<f(x)。由于f(x)在(1,+∞)上单调递增，且g(x)<f(x)，所以g(x)在(1,+∞)上也单调递增。5.B*解析：y=cos(π-x)=cos[π+(-x)]=cos(-x)=cos(x)。将y=cos(x)的图像关于y轴对称即得到y=cos(π-x)的图像。6.D*解析：将y=sin(x)的图像横坐标伸长为原来的1/4倍得到y=sin(1/4*x)，再进行纵坐标伸长为原来的3倍变换得到y=3sin(1/4*x)=-3sin(4x)（因为伸长为原来的3倍是乘以3，负号来自对称性）。7.A*解析：将f(x)=|x|的图像纵坐标压缩为原来的1/2倍得到g(x)=(1/2)|x|。对于x∈(-∞,0)，g(x)=-x/2。这是一个斜率为-1/2的递减直线，因此g(x)在(-∞,0)上单调递增。8.A*解析：g(x)=log_a(2x)=log_a2+log_ax。将y=log_a(x)的图像横坐标压缩为原来的1/2倍得到y=log_a(2x)。对于x∈(1,2)，有2x∈(2,4)，因此log_a(2x)∈(log_a2,log_a4)。由于a>1，log_a2<log_a4，且log_a(2x)是log_a(x)图像的横向压缩，其单调性保持不变。因此g(x)在(1,2)上单调递减。二、多项选择题：9.B,D*解析：y=f(2x)=f[kx](k=2)。将y=f(x)的图像横坐标缩短为原来的1/k倍，即缩短为原来的1/2倍。或者理解为将y=f(x)的图像向右平移log_k(a)个单位，即向右平移log₂(2)=1个单位。10.A,B,C*解析：A.若f(x)的图像经过点(a,b)，则f(a)=b。g(x)=2f(x)，所以g(a)=2f(a)=2b。因此g(x)的图像经过点(a,2b)。B.若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。g(x)=2f(x)，所以g(-x)=2f(-x)=-2f(x)=-g(x)。因此2f(x)也是奇函数。C.若f(x)是奇函数，则f(-x)=-f(x)。g(x)=2f(x)，所以g(-x)=2f(-x)=-2f(x)=-g(x)。因此g(x)的图像也关于原点对称。D.g(x)=2f(x)。若f(x)在某区间(I)上单调递增，即对任意x₁,x₂∈I,x₁<x₂恒有f(x₁)<f(x₂)。则g(x₁)=2f(x₁),g(x₂)=2f(x₂)，但无法保证2f(x₁)<2f(x₂)（例如f(x)=-x在(-∞,0)上单调递增，但2f(x)=-2x在(-∞,0)上单调递减）。11.B,D*解析：y=f(1-x)=f[-(x-1)]。将y=f(x)的图像关于y轴对称得到y=f(-x)。再将y=f(-x)的图像向右平移1个单位（因为1-x=-(x-1)），得到y=f[-(x-1)]=f(1-x)。12.B,D*解析：A.横坐标压缩和纵坐标伸长是不同的变换，顺序通常不能交换。例如f(x)->g(x)=f(2x)(压缩)，再h(x)=1/2g(x)(伸长)，与h(x)=1/2f(x)(伸长)，再g(x)=h(2x)=f(4x)(压缩)效果不同。B.变换g(x)=af(bx)相当于先进行横坐标伸缩（系数为1/b），再进行纵坐标伸缩（系数为a）。a和b的取值决定了伸缩的比例和方向。D.变换g(x)=af(bx)同时改变了图像在x轴和y轴的“单位长度”，是同时进行的横向和纵向缩放。13.A,C,D*解析：A.g(x)=Asin(ωx+φ)。振幅是|A|，这里A>0，所以振幅为A。B.周期T=2π/|ω|。变换后的函数g(x)的周期也是T=2π/|ω|，与ω/2π无关。C.g(x)=Asin(ωx+φ)。若φ=kπ+π/2(k∈Z)，则g(x)=Asin[ωx+(kπ+π/2)]=Asin(ωx+kπ)=±Acos(ωx)。此时g(x)的图像关于x轴对称。例如φ=π/2时，g(x)=Asin(ωx+π/2)=Acos(ωx)，关于x轴对称。D.g(x)=Asin(ωx+φ)。若ωx+φ=kπ+π/2(k∈Z)，则g(x)=Asin(kπ+π/2)=±A。此时g(x)的图像可能关于原点对称。例如ωx+φ=π/2+2kπ，即x=(π/2+2kπ-φ)/ω，此时g(x)=A。若ωx+φ=-π/2+2kπ，即x=(-π/2+2kπ-φ)/ω，此时g(x)=-A。如果这两个x值相等，即π/2-(-π/2)=2φ-2φ+4kωπ，即2π=4kωπ，即k=1/(2ω)。只要存在这样的k，则函数图像关于原点对称。例如φ=0时，g(x)=Asin(ωx)，x=π/(2ω)和x=3π/(2ω)时，g(π/(2ω))=A,g(3π/(2ω))=-A，图像关于原点对称。三、填空题：14.向右平移π/4个单位*解析：y=tan(π/4-x)=tan[-(x-π/4)]=-tan(x-π/4)。将y=tan(x)的图像关于x轴对称得到y=-tan(x)。再将y=-tan(x)的图像向右平移π/4个单位得到y=-tan(x-π/4)=tan(π/4-x)。15.向右平移1个单位*解析：y=e^(x-1)=e^x*e^(-1)。将y=e^x的图像向右平移1个单位得到y=e^(x-1)。16.[-√2/2,√2/2]*解析：g(x)=(1/2)cos(1/3*x)。g(π/4)=(1/2)cos(π/12)=√2/4。即(1/2)cos(π/12)=√2/4。cos(π/12)=√2/2。原函数f(x)=cos(x)。f(x)的值域是[-1,1]。g(x)的值域是f(x)值域的1/2倍，即[-1/2,1/2]。但由于g(x)=(1/2)cos(1/3*x)=(1/2)cos(kx)(k=1/3)。cos(kx)的值域是[-1,1]，(1/2)cos(kx)的值域是[-1/2,1/2]。结合g(π/4)=√2/4，即(1/2)cos(π/12)=√2/4，说明cos(π/12)=√2/2。因此g(x)的值域确实是[-√2/2,√2/2]。17.0*解析：f(x)=x^2在区间(-1,1)上单调递减，说明f(x)在(-1,1)上递减。将f(x)的图像纵坐标压缩为原来的1/4倍得到g(x)=(1/4)x^2。g(x)在(-2,2)上的最小值出现在区间(-2,2)与(-1,1)的交集(-1,1)的端点处或内部。由于(-1,1)是g(x)递减区间，最小值在左端点x=-1处取得，即g(-1)=(1/4)(-1)^2=1/4。但是题目区间是(-2,2)，需要检查x=0处的值，g(0)=(1/4)0^2=0。由于-1<0，且g(x)在(-1,1)上递减，所以g(x)在(-1,0)上递减，g(x)在(0,1)上递增。因此g(x)在(-2,2)上的最小值是g(0)=0。四、解答题：18.(1)定义域：x+1≥0，即x≥-1。定义域为[-1,+∞)。值域：y=√(x+1)。当x=-1时，y=0。当x→+∞时，y→+∞。函数在定义域内递增。值域为[0,+∞)。(2)g(x)=√(x/2+1)。定义域：x/2+1≥0，即x≥-2。定义域为[-2,+∞)。值域：y=√(x/2+1)。当x=-2时，y=0。当x→+∞时，y→+∞。函数在定义域内递增。值域为[0,+∞)。(3)h(x)=3√(x+1)。函数h(x)的定义域为[-1,+∞)。设t=√(x+1)，则h(x)=3t。当x在[-1,+∞)上变化时，t在[0,+∞)上变化。函数y=3t在区间[0,+∞)上单调递增。因此函数h(x)在其定义域内单调递增。19.(1)f(x)=sin(2x)+cos(2x)=√2sin(2x+π/4)。最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。(2)g(x)=√2sin(2(x/2)+π/4)=√2sin(x+π/4)。g(x)在[0,π/2]上的单调区间为[0,3π/8)和(3π/8,π/2]。在[0,3π/8)上递增，在(3π/8,π/2]上递减。最大值在x=π/2处取得，g(π/2)=√2sin(π/2+π/4)=√2sin(3π/4)=√2*(√2/2)=1。最小值在x=3π/8处取得，g(3π/8)=√2sin(3π/8+π/4)=√2sin(π/2)=√2*1=√2。因此最大值为√2，最小值为1。(3)存在。若两个图像完全重合，则存在a>0和θ使y=acos(2x+θ)的图像经过纵坐标伸长为原来的a倍变换后的y=asin(2x)的图像。即y=acos(2x+θ)与y=asin(2x)图像重合。这意味着acos(2x+θ)=asin(2x)。cos(2x+θ)=sin(2x)。sin(2x)-cos(2x)=0。sin(2x)=cos(2x)。tan(2x)=1。2x=kπ+π/4(k∈Z)。x=kπ/2+π/8(k∈Z)。这要求对于所有x，等式成立，这显然不可能。因此，不存在这样的a和θ使两个图像完全重合。或者，另一种理解是，变换y=f(x)->y=af(kx)->y=asin(2x)，与y=acos(2x+θ)图像重合。即asin(2x)=acos(2x+θ)。sin(2x)=cos(2x+θ)。sin(2x)=cos(2x)cos(θ)-sin(2x)sin(θ)。2sin(2x)sin(θ)=cos(θ)cos(2x)。由于此等式对任意x成立，令x=0，得0=cos(θ)cos(0)=cos(θ)。令x=π/4，得2sin(π/2)sin(θ)=cos(θ)cos(π/2)=0。此等式总成立。若cos(θ)=0，则θ=kπ+π/2(k∈Z)。此时等式为2sin(2x)sin(kπ+π/2)=0，即2sin(2x)cos(kπ)=0。由于sin(2x)不恒为0，所以cos(kπ)=0，k必须为奇数。设k=2m+1(m∈Z)，则θ=(2m+1)π+π/2=(2m+2)π/2+π/2=mπ+3π/2。取θ=3π/2。此时y=acos(2x+3π/2)=acos(2x-π/2)=asin(2x)。与y=asin(2x)图像重合。因此存在a>0和θ=3π/2，使得变换后的y=asin(2x)与y=acos(2x+θ)的图像完全重合。例如取a=1,θ=3π/2。20.(1)作图步骤：1.y=|x+1|=(x+1)forx≥-1,(-x-1)forx<-1.y=|x-1|=(x-1)forx≥1,(-x+1)forx<1.2.分段函数：f(x)=(x+1)forx≥-1,(-x-1)for-2≤x<-1,(-x+1)forx≥1.3.作图：在x=-1处有顶点(-1,0)。在x=-2处有顶点(-2,1)。在x=1处有顶点(1,0)。图像由三段直线组成：(-∞,-2]上斜率为-1的线段，(-2,-1]上斜率为1的线段，(-1,1]上斜率为1的线段，[1,+∞)上斜率为-1的线段。图像关于直线x=-1/2对称。(2)g(x)=2f(x/2)。1.将f(x)的图像沿x轴方向平移2个单位（压缩为原来的1/2倍）。2.将平移后的图像沿y轴方向伸长为原来的2倍。3.得到g(x)的图像。具体表达式：g(x)=2*[(x/2+1)forx/2≥-1,(-(x/2)-1)for-2≤x/2<-1,(-(x/2)+1)forx/2≥1].整理得：g(x)=(x+2)forx≥-2,(-x-2)for-4≤x<-2,(-x+2)forx≥2.4.判断单调性：在(-∞,-4]上g(x)=-x-2，斜率为-1，单调递减。在(-4,-2]上g(x)=-x-2，斜率为-1，单调递减。在(-2,2]上g(x)=-x+2，斜率为-1，单调递减。在[2,+∞)上g(x)=-x+2，斜率为-1，单调递减。因此，函数g(x)在其定义域(-∞,-4]∪(-4,-2]∪(-2,2]∪[2,+∞)上单调递减。21