图形的认识-第3讲：特殊三角形

舞三节特殊三角形

【知识梳理】7

----------\

B法技巧】，

一、等腰三角形的重要结论

1、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.

2、等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行

3、等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.如图，即=本

结论可以用面积列等式推得.

AA

4、等腰二角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的岛.

5、要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，得到两边相等的方法主要有：（1）通过

等角对等边；（2）通过三角形全等得两边相等；（3）利用垂直平分线的性质得到两边相等.

6、遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分.

7、遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况.

8、等腰三角形三线合一定理没有逆定理，定理的逆推论需要用全等去证明.

二、勾股定理的结论

1、常用的勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25.

2、勾股定理的证明方法：

（1）将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

SJE方JTLCO=（4+"）=+4x—ah

:、a2+b2=c2.

（2）将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形:

1

2/\24

s—

-c-\(a-+X-//7

-/2

a2+b2=c2.

(3)如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形:

+〃)(♦+£?)1,1

S梯形ABC0=----1----------=2x-«/?+-c

乙乙乙

•2f22

••a-+b-=c-.

3、S]+S?=S3

4、解题时，要注意题目给出的边长是直角边还是斜边，如果没有确定，则需要分类讨论.

5、当需要做高来构造直角三角形时，要注意钝角三角形的高在三角形的外部.

【考点突破】

小专题：等腰三角形

考点1、等腰三角形的性质

例1、已知等腰三角形的一边长为3cm,且它的周长为12cm,则它的底边长为（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.3cm或6cm

变式1、等腰△ABC的周长为10,则其腰长x的取值范围是（）

A.x>5—B.x<5C.—5<x<5D.—5<x<5

222

变式2、若等腰三角形的两条边的长分别为5cm和8cm,则它的周长是（）

A.13cmB.18cmC.21cmD.18cm或21cm

例2、如图，在等腰△ABC中，AB=AC,BD±AC,ZABC=72°,则NABD等于（）

A

A.18。B.36°C.54°D.64°

变式1、若等腰三角形的一个内角是40。，则它的顶角是（）

A.100°B.40°C.100。或40。D.60°

变式2、如图，ZBAC=e（0°<e<90°）,现只用4根等长的小棒将NBAC固定，从点Al开始依

次向右摆放，其中AiAz为第1根小棒，且A1A2=AAi，则角。的取值范围是

例4、如图，在^ABC中，AB=AC,D、E是4ABC内两点，AD平分NBAC,ZEBC=ZE=60°,

若BE=10cm,DE=2cm,贝ijBC=cm.

变式1、作图题（要求：画出四形，保留作图痕迹，并简要说明画法，不要求证明）.

已知NAOB及其内部一点P.

（I）如图1，若点P在NAOB的角平分线上，请你在图1中过点P作直线，分别交OA、OB于

点C、D,使40CD为等腰三角形，且CD是底边；

（2）若点P不在/AOB的凭平分线上（如图2）,请你在图2中过点P作直线，分别交OA、

OB于点C、D,使AOCD为等腰三角形，且CD是底边.

例6、已知：如图，D是等腰aABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,

当D点在什么位置时，DE=DF?并加以证明.

变式1、如图，在△ABC中，AB=AC=a,BC=b,且2a>b,BG_LAC于G,DE_LAB于E,DF±AC

于F.

（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a,b表示），并判断DE+DF

与BG的关系.

（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，

证明你的结论；如果不成立，请说明理由.

（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系.（不要求证明）

例7、如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特

异线，称这个三角形为特异三角形.

C

D

B

图1图2

(1)如图1,△ABC中，ZB=2ZC,线段AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求证:

AE是^ABC的一条特异线;

(2)如图2,若AABC是特异三角形，ZA=BN1CD,NB为钝角，求出所有可能的NB的度数.

考点2、等边三角形性质

例1、如图，△ABC是等边三角形，D,E,F分别是AB,BC,CA边上一点，且AD=BE=CF.则

△DEF的形状是

变式1、如图，在等边△ABC中，AC=9,点。在AC上，且AO=3,点P是AB上一动点，连接

OP,以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D,连接PD,如果PO=PD,那么AP的长是

例2、如图，过边长为I的等边△ABC的边AB上一点P,作PE1AC于E,Q为BC延长线上一

点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为

D

BQ

变式1、如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD二BE,AE与CD交于点

其

F.AGICD干点G.下列结论：®AE=CD：②/AFC=I2O。：③AADF是于=角形:<4

中正确的结论是(填所有正确答案的序号).

例3、如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分NACD,且CE二BD.说明：△ADE是

等边三角形.

变式I、如图△ABC是等边三角形

(I)如图①，DE〃BC,分别交AB、AC于点D、E.求证：△ADE是等边三角形;

（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE,判断NBEC的度数

及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由.

变式2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6,PB=8,PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋

转后，得到△P'AB.

（I）求旋转角的度数；

（2）求点P与点P'之间的距离；

（3）求NAPB的度数.

变式3、已知△ABC中，AB=3,ZBAC=120°,AOI,D为AB延长线上一点，BD=1,点E在

NBAC的平分线上，且AADE是等边三角形，则点C到BE的距离为一.

小专题：勾股定理

考点1、基本概念与定理

例1、如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形,

上述四种情况的面积关系满足Si+SkSs图形个数有（）

变式1、如图1,分别以宜角三角形三边为边向外作等边三先形，面积分别为ShS2、S3；如图2,

分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形，面积分别为S,、S5、

A.86B.64C.54D.48

变式3、如图，正方形ABCD的边长为2,其面积标记为Si,以CD为斜边作等腰直角三角形，以

该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2,…，按照此规律继续下去，

则S,的值为（）

A.(L6B.(-1)7C.(返)6D.(返)7

2222

例2、如图，正方形网格中的AABC,若小方格边长为1,则AABC的形状为（)

A

A.直角三角形B.锐角三角形

C.钝角三角形D.以上答案都不对

变式1、在aABC中,ZA,Z3,/C的对边分别为a,b,c,且（a+b）（a-b）=c2,则（）

A./A为直角B.ZC为直角

C./B为直角D.不是直角三角形

考点2、在直角三角形中，求边长

例1、若一直角三角形两边长分别为12和5,则第三边长为（）

A.13B.13或寸玩C.13或15D.15

变式1、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x?-8x+7=0的两个根，则这个直角

三角形的斜边长是（）

A.V3B.3C.6I）.9

例2、如图所示：数轴上点A所表示的数为a,则a的值是（）

-3-2-101^23

A.V5+1B.-V5+1C.VE-1D.V5

变式1、如图，以数轴的单位长度线段为边作•个正方形，以表示数・2的点为圆心，正方形对角

线长为半径画弧，交数轴于点A,则点A表示的数是（）

例3、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上,BC=1,CE=3,C到直线AF的距离是（）

变式1、如图所示，在RtZXAEC中，ZA=90°,BD平分NABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则

点I）到BC的距离是（）

例4、有一棵大树在离地面高9m处断裂，大树顶部在离其底部12m处,大树折断之前的高度是（）

A.16mB.20mC.30ml）.24m

变式1、在一个广场上有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米.一只小鸟从一棵

树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.

变式2、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC0的边CO、0A分别在x轴、y轴上，点E在边BC

上，将该矩形沿AE折叠，点3恰好落在边0C上的F处.若0A=8,CF=4,则点E的坐标是.

例5、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈.葭生

其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：

“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦

苇露出水面I尺.如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深

度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为.

变式1、《算法统宗》是中国占代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中

有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕

女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几？”

译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送1（）尺（水平距离）时，秋千的

踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”.设

秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为.

变式2、《九章算术》中记载：''今有竹高一丈，未折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：

有一根竹子原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处高竹根3尺，试问折断处离

地面多高？我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表

示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是尺.

例6、一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯了的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米到卜，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

变式1、校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载，某中学九年级数

学活动小组进行了测试汽车速度的实验.如图，先在笔直的公路1旁选取一点A,在公路1上确

定点B、C,使得AC_L1,NBAC=60°,再在AC上确定点D,使得NBDC=75°,测得ADFO米.已

知本路段对校车限速是50千米/时，测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒.

（1）求CD的长.（结果保留根号）

（2）问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：72=1.414,73=1.73）

考点3、求最短距离

例1、如图，长方体的底面边长为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧

面缠绕一圈到达B,那么所用洲线最短需要（）

A.12cmB.11cmC.10cmD.9cm

变式1、如图，圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂

蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内

壁B处的最短距离为（）

蚂蚁/

5连蜜

A.13cmB.V61cmC.2V61cmD.20cm

变式2、如图，已知长方体的长为AC=2cm,宽BC=lcm,高AA'=4cm.一只蚂蚁如果沿长方体的表

面从A点爬到B'点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？

D'B'

AC

变式3、如图，一只杯子的上下底面分别是直径为5cm和7.5cm的圆，母线AB的长为15cm.

（1）求杯子的侧面枳.

（2）从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终盘为A,求装饰线的最捋长度.

V【分层训练】》

L_r

<A组〉

1.已知等边三角形的边长为3,点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为（）

A.返B.到3C.aD.不能确定

222

2.若等腰三角形中有两边长分别为2和5,则这个三角形的周长为()

A.9B.12C.7或9D.9或12

3.如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD是△ABC的角平分线，DE_LAB,垂足为E,

DE=1,则BC=()

A.V3B.2C.3D.V3+2

4.如图，已知RSABC中，ZACB=90°,AC=6,BCM,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转

90。得到△DEC.若点F是DE的中点，连接AF,则AF二—.

5.如图，在等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC11,且DE〃AB,过点E作EF_LDE,

交BC的延长线于点F.

(1)求NF的度数；

(2)若CD=2,求DF的长.

6.在△ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积.

某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.

<B组〉

1.如图，ZA0B=120°,OP平分NAOB,且0P=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边

三角形，则满足上述条件的△PMN有（）

A.1个B.2个C.3个D.3个以上

2.在平面直角坐标系中，点A（亚，&），B（3加，3血），动点C在x轴上，若以A、B、C

三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数为（）

A.2B.3C.4I）.5

3.如图，在AABC中，AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点，NAOC=60°,则当aPAB为

4.（1）已知：^ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且

ZDEC=ZDCE,若NA=60。（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其它条件不变（如

图②），（1）的结论是否成立，并说明理由；

（3）若将（1）中的“若NA=60°”改为“若NA=90°”，其它条件不变，则旦殳的值是多少？

AD

（直接写出结论，不要求写解答过程）

小专题：等腰三角形

考点1、等腰三角形的性质

例1、解:当3cm是等腰三角形的腰时,底边长=12・3x2=6cm,

V3+3=6,不能构成三角形，.••此种情况不存在：

19-3

当3cm是等腰三角形的底边时，腰长=------二4.5cm.，底为3cm,故选A.

2

’2x>10_2xc

变式1、解：设腰长为x,则底边长为10-2x,依题意得：，、，解得皂VxV5.

x+10-2x>x2

故选c.

变式2、解：①当腰是5cm,底边是8cm时，能构成三角形，

则其周长=5+5+8=18cm；

②当底边是5cm,腰长是8cm时，能构成三角形，

则具周长=5+8+8=21cm.

故选D.

例2、解：TAB=AC,ZABC=72°,

.\ZABC=ZACB=72°,

AZA=36°,

VBD±AC,

；・ZABD=90°-36°=54°.

故选：C.

变式1、解：此题要分情况考志：

①40。是它的顶角；

②40°是它的底角，则顶角是180°-40°x2=100°.

所以这个等腰三角形的顶角为40。或100°.

故诜C.

变式2、VAIA2=AAI

.,.0i=ZA2AiA3=2e,

工缶二NA2A4A3=9+28=36,

仇=ZA2A4A3+0=40,

'58>90。

由题意得：

49<90°

・•・18。09V22.5。.

例4、解：延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,作DF〃BC于F,

VAB=AC,AD平分/BAC,

AAN1BC,BN=CN,

VZEBC=ZE=60°,

・•・ZBME-60",

•••△BEM为等边三角形，

VBE=IOcm,DE=2cm,

.\DM=8cm,

VAN1BC,NEMB=60。，

・•・ZNDM=30°,

.\NM=—DM=4cm,

2

.*.BN=IO-4=6cm,

.*.BC=2BN=12cm,

故答案为：12.

变式I、解：（1）如图1,画法：过点P作OP的垂线，分别交OA、OB于点C、D,

则^OCD是以CD为底边的等腰三角形；

（2）如图2,画法：作/AOB的角平分线，过点P作角平分线的垂线，分别交角的两边0A、

0B于点C、D,

则^OCD是以CD为底边的等腰三角形.

例6、解：当D为BC的中点对，DE二DF.

理由：:AD为等腰三角形底之上的中线，

・，.AD平分ZBAC,

又,.,DE_LAB,DF_LAC,

DE=DF.

变式1、解：（1）VDF1AC,BG1AC,

・・・DF〃BG,

,；D是BC的中点,

・5^1

连接AD,DE±AB,DF1AC,

・•・DE=DF=-^^a--b-

.・…4a

・・・DE+DF=BG.

(2)延长FD,使FM=BG,

VDF±AC,BG1AC,

・•・四边形BMFG是矩形，

BG=MF,

VZEDB+ZABD=90°,ZFDC+ZC=90°,ZABC=ZC,

/.ZEDB=ZFDC,

VZFDC=ZBDM,

/.ZEDB=ZBDM.

VZBED=ZBMD,BD=BD,

/.△EBD^AMBD,

ED=MD.

.\BG=DE+DF.

(3)BG=DE-DF.

图（1）

例7、解、（1）证明:

VDE是线段AC的垂直平分线，

AEA=EC,即仆EAC是等腰三角形,

AZEAC=ZC,

JZAEB=ZEAC+ZC=2ZC,

VZB=2ZC,

AZAEB=ZB,即△EAB是等腰三角形,

・•・AE是^ABC是一条特异线.

当BD是特异线时，如果AB=BD=DC,则NABC=NABD+/DBC=120°=15°=135°,

如果AD=AC,DB=DC,则NABC=NABD+NDBC=75o+37.5o=l12.5。，

如果AD=DB,DC=DB,则ABC=NABD+NDBC=30o+6()o=90。(不合题意舍弃).

如图3中,当AD是特异线时，AB=BD,AD=DC,则NABC=180。-20。-20。=140。

图3

当CD为特异线时，不合题意.

・•・符合条件的NABC的度数为135。或112.5。或1401

考点2、等边三角形性质

例1、解：•一△ABC为等边三角形，且AD=BE,

・・・AF=BD,ZA=ZB=60°,

・・・在4ADF-^ABED中，

'AF二BD

<NA=NB，

AD二BE

.,.△ADF^ABED(SAS).

同理证得△ADFg/XCFE(SAS),

/.△ADF^△BED^ACFE(SAS),

/.DF=ED=EF,

•••△DEF是一个等边三角形.

故答案是•：等小三角形.

变式1、解：连接0D,

VPO=PD,

/.OP=DP=OD,

・•・ZDPO=60°,

•・•等边△ABC,

二NA-NB-60。，AC-AB-9,

ZOPA=ZPDB=ZDAP-60。，

.,.△OPA^APDB,

VAO=3,

/.AO=PB=3,

AP=6.

故答案是：6.

例2、解：过P作PF〃BC交AC于F.

•・・PF〃BC,△ABC是等边三角形，

・•・NPFD:NQCD,△APF是等边三角形,

.\AP=PF=AF,

*/PE_LAC,

・・.AE=EF,

VAP=PF,AP=CQ,

APF=CQ.

•・•在△PFD和△QCD中，

rZPFD=ZQCD

/PDF=NQDC，

IPF=CQ

AAPFD^AQCD(AAS),

AFD=CD,

VAE=EF,

・・・EF+FD=AE+CD,

.*.AE+CD=DE=—AC,

2

VAC=1,

.・.DE=—.

2

故答案为：1.

2

变式1、解：在等边△ABC中，AB=AC,ZBAC=ZB-60n,

•・,在△ABEfOACAD中，

(AB=AC

ZBAC=ZB=60"，

IAD二BE

.,.△ABE^ACAD(SAS),

/.AE=CD,故①正确;

VZACD=ZBAE,

，ZCAF+ZACD=ZCAF+ZBCE=ZBAC=60°,

在AACF中，ZAFC=180°-(ZCAF+ZACD)=180°-60°=120°,故②正确;

VZFAD<ZBAC,ZBAC=60°,

JZFADi60°,

•••△ADF不是正三角形，故③错误；

VZAFG=I8O°-ZAFC=I8O°-120°=60°,AG±CD,

JZFAG=90°-60°=30°,

.\FG=—AF,

2

.•.四二工，故④正确，

AF2

综上所述，正确的有①②④.

故答案为：①©④.

例3、证明：:△ABC为等边三角形，

/.ZB=ZACB=60°,AB=AC,

EPZACD=120°,

YCE平分NACD,

ZACE=ZDCE=60°,

在^ABD和^ACE中，

fAB=AC

=NACE，

IBD=CE

/.△ABD^AACE(SAS),

AAD=AE,ZBAD=ZCAE,

XVZBAC=60°,

ZDAE=60°,

/.△ADE为等边三角形.

变式1、(1)证明：:△ABC是等边三角形，

/.ZB=ZC=60°,

VDE/7BC,

AZADB=ZB=60°,ZAED=ZC=60°,

•••△ADE是等边三角形：

(2)解:AE+CE=BE.

VZBAD+ZDAC=60°,ZCAE+ZDAC=60°,

AZBAD=ZCAE,

BAD和△CAE中，

(AB=AC

/BAD二NCAE，

IAD=AE

AABAD^ACAE,

.*.BD=CE,

BE=BD+DE=AE+CE.

变式2、解：(1)由NBAO60。可知旋转角的度数为60。；

(2)连接PP\由题意可知AP，=AP=6,

•・•旋转角的度数为60。，

・•・ZPAPr=60°.

•••△APF为等边三角形，

・・・PP'=AP=AP'=6；

(3)VBP,=PC=10,BP=8,PP'=6,

APP，2+BP2=BP/2,

.•.△BPP，为直角三角形，且NBPP，=90。

・•・NAPB=NBPP'+NAPP'=900+60°=150°.

变式3、解：连接CE,过点C作CNJLBE于点N,过点B作BF_LDE于点F,

VAADE是等边三角形，

/.ZD=ZDAE=ZDEA=60°,AE=DE=AB,

VZBAC=120°,

JZEAC=60°,

在^DBE和^ACE中

DB=AC

'ND二NCAE，

DE=AE

AADBE^AACE(SAS),

/.ZAEC=ZDEB,EOBE,

•・•ZDEA=60°,

・•・NBEC=60°,

•••△CBE是等边三角形，

VBD=1,ZD=60°,

.,.BF=lxsin600=—,DF=—BD=—,

222

EF=4"—=­9

22

,,BE=娉产+(产行,

ACE=V13»

:.CN=CExsin60°=V13x；!y-=^p^.

故答案为：陛.

小专题：勾股定理

考点1、基本概念与定理

22

例1、解：(1)S尸虫才,s2=^b,S3=^c,

444

222

Va+b=c,

.V32V3.2=V32

444

**•Sl+S2=Ss.

2

(2)S)=—a,S2=—b,S32c)

888

222

Va+b=c,

/.2L22Lb2=2L2,

8a+88c

22

(3)SF—a,S2=—b,8二工产,

444

Va2+b2=c2,

.12,1,2_12

••—a——b——c,

444

222

(4)S1=a,S2=b,Sn=c,

Va2+b2=c2,

S1+S2二$3.

综上，可得面积关系满足&+&=S3图形有4个.故选：D.

变式1、解；如图1,S尸返AC)S产亚AB”，S,=返Bd,

444

222

VBC=AB-AC,；・S2-S产S3,如图2,S4=S5+S6,AS3+S4M5-16+11+14=54.故选C.

变式3、解：在图中标上字母E,如图所示.

•・•正方形ABCD的边长为2,ACDE为等腰直角三角形,

.\DE2+CE2=CD2,DE=CE,

S2+S2=Si.

观察，发现规律：S尸2J4,S2=1S1=2,S3=—S2=l,S,=.is；F-,

2222

当n=9时，S产(工)…二(1):

22

故选：A.

例2、解：•・•正方形小方格边长为1,

42+62=2V13»

AC=d22+3，

在AABC中，•・•8(5^(:2=52+13=65,AB=65,ABC2+AC2=AB2,二Z\ABC是直角三角形.故选：A.

变式1、解：V(a+b)(a-b)=c2,

.\a2-b2=c2,即c?+b2=a2,故此三角形是直角三角形，a为直角三角形的斜边，

・・・NA为直角.故选A.

考点2、在直角三角形中，求边长

例1、解：当12是斜边时，第三边是任二^二41^;当12是直角边时，第三边是日晒^

=13.故选B.

变式1、解：设直角三角形的斜边为c,两直角边分别为a与b.

•・•直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2xJ8x+7=0的两个根，・・・a+b=4,ab=3.5；

根据勾股定理可得：c2=a2+b2=(a+b)2-2ab=16-7=9,.*.c=3,B.

例2、解：图中的直角三角形的两直角边为1和2,

••・斜边长为：22=,

A/1+2^

・•・・1到A的距离是造，那么点A所表示的数为：V5-1.故选C.

变式1、解：•••以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，：・犷3=加，

•・•以表示数・2的点为圆心，，点A表示的数是：・(2・亚)=・2+比，故选：B.

例3、解：作CH_LAF,垂足为H.

VCD-BC=1,JGD=3-1=2,VAADK^AFGK,

.DK_ADPI1DK_1

GKGFGK3

2

.*.DK=2X-k=-l,GK=2X-1=.|,Z.KF=^(A)+32=^^,

VACHK-AFGK,,••史二史,...CH故选C.

GFFK33V5_5

2

变式1、解：过D点作DE_LBC于E.

VZA=90°,AB=4,BD=5,

・••AD=7BD2-AB2=V52-42=3'

・・・BI）平分/ABC,ZA=90°,

工点D至ljBC的距离=AD=3.

故选：A.

VZA=90°,

AABMCMC2,

・・・BC=15米,

・•・树折断之前有24米.

故选：D.

变式1、解：两棵树的高度差为6-2=4m,间距为5m,

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=442+52.

故答案为：V41.

变式2、解：设CE=a，贝\BE=8・a,由题意可得，EF=BE=8・a,

VZECF=90°,CF=4,.\a2+42=(8-a)2,解得，a=3,

设OF=b,VAECF^AFOA,A—即之处，得b=6,即CO=CF+OF=1O,

OFOAb8

・••点E的坐标为(-10,3),故答案为(・10,3).

例5、解：设水池的深度为x尺，由题意得：

X2+52=(X+1)2,

解得:x=12,

则x+l=13,

答：水深12尺，芦苇长13尺，

故答案为：X2+52=(X+1)2.

变式1、解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+(x-4)2,

故答案为：x2=102+(x-4)2.

变式2、解：设折断处离地面的高度0A是x尺，根据题意可得:

X2+32=(10-x)2,

解得：x=4.55,

答：折断处离地面的高度0A是4.55尺.

故答案为：4.55.

例6、解：(1)由题意得：AC=25米，BC=7米，

AB=^252-72=24(米)，

答：这个梯子的顶端距地面有24米；

(2)由题意得：BA'=20米，

BC，=4252-202=15(米)，

则:CC=15-7=8（米）,

答：梯子的底端在水平方向滑动了8米.

变式1、解：（1）作DE〃AB交BC于E,如图所示：则NCDE=NA=60°,设CD=x米,

VAC11,AZACB=90°,AZCED=30°,ADE=2CD=2x,.\CE=V3x»

VZBDC=75°,.-.ZBDE=15°,VZCED=ZBDE+ZDBE,.\ZDBE=15<>=ZBDE,

:.BE=DE=2x,

又Y/A=60°,・・・BC=V^AC,・・・V^x+2x=V^（x+40）,解得：x=20“,即CD=20立米；

（2）这辆车在本路段不超速；理由如下：

由（1）得：X=20V3>

ABC=CE+BE=V3X20^3+2X20^3=60+40^3（米），

校车从B到C匀速行驶用时10秒，

速度为（60+40V3）+10=6+4^（米/秒）*46.67千米/小时<50千米/小时.

・・・这辆车在本路段不超速.

考点3、求最短距离

例1、解：将长方体展开,连接A、B',则AA'=1+3+1+3=8（cm）,A'B'=6cm,

变式1、解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点卜，连接A，B,则A'B即为最短

距离，A'B=d£D2+B]22+162=20（cm）.故选D.

12

变式2、解：如图：

Cl——夕

A,—TDt

r

AC月2clsA2CAID

根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：

(1)沿AA',A'C',C'B',B'B剪开，得图(1)AB'2=AB2+BBZ2=(2+1)2+42=25；

(2)沿AC,CC',C'B',E'D',D'A',A'A剪开，得图(2)ABT2=AC2+BZC2=22+(4+1)

=4+25=29；

(3)沿AD,DD',B'D',C'B',C'A',AA'剪开，得图(3)ABZ2=AD2+BfD2=l2+(4+2)

=1+36=37；

综上所述，最短路径应为(1)所示，所以AB'2=25,即AFr=5cm.(1分)

变式3、解：(1)纸杯的侧面展开如图所示：

口，

\\/1

\/

\/1

\/

\/

1/

\\/!

\V1

延长AB,A'B'交于点0,设NO的度数是n,则

7.5JT二口兀・0A,53小（MT5）,解得:OA=45cm,n=30°,AB0=45-15=30cm,

180180

・••纸杯的侧面展开图的面积为：,叫;誉-叫兀（颂2）；

3603604

（2）如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接BD,则BD的长度是装饰线的最短长

度.

O

过B作BE_LOD于E,则RtZXEOE中，0B=30,/BOE=60“，

/.0E=15cm,BE=15^/3cm,DE=45-15=30（cm）,

・••在RQBDE中，BD=7BE2+DE2=7（15V3）2+302=15V7•

故装饰线的最短长度为150cm.

【分层训练】》

<A组〉

1.解：如图，•・•等边三角形的边长为3,

・•・高线AH=3x1=3Z3,

22

SAABC=—BC-AH=—AB-PD+—BC-PE+—AC*PF,

2222

.•.一LX3・AH」X3・PD+LX3・PE+LX3・PF,

2222

・•・PD+PE+PF=,

2

即点P到三角形三边距离之而为2亚.

2

故选：B.

2.解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；

当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；

所以这个三角形的周长是12.故选：B.

3.解：・.・AD是△ABC的角平分线，DE_LAB,NC=90。，

/.CD=DE=1,

乂•・•直角aBDE中，ZB=30°,

.\BD=2DE=2,

ABC=CD+BD=1+2=3.故选C.

4.解：作FG_LAC,

根据旋转的性质，EC=BC=4,DC=AC=6,ZACD=ZACB=90°,

•・•点F是DE的中点，

；・FG〃CD

.-.GF=—CD=—AC=3

22

EG=—EC=—BC=2

22

VAC=6,EC=BC=4

.\AE=2

AAG=4

5.解：(1);△ABC是等边三角形,

JZB=60°,

•・・DE〃AB,

/.ZEDC=ZB=60°,

VEF1DE,

JZDEF=90°,

・•・ZF=900-ZEDC=30°；

(2)VZACB=60°,NEDC=60。，

•••△EDC是等边三角形.

・・・ED=DC=2,

VZDEF=90°,ZF=30°,

DF=2DE=4.

6.解：如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,

设BD=x,MCD=14-x,

由勾股定理得：AD2=AB2-BD2=152-x2,AD2=AC2-CD