《高等数学》-2矩阵

§1矩阵的定义返回上一页下一页

昌达公司生产甲、乙、丙三种产品，它们的生产成本由原材料费、电力费用、人工费用和其它费用四项构成。表1.1给出了每种产品的每项费用的预算(单位:百元).

表1.1甲乙丙1.原材料2.电力3.人工4.其他费用2073230126320852产品生产成本

定义1

给出m

n个数,按一定顺序排成一个m行n列的矩形数表此数表叫做m行n列矩阵,简称m

n矩阵。记为返回上一页下一页如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)矩阵。只有一行的矩阵A=(a1a2

...an)叫做行矩阵,行矩阵一般记作A=(a1,a2

,...,an)。只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O.下一页上一页返回在矩阵A中，如果m=n，就称A为n阶方阵。方阵叫做n阶单位阵,简记作En

。

特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1,其他元素都是0.下一页上一页返回如变量y1,y2

,...,yn可由变量x1,x2

,...,xn线性表示,即称由变量x1,x2

,...,xn到变量y1,y2

,...,ym的变换为线性变换。它的系数构成一矩阵(aij)m

n(称为系数矩阵)是确定的;下一页上一页返回反之，如果给出了一个矩阵是线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定了。例

线性变换对应n阶矩阵

这个方阵的特点:不在主对角线上的元素全为0,这种方阵称为对角矩阵,当

1=

2=...=

n=

时,A称为数量矩阵。下一页上一页返回§2矩阵的运算一、矩阵的加法

定义2

设有两个m

n矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:

(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)下一页上一页返回二、数与矩阵相乘定义3

数

与矩阵A的乘积记做

A,规定为数乘矩阵满足运算规律:下一页上一页返回

设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A称为A的负矩阵,显然有

A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵（零矩阵）,由此规定

A-B=A+(-B).下一页上一页返回三、矩阵与矩阵相乘

定义4

设A=(aij)m

s,B=(bij)s

n那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij)m

n,其中并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列矩阵相乘

注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。下一页返回上一页例求：AB和BA。解：

注：表明矩阵乘法不满足交换律。

AB＝0推不出A＝0或B＝0

AC＝BC且C不为0,推不出A=B(不满足消去律)下一页上一页返回例设A,B分别是n×1和1×n矩阵，且计算AB和BA.解下一页上一页返回例如果是一齐次线性方程组的系数矩阵，而

分别是两个n×1矩阵，那么该齐次线性方程组就可以写成矩阵的形式下一页上一页返回矩阵的乘法满足运算律：对于单位矩阵，有一般称为方阵的n次幂。规定；下一页上一页返回方阵乘幂的应用

例某岛国里每年有30℅的农村居民移居城市,有20℅的城市居民移居农村.假设该国总人数不变,且上述人口迁移规律也不变.该国现有农村人口320万,城市人口80万.问该国一年后农村与城市人口各是多少?两年后呢?

解设k年后该国农村人口与城市人口分别为

和

(单位:万),这里正整数下面计算

和.由题意有

下一页上一页返回写成矩阵形式,即一年后,农村人口240万,城市人口160万.记矩阵则下一页上一页返回于是即2年后,农村人口与城市人口各为200万.类似地,不难得出下一页上一页返回例解

用数学归纳法证明。当n=2时下一页上一页返回假设当k＝n－1时成立，现证明k＝n时也成立。下一页上一页返回例已知矩阵求解∵∴∴下一页上一页返回四、矩阵的转置

定义5

把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作A'。

满足运算律：下一页上一页返回有所以下一页上一页返回

设A为n阶方阵,若A'=A,即

aij=aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A称为对称矩阵;若A'=-A,即

aij=-aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A称为反对称矩阵。

对称矩阵的特点:它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

反对称矩阵的特点:以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0.下一页上一页返回

运算律(4)可推广为:

例设那么下一页上一页返回例设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，证明AB+BA是n阶反对称矩阵.所以结论成立.证因为下一页上一页返回例

若A为奇数阶反对称矩阵，求其行列式的值。解：设下一页上一页返回因为n为奇数，得即奇数阶反对称矩阵行列式为零。当A,B均为对称矩阵时，A＋B，kA仍为对称矩阵。均为反对称矩阵时，有类似的结论。注：下一页上一页返回五、方阵的行列式

定义6

由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA

。设A,B为n阶方阵,

为实数,则有下列等式成立

下一页上一页返回下一页上一页返回注：可利用方阵的行列式的性质求行列式。

行列式的乘积：

下一页上一页返回下一页上一页返回下一页上一页返回

若A为方阵,行列式|A|的各元素的代数余子式Aij亦可构成如下方阵

称为A的伴随矩阵。

定义7

矩阵的初等行(列)变换是指:（1）交换两行(列)的位置；（2）把某一行（列）乘以一个非零常数;（3）把某一行（列）的倍数加到另一行（列）。下一页上一页返回§3矩阵的逆

定义8

设A为n阶方阵,若

A=0,则称A为奇异矩阵;;否则,A为非奇异矩阵。

定义9

对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,满足AB=BA=E,则称方阵A可逆,且把方阵B称为A的逆矩阵,记作B=A-1

。如果A是可逆的,则A的逆矩阵唯一。设B,C都是A的逆矩阵,则一定有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.下一页上一页返回

定理1

设A是n阶方阵,A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的.证

先证必要性。设A为非奇异矩阵|A|,设A的伴随矩阵为A*,则有说明A是可逆的。（若A可逆，则其逆阵为下一页上一页返回下证充分性。由于A是可逆的,下一页上一页返回说明A是非奇异矩阵。即有A

-1,使A

-1A=E

推论:如果n阶方阵A,B满足AB=E,则A,B均可逆,且下一页上一页返回证:因为AB=E,所以从而由定理知,A,B均可逆.得在的两边同时右乘A,

得同理可得在AB=E的两边同时左乘

说明：要验证B是A的逆矩阵，只需证AB＝E，或BA＝E即可。设A,B均为同阶可逆方阵,数

0,

下列运算法成立：

下一页上一页返回例

求方阵

的逆矩阵。解

因为

所以A-1存在,先求A的伴随矩阵A*

A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=2.下一页上一页返回例设求矩阵X使满足解若A-1,B-1均存在，则用A-1左乘上式，即B-1右乘上式，有由于|A|=2，|B|=1，故A-1,B-1均存在，且下一页上一页返回于是下一页上一页返回说明：可作为结论记住。下一页上一页返回例

设n阶矩阵A和B满足A+B＝AB1)证明A-E为可逆矩阵。

2)证明AB=BA。解：

1)因为A＋B＝AB，所以AB－A－B＋E＝E（A－E）（B－E）＝E故A－E与B－E互逆。2)（A－E）(B－E)=(B－E）(A－E)则AB－B－A＋E＝BA－A－B＋E故AB＝BA下一页上一页返回下一页上一页返回对于n元线性方程组下一页上一页返回则n元线性方程组可表示为Ax=b若A可逆，上式两边同时乘以A-1,得方程组的解为：x=A-1b这与克莱姆法则求得的解是相同的。下一页上一页返回下一页上一页返回逆矩阵在加密传输中的应用

例可逆方阵可用来对需传输的信息加密.首先给每个字母指派一个码字,例如表1.4所示.

表1.4字母

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz空格码字

1234567891011213141516171819202122232425260于是为传输信息

GONORTHEAST把对应的码字写成矩阵（按列）下一页上一页返回

如果直接发送矩阵B,这是不加密的信息,容易被破译,无论军事或商业上均不可行,因此必须对信息予以加密,使得只有知道密钥的接收者才能准确、快速破译.为此,可以取定3阶可逆阵A,并且满足|A|=±1.令C=AB,的信息矩阵C,己方接收者只需用A-1进行解密,就得到发送者的信息:则C是3×4矩阵,其元素也均为整数.现发送加密后B=A-1C.下一页上一页返回例如现取则|A|=-1,且现发送矩阵接收者收到矩阵C后，用A-1解密：即GONORTHEAST下一页上一页返回§4矩阵的分块

定义

将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块