苏科版数学八年级下册 第11章 二次根式（挑战压轴题题型讲练）20个题型讲练+能力提升训练 共50题 同步练习 含答案

第十一章二次根式『第十一章二次根式『挑战压轴题题型讲练』〔20个题型讲练+能力提升练共50题原卷版〕目录指引题型总结1目录指引题型总结1题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一二次根式的识别 2题型二求二次根式的值 2题型三求二次根式中的参数 2题型四二次根式有意义的条件 2题型五利用二次根式的性质化简 3题型六二次根式的乘法 3题型七二次根式的除法 4题型八二次根式的乘除混合运算 4题型九分母有理化 5题型十最简二次根式的判断 6题型十一化为最简二次根式 6题型十二已知最简二次根式求参数 7题型十三复合二次根式的化简 8题型十四同类二次根式 9题型十五二次根式的加减运算 9题型十六二次根式的混合运算 10题型十七已知字母的值，化简求值 10题型十八已知条件式，化简求值 11题型十九比较二次根式的大小 11题型二十二次根式的应用 12能力提升训练 13压轴题型分类讲练2压轴题型分类讲练2题型一二次根式的识别【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（

）①13；②−3；③−x2+1；④38；⑤1A．2 B．3 C．4 D．5【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）给出下列式子：①8；②−4；③a2+1；④2a；⑤x2+A．3个 B．4个 C．5个 D．6个题型二求二次根式的值【典例分析】（2024·广东潮州·一模）将1、2、3、6按如图所示方式排列，若规定m,n表示第m排从左往右第【变式训练】（23-24八年级下·四川内江·月考）下列各式中，不是二次根式的是（）A．35 B．32 C．a2 题型三求二次根式中的参数【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=1−x−y⋅【变式训练】（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为__________．题型四二次根式有意义的条件【典例分析】（25-26八年级下·重庆北碚·期末）已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足a=3b−9(1)求6a+2b的算术平方根；(2)求等腰△ABC的周长．【变式训练】（25-26八年级下·上海·期中）已知x−1002+98−x题型五利用二次根式的性质化简【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）已知a2+b−2=4a−4，则【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若(2a+1)2=−2a−1，则a的取值范围为题型六二次根式的乘法【典例分析】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③EF=4BE；④S△CEF=1；⑤S△ABEA．5 B．4 C．3 D．2【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG，AE2题型七二次根式的除法【典例分析】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAD的平分线AE与BD交于点E，∠ACB的平分线CF与BD交于点F．若AD=AC，CF=CD，则BC【变式训练】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为(−5,0)，直线y=3x+t与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD=90°题型八二次根式的乘除混合运算【典例分析】（24-25八年级下·河南郑州·期末）已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为______．【变式训练】（24-25八年级下·吉林·期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（（1）如图①，当t=1时，四边形ABPB（2）如图②，当点B′落在AC上时，显然△PCB′（3）当点B′不落在AC上时，请直接写出△PCB′题型九分母有理化【典例分析】（25-26八年级下·河南·月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=3．D是射线BC上的一个动点，连接AD，将△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DEF（E，F分别是A，B的对应点），连接BE，当BD=BE时，BD的长为_______．【变式训练】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：1x+1−2−x题型十最简二次根式的判断【典例分析】（25-26八年级下·河北张家口·月考）在根式①45；②0.5；③3；④27abc；⑤a2+bA．4 B．3 C．2 D．1【变式训练】（2025八年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（

）A．13 B．3p−q（C．3+22 D．题型十一化为最简二次根式【典例分析】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一动点，且BM<DM，连接AM，过点B作AM的垂线，交AM的延长线于点E，交CD于点F，且∠DBF=α．(1)依题意补全图1，求∠DAE的大小（用含α的式子表示）；(2)若点N在线段BF上，BN=AM，连接MN．用等式表示MN，BN，AB之间的数量关系，并证明；(3)连接CE．若AB=4，请直接写出线段CE长度的最小值．【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF=BE．连接BF，交CE于点G，交AC于点M，P是线段CE上的动点，N是线段CM上的动点，连接PM，(1)求证：CE⊥BF．(2)求证：BE=AM．(3)若AB=6，求PM+PN的最小值．题型十二已知最简二次根式求参数【典例分析】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式2x2+5x(1)求x的值．(2)若m=y−2+2−y【变式训练】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0，点C3,b，a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC、(1)求a、b的值及B点坐标；(2)点D、E分别是OA、AB边上的动点，连接DC、DE，M、N分别为DC、DE的中点，连接MN，当D、E分别在OA、AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中∠PCQ=90°，试猜想PO，PF，PC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．题型十三复合二次根式的化简【典例分析】（2025·浙江·模拟预测）设27−102=a+b，a为正整数，b在0和1之间，则a+ba−b【变式训练】（24-25八年级下·浙江绍兴·自主招生）设a为−13+5−3−A．75 B．22 C．2−1题型十四同类二次根式【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式2a−43a+b与a−b可以合并，则2a−b=__________【变式训练】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）若最简二次根式3b−1a+2与4b−a是同类二次根式，则(a−2b)2025题型十五二次根式的加减运算【典例分析】（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算：(1)212(2)2+5(3)12−3(4)212【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D为边BC上的动点，以BD为边向上作等边三角形BED，连接CE，AD，若AB=AC=23，则AD+CE的最小值为_________题型十六二次根式的混合运算【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图正方形网格中最小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点，▱ABCD的顶点A、B、C、D都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)▱ABCD的面积为______；(2)在图①中，画出▱ABCD的边AD上的高BE，并求BE的长；(3)在图②中，在▱ABCD的边AD上找一点F，连接AF，使∠ABF=45°，并直接写出BF的长：______．【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）已知实数a，b满足等式4a−b+112+ 题型十七已知字母的值，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·四川达州·月考）若m=20252026−1，则【变式训练】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知：a=3−13+1，则题型十八已知条件式，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知a+b=6，ab=7．(1)求a2(2)求a−b的值；(3)求ba【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知a−6+b2题型十九比较二次根式的大小【典例分析】（25-26八年级下·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2=12，b2=18，则a请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c=42，d=27的大小，c________d（填写“>”“<”或“(2)猜想m=25+6【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较7−6和7−6=17+6(3)根据材料，请选择合适的方法比较2025−2024与【变式训练】（25-26八年级下·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果2+3①将式子15−2②若a是2的小数部分，则3a的值为③比较两个二次根式的大小：1④计算：2以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号）题型二十二次根式的应用【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线l1：y=k1x+6与直线l2相交于点A−3，3，l1交y(1)求直线l2(2)将线段AC绕点C顺时针方向旋转45°交x轴于点D，求点D的坐标，【变式训练】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）正方形ABCD中，E为射线AB上一点(1)如图1，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE，若EF=AF=3，求线段CE的长；(2)如图2，E、G分别为AB、AD的中点，连接DE和CG交于点Q，连接AQ，求证：EQ+GQ=(3)如图3，E在AB边上运动，将△ADE沿DE翻折到同一平面内得到△MDE．点N为DM的中点，连接BM和BN，当BN的长度最小时，直接写出BNBM拔高训练能力提升拔高训练能力提升31．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（

）A．−3−5=3C．2−9=22．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知x2x+2x2A．4 B．±2 C．2 D．±43．（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知a+b=2，ab=1，则化简ab+bA．1 B．2 C．2 D．24．（25-26八年级下·江西上饶·月考）在△ABC中，AB=82，BC=10，一个内角为45°（∠C≠45°），则边AC的长为______5．（25-26八年级下·江苏·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=2,AC=4，D是AB上的动点，过点D作DE⊥CD，交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，点A落在F处，DF交AC于点G，则CG长度的最小值为__________6．（25-26八年级下·山东青岛·周测）比较大小：（1）5________310

（2）3−57．（25-26八年级下·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a−12−a−b8．（24-25八年级下·河南信阳·月考）计算：(1)41(2)27+29．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=12cm．动点P从点A出发沿AD以2cm/s速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以8cm/s速度沿射线CB运动，当点P到达终点时，点Q(1)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(2)请问是否存在t的值，使得PQ⊥BC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)若点P关于直线AQ对称的点恰好落在直线AB上，则t=________．10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）根据要求解决问题：问题提出：(1)如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=2，PC=4，PA=6，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC问题探究：(2)如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．问题解决：(3)如图3是某公园内观景区的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC=352m，DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，AP=30m．为提升游客的体验感，准备修建一个四边形赏花区供游客拍照打卡，其他区域种植花卉．按设计要求，四边形PEDF的内部为赏花区，阴影部分为花卉种植区，其中，△ABC内种植郁金香，△APE

第十一章二次根式『第十一章二次根式『挑战压轴题题型讲练』〔20个题型讲练+能力提升练共50题解析版〕目录指引题型总结1目录指引题型总结1题型分类讲练 2TOC\o"1-2"\h\u题型一二次根式的识别 2题型二求二次根式的值 3题型三求二次根式中的参数 4题型四二次根式有意义的条件 5题型五利用二次根式的性质化简 7题型六二次根式的乘法 8题型七二次根式的除法 11题型八二次根式的乘除混合运算 14题型九分母有理化 19题型十最简二次根式的判断 21题型十一化为最简二次根式 22题型十二已知最简二次根式求参数 27题型十三复合二次根式的化简 30题型十四同类二次根式 32题型十五二次根式的加减运算 33题型十六二次根式的混合运算 35题型十七已知字母的值，化简求值 37题型十八已知条件式，化简求值 39题型十九比较二次根式的大小 40题型二十二次根式的应用 43能力提升训练 49压轴题型分类讲练2压轴题型分类讲练2题型一二次根式的识别【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列式子中，二次根式的个数为（

）①13；②−3；③−x2+1；④38；⑤1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据二次根式的定义（形如a且a≥0的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可．【详解】解：根据二次根式的定义是形如a（a≥0）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负，①13：被开方数1②−3：被开方数−3<0，无意义，不是二次根式，③−x2+1：∵④38⑤132：被开方数⑥61−x：被开方数1−x的取值随x⑦x2+2x+3：∵x2+2x+3=∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个．故选：C．【变式训练】（25-26八年级下·全国·单元复习）给出下列式子：①8；②−4；③a2+1；④2a；⑤x2+A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【分析】本题考查了二次根式的定义，形如a且a≥0的式子为二次根式．根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可．【详解】解：①8：被开方数8>0，是二次根式；②−4：被开方数−4<0，式子无意义，不是二次根式；③a2+1：∵a2④2a：当a<0时，2a<0，式子无意义，不一定是二次根式；⑤x2+y2：∵x2⑥a+1：当a<−1时，a+1<0，式子无意义，不一定是二次根式；⑦x2−4：当−2<x<2时，⑧3x∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个．故选：A．题型二求二次根式的值【典例分析】（2024·广东潮州·一模）将1、2、3、6按如图所示方式排列，若规定m,n表示第m排从左往右第【答案】3【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m−1排有(m−1)个数，从第一排到(m−1)排共有：1+2+3+4+…+(m−1)个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【详解】解：7,6表示第7排从左向右第6个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，1+2+3+4+5+6+6=27，27÷4=6⋯⋯3，则7,6所表示的数是3，故答案为3．【变式训练】（23-24八年级下·四川内江·月考）下列各式中，不是二次根式的是（）A．35 B．32 C．a2 【答案】B【分析】根据二次根式的定义（形如aa≥0【详解】解：A、35是二次根式，则此项不符合题意；B、32C、a2D、13故选：B．题型三求二次根式中的参数【典例分析】（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=1−x−y⋅【答案】3【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得1−x−y=x−1+y=0，即得x+y=1，3x+5y−2−m+2x+3y−m=0，再根据二次根式的非负性得3x+5y−2−m=0，2x+3y−m=0，即得x+2y=2，再解方程组x+y=1【详解】解：由题意得，1−x−y≥0，x−1+y≥0，∴1−x−y=x−1+y=0，∴x+y=1，3x+5y−2−m+∴3x+5y−2−m=0，2x+3y−m=0，∴x+2y=2，由x+y=1x+2y=2，解得x=0∴0+3×1−m=0，∴m=3，故答案为：3．【变式训练】（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为__________．【答案】9或7或1【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数n的取值范围，然后令18−2n等于所有可能的平方数即可求解．【详解】解：由题意得18−2n≥0，解得n≤9，∵n是正整数，∴n≥1∴1≤n≤9，∴2≤2n≤18，∴0≤18−2n≤16，∵18−2n是整数，∴18−2n=0或18−2n=1或18−2n=4或18−2n=9或18−2n=16，解得n=9或n=172或n=7或n=9∵n是正整数，∴n=9或n=7或n=1，故答案为：9或7或1题型四二次根式有意义的条件【典例分析】（25-26八年级下·重庆北碚·期末）已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足a=3b−9(1)求6a+2b的算术平方根；(2)求等腰△ABC的周长．【答案】(1)6(2)11或13【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质．（1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算6a+2b的值，最后求出其算术平方根；（2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰△ABC的周长．【详解】（1）解：由题意得，3b−9≥09−3b≥0解得b=3，将b=3代入a=3b−9可得a=3×3−9将a=5，b=3代入6a+2b，可得6×5+2×3=36，∴36的算术平方根是6，即6a+2b的算术平方根是6．（2）解：当a为腰长时，等腰△ABC的三边长分别为5，5，3，∵5+5=10>3，5+3=8>5，∴能构成三角形，此时周长为5+5+3=13，当b为腰长时，等腰△ABC的三边长为3，3，5，∵3+3=6>5，3+5=8>3，∴能构成三角形，此时周长为3+3+5=11，∴等腰△ABC的周长为11或13．【变式训练】（25-26八年级下·上海·期中）已知x−1002+98−x【答案】±【分析】本题考查了二次根式的性质、双重非负性以及求一个数的平方根，先因为x−1002+98−x2=200，得出x≤98，x−100<0，即可化简得100−x+98−x=200，算出x的值，因为y=m+24+【详解】解：∵x−1002∴x≤98，∴100−x+98−x=200，解得x=−1，∵y=m+24∴m−1≥0，1−m≥0，∴m=1，则y=1+24∴y−x=5−−1则y−x的平方根为±6题型五利用二次根式的性质化简【典例分析】（25-26八年级下·全国·周测）已知a2+b−2=4a−4，则【答案】2【分析】本题考查了二次根式的非负性，二次根式的性质，非负数的性质，掌握非负数之和等于0时，各项都等于0是解题的关键．将方程整理成完全平方形式，利用非负数的性质求出a和b的值，然后代入ab，进行求值即可．【详解】解：由a2移项得a2即(a−2)2∵(a−2)2≥0∴a−2=0，b−2=0，解得a=2，b=2．则ab=故答案为：2．【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）若(2a+1)2=−2a−1，则a的取值范围为【答案】a≤−【分析】根据二次根式的性质x2=x【详解】解：由二次根式的性质x22a+12已知2a+12∴2a+1=−2a−1根据绝对值的非负性，x=−x的条件是x≤0∴2a+1≤0．解不等式得：2a≤−1a≤−1故答案为：a≤−1题型六二次根式的乘法【典例分析】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边△AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③EF=4BE；④S△CEF=1；⑤S△ABEA．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、二次根式的计算，熟练掌握正方形和等边三角形的性质是解题的关键．利用正方形和等边三角形的性质证明Rt△ABE≌Rt△ADF，得到BE=DF，得到CE=CF可判断①；利用CE=CF得到∠CEF=45°，利用平角的定义可判断②；连接AC交EF于点G，则∠ACE=45°，由AE=AF，CE=CF得到AC垂直平分EF，利用勾股定理求出AC和CE的长，得到正方形的边长为6【详解】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD=CD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，∵等边△AEF，∴AE=AF=EF=2，∠AEF=60°，∴Rt∴BE=DF，∴BC−BE=CD−DF，∴CE=CF，故①正确；∵CE=CF，∠C=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，CE=EF∴∠AEB=180°−∠AEF−∠CEF=75°，故②正确；连接AC交EF于点G，则∠ACE=45°，∵AE=AF，CE=CF，∴AC垂直平分EF，∴AG⊥EF，EG=FG=1∴AG=A∵∠ACE=∠CEF=45°，∴CG=EG=1，∴AC=AG+CG=3∵正方形ABCD，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC=AC∴BE=BC−CE=6∴EF≠4BE，故③错误；∵CE=CF=2∴S∵AB=BC=6+2∴S∴其中正确的有①②④⑤，正确的个数为4．故选：B．【变式训练】（23-24八年级下·江苏无锡·期末）如图，已知四边形ABCD是正方形，AB=42，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG，AE2【答案】32【分析】过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，利用ASA定理证出△DEN≌△FEM，再根据全等三角形的性质可得ED=EF；连接EG，根据正方形的性质、利用SAS定理证出△ADE≌△CDG，推出CG=AE，∠DCG=∠DAE=45°，再利用勾股定理可得AE2+C【详解】解：如图，过点E作EM⊥BC于点M，作EN⊥CD于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，∠ECN=∠ECM=45°，∴∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°，且NE=NC，∴四边形EMCN为正方形，∴EM=EN，∠MEN=90°，∴∠MEF+∠NEF=90°，∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF=90°，∴∠NED+∠NEF=90°，∴∠NED=∠MEF，在△DEN和△FEM中，∠NED=∠MEFEN=EM∴△DEN≌△FEM(ASA∴ED=EF，∴矩形DEFG为正方形．如图，连接EG，∵四边形ABCD为正方形，AB=42，∴∠ADC=90°,AD=CD,AC=A∴∠ADE+∠CDE=90°，∵矩形DEFG为正方形，∴DE=DG,∠EDG=90°，∴∠CDG+∠CDE=90°，∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDGSAS∴CG=AE,∠DCG=∠DAE=45°，∴∠ECG=∠DCG+∠ACD=90°，∴AE由垂线段最短可知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，最小值为12∴AE2+C故答案为：32题型七二次根式的除法【典例分析】（24-25八年级下·重庆南岸·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠CAD的平分线AE与BD交于点E，∠ACB的平分线CF与BD交于点F．若AD=AC，CF=CD，则BC【答案】10【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长AE交CD于T，连接CE，由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，则∠ADB=∠CBD，∠DAC=∠ACB，再由角平分线的定义可推出∠DAE=∠BCF，证明△DAE≌△BCFASA，得到BF=DE，导角证明∠DET=∠CFD；再由等边对等角得到∠CFD=∠CDF，则∠DET=∠EDT，即可得到ET=DT；由三线合一定理可得CT=DT=ET，ET⊥CD，则可证明△DET，△CET都是等腰直角三角形，进而可得∠CED=90°，即CE⊥DF【详解】解：如图所示，延长AE交CD于T，连接CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠CAD的平分线AE与BD交于点E，∠ACB的平分线CF与BD交于点F，∴∠DAE=1∴∠DAE=∠BCF，∴△DAE≌△BCFASA∴BF=DE，∵∠CFD=∠CBF+∠BCF，∴∠DET=∠CFD；∵CF=CD，∴∠CFD=∠CDF，∴∠DET=∠EDT，∴ET=DT；∵AC=AD，AE平分∴CT=DT，ET⊥CD，∴CT=DT=ET，CE=DE，∴△DET，∴∠CET=∠DET=45°，∴∠CED=90°，即CE⊥DF，又CF=CD，∴EF=DE，∴EF=DE=CE，∴CF=C∵BF=DE=CE，∴BE=BF+EF=2CE，∴BC=C∴BCCF故答案为；102【变式训练】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，点A的坐标为(−5,0)，直线y=3x+t与坐标轴交于点B，C，连接AC，如果∠ACD=90°【答案】−【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到C点的坐标为(0,t)，A点的坐标为(−5,0)，如图，在y轴上截取CQ=AO=5，过Q作QH⊥y轴交直线BC于H，证明△ACO≌△HCQ，可得H−t,5+t【详解】解：∵直线y=3x+t与坐标轴交于点B，∴B点的坐标为(−33t,0)，C∵A点的坐标为(−5,0)，∠ACD=90如图，在y轴上截取CQ=AO=5，过Q作QH⊥y轴交直线BC于H，∴QO=5−−t∴∠AOC=∠CQH=90°=∠ACB，∴∠CAO=90°−∠ACO=∠QCH，∴△ACO≌△HCQ，∴QH=CO=−t，∴H−t,5+t∴−3解得t=−5故答案为：−5题型八二次根式的乘除混合运算【典例分析】（24-25八年级下·河南郑州·期末）已知正方形ABCD的边长为4，点P为线段AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为点E，连接PE，BE，CE，DE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为______．【答案】8−43或【分析】当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE=CD=4时，过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，则四边形CDMN是矩形，进而得MN=CD=4，△EBC是等边三角形，则EN=23，ME=4−23，在四边形ABEP中，∠PEB=∠BAD=90°，∠ABE=30°，则∠APE=150°进而得∠MPE=30°，则AP=PE=8−43；②当CE=DE时，过点E作EH⊥CD，HE的延长线交AB于点T，则HT是正方形ABCD的一条对称轴，进而得AE=BE=4，则△ABE是等边三角形，然后在Rt△ABP中可求出【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为4，∴AB=BC=CD=AD=4，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，根据轴对称的性质得：PA=PE，AB=BE=4，∠PEB=∠BAD=90°，∠PBA=∠PBE，当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，有以下两种情况：①当CE=CD=4时，过点E作EM⊥AD于点M，ME的延长线交BC于点N，如图1所示：∴∠NMD=∠MNC=∠BCD=∠CDA=90°，∵四边形CDMN是矩形，∴MN=CD=4，∵BE=BC=CE=4，∴△EBC是等边三角形，∴CN=12BC=2∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=30°，在Rt△ECN中，由勾股定理得：EN=∴ME=MN−EN=4−23在四边形ABEP中，∠PEB=∠BAD=90°，∠ABE=30°，∴∠APE=90°−∠ABE=150°，∴∠MPE=180°−∠APE=30°，在Rt△PME中，PE=2ME=8−4∴AP=PE=8−43②当CE=DE时，过点E作EH⊥CD，HE的延长线交AB于点T，如图2所示：∴DH=CH，∴HT是CD的垂直平分线，∴HT所在直线是正方形ABCD的一条对称轴，∴AE=BE=4，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE=60°，∴∠PBA=∠PBE=30°，在Rt△ABP中，BP=2AP由勾股定理得：AB=B∴AP=3综上所述：当△CDE是以CE为腰的等腰三角形时，AP的值为8−43或4故答案为：8−43或4【变式训练】（24-25八年级下·吉林·期中）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC方向移动，作△PAB关于直线PA的对称△PAB′，设点P的运动时间为t（（1）如图①，当t=1时，四边形ABPB（2）如图②，当点B′落在AC上时，显然△PCB′（3）当点B′不落在AC上时，请直接写出△PCB′【答案】（1）4；（2）t=43；（3）4s或16−47【分析】（1）当t=1时，PB=1，根据题意得：四边形ABPB′的面积是（2）当点B′落在AC上时，显然△PCB′是直角三角形，在矩形ABCD中，可得AC=5，从而CB′=AC−AB（3）根据题意，可分三种情况：当∠PCB′=90°，B′在CD上时；当∠PCB′=90°【详解】解：（1）当t=1时，PB=1，∵AB=4，∴根据题意得：四边形ABPB′的面积是（2）如图②中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵AB=4，BC=3，∴AC=A∵作△PAB关于直线PA的对称△PAB∴AB′=AB=4∴PC=3−t，CB∴在Rt△PCB′∴(3−t)解得：t=4（3）满足条件的t的值为4s或16−473s如图②-1中，当∠PCB′=90°，B′在CD上时，PC=BC-∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，AB=CD=4，AD=BC=3，∴DB∴CB在Rt△PCB′∴t∴t=16−4如图②-2中，当∠PCB′=90°，B′在CD的延长线上时，PC=PB-在Rt△ADB′∴CB在Rt△PCB′解得t=16+4如图②-3中，当∠CPB∵∠B=∠B′∴四边形AB∵AB=AB∴四边形AB∴BP=AB=4，∴t=4，综上所述，△PCB′是直角三角形时t的值为4s或16−47题型九分母有理化【典例分析】（25-26八年级下·河南·月考）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=3．D是射线BC上的一个动点，连接AD，将△ABD绕点D逆时针旋转90°得到△DEF（E，F分别是A，B的对应点），连接BE，当BD=BE时，BD的长为_______．【答案】32−3【分析】旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，当BD=BE时，分图1和图2两种情况讨论求解即可．【详解】①当点D在线段BC上时，设EF与AB交于点M，ED与AB交于点P，由旋转可知∠ADE=∠BDF=90°，且△ABD≌△EFD∴∠BAD=∠FED．又∵∠BPE=∠DPA，∴∠AME=∠ADE=90°，∴∠AMF=∠AME=90°，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，同理可得∠DBF=45°，∴∠ABF=90°，∴∠AMF=∠ABF=90°，∴M，B，F三点共线，即E，B，F三点共线，（先证三点共线）设BD=BE=x，则DF=x，BF=2∴EF=x+2∵EF=AB=3，∴x+2解得x=32−3，即②当点D在BC延长线上时，如图2．同理①，B，E，F三点共线，设BD=BE=x，则DF=x，BF=2∴EF=2∵EF=AB=3，∴2x−x=3解得x=32+3，即综上所述，BD的长为32−3或【变式训练】（25-26八年级下·湖南娄底·期末）先化简，再求值：1x+1−2−x【答案】1x，【分析】本题考查分式的化简求值．先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：1=====1当x=3时，原式=题型十最简二次根式的判断【典例分析】（25-26八年级下·河北张家口·月考）在根式①45；②0.5；③3；④27abc；⑤a2+bA．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判断一个二次根式是不是最简二次根式，检查各选项是否满足最简二次根式的两个条件．【详解】解：①45=②0.5=③3，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式；④27abc=⑤a2∴最简二次根式有③和⑤，共2个，故选C．【变式训练】（2025八年级下·上海·专题练习）以下二次根式中是最简二次根式的是（

）A．13 B．3p−q（C．3+22 D．【答案】B【分析】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式需满足被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式，据此判断即可．【详解】解：A、13B、3p−q（p−qC、3+22D、5a故选：B．题型十一化为最简二次根式【典例分析】（24-25八年级下·北京·期中）如图，在正方形ABCD中，M是对角线BD上的一动点，且BM<DM，连接AM，过点B作AM的垂线，交AM的延长线于点E，交CD于点F，且∠DBF=α．(1)依题意补全图1，求∠DAE的大小（用含α的式子表示）；(2)若点N在线段BF上，BN=AM，连接MN．用等式表示MN，BN，AB之间的数量关系，并证明；(3)连接CE．若AB=4，请直接写出线段CE长度的最小值．【答案】(1)补全图形见解析，∠DAE=45°+α(2)AB(3)2【分析】（1）根据题意先补全图形，根据∠ABD=∠CBD=45°，∠FBC=90°−∠ABE=∠BAE=45°−α，再进一步可得答案；（2）如图，连接CN,AN，AC，AN交BD于O，证明△ABM≌△BCN，可得A,O,N,C共线，证明△AOM≌△BON，再进一步利用勾股定理解答即可；（3）如图，取AB的中点K，连接KE，CE，CK，证明AK=BK=EK=2，∠ABC=90°，AB=BC=4，求解CK=22+42=25【详解】（1）解：如图，补全图形如下：∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠ABC=∠C=∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45°，∵∠DBF=α，∴∠FBC=45°−α，∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°=∠C=∠ABC，∴∠FBC=90°−∠ABE=∠BAE=45°−α，∴∠DAE=90°−45°+α=45°+α；（2）解：AB如图，连接CN,AN，AC，AN交BD于O，∵正方形ABCD，∴∠ACB=45°，∵由（1）得：∠FBC=∠BAE=45°−α，AB=BC，而AM=BN，∴△ABM≌△BCN，∴∠ABM=∠BCN=45°，∴∠ACB=∠BCN，∴A,O,N,C共线，∵正方形ABCD，∴OA=OB，AC⊥BD，∠BAC=45°，∴AB2=O∵∠FBC=∠BAE=45°−α∴∠OAM=∠OBN=α，∴△AOM≌△BON，∴OM=ON，∴MN∵AC⊥BD，∴BN∴BN∴AB（3）解：如图，取AB的中点K，连接KE，CE，CK，∵AB=4，∠AEB=90°，正方形ABCD，∴AK=BK=EK=2，∠ABC=90°，AB=BC=4，∴CK=2∵CE≥CK−EK，∴线段CE长度的最小值为25【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在正方形ABCD中，CE平分∠ACB，点F在边AD上，且AF=BE．连接BF，交CE于点G，交AC于点M，P是线段CE上的动点，N是线段CM上的动点，连接PM，(1)求证：CE⊥BF．(2)求证：BE=AM．(3)若AB=6，求PM+PN的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)3【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等角对等边，线段垂直平分线的性质与判定等等，证明△BAF≌△CBE是解题的关键．（1）由SAS可证△BAF≌△CBE，进而可证EG⊥BG，即CE⊥BF（2）正方形ABCD中，CE平分∠ACB，可得∠GCM=22.5°，∠BMC=67.5°，再证明∠AFM=∠AMF=67.5°可得AM=AF，再由全等三角形的性质即可证明（3）连接BP，证明△BCG≌△MCG，得到BG=GM，则CG垂直平分BM，可得MP=BP，故当B、P、N三点共线，且PN⊥MC时，BP+PN有最小值，即PM+PN有最小值，最小值为BN的长，连接BD交AC于O，可证明此时点N与点O重合，利用勾股定理求出BD的长即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，在△BAF和△CBE中，AB=BC∠BAF∴△BAF≌△CBESAS∴∠ABF=∠ECB，∵∠CBE=90°，∴∠BEC+∠BCE=90°，∴∠BEC+∠FBA=90°，∴∠BGE=180°−∠BEC+∠FBA∴EG⊥BG，即CE⊥BF；（2）证明：∵正方形ABCD中，CE平分∠ACB，∴∠GCM=1由（1）可得∠BGE=90°，∴∠BMC=∠BGE−∠MCG=90°−22.5°=67.5°，∴∠AMF=∠BMC=67.5°，∵∠AFB=180°−∠CAD−∠AMF=180°−45°−67.5°=67.5°，∴∠AMF=∠AFM，∴AF=AM，∵△BAF≌△CBE，∵AF=BE，∴BE=AM；（3）解：连接BP，如图，∵CE平分∠ACB，∴∠GCM=∠GCB=1∵CE⊥BF，∴∠CGB=∠CGM=90°，又∵CG=CG，

∵△BCG≌△MCGASA∴BG=GM，∴CG垂直平分BM，∴MP=BP，∴PM+PN=PN+PB，∴当B、P、N三点共线，且PN⊥MC时，BP+PN有最小值，即PM+PN有最小值，最小值为BN的长，此时BN为△ABC底边AC上的高，如图所示，连接BD交AC于O，根据正方形的性质知，BD⊥AC，OB=1∴此时点N与点O重合，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=∴OB=32∴PM+PN的最小值为32题型十二已知最简二次根式求参数【典例分析】（25-26八年级下·安徽合肥·月考）已知最简二次根式2x2+5x(1)求x的值．(2)若m=y−2+2−y【答案】(1)1或−3(2)2或−6【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．（1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到x的值；（2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到xy的值．【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式2x2+5x则2x整理得：x2解得：x=1或x=−3，当x=1时，2x2+5x=2×1+5×1=7>0当x=−3时，2x2+5x=2×因此，x的值为1或−3；（2）解：根据题意得：y−2≥0解得：y=2，由（1）知：x=1或x=−3，当x=1、y=2时，xy=1×2=2，当x=−3、y=2时，xy=因此，xy的值为2或−6．【变式训练】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点Aa,0，点C3,b，a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，平移OA至CB（点O与点C对应，点A与点B对应），连接OC、(1)求a、b的值及B点坐标；(2)点D、E分别是OA、AB边上的动点，连接DC、DE，M、N分别为DC、DE的中点，连接MN，当D、E分别在OA、AB边上运动时，MN是否存在最小值？若存在，求出MN的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图2，将线段CO绕点C逆时针旋转90°至CF，连接OF，P为线段OF上一点，以CP为直角边作等腰直角三角形CPQ，其中∠PCQ=90°，试猜想PO，PF，PC三者之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)6，4，B(2)存在，MN的最小值为12(3)PO【分析】（1）先根据二次根式的性质求出a，b，进而得出点A，C坐标，最后用平移的性质求出点B的坐标；（2）先判断出MN=12CE，判断出CE⊥AB时，MN（3）连接FQ，先判断出△COP≌△CFQ，得出OP=FQ，进而判断出∠PFQ=90°，最后用勾股定理，即可得出结论．【详解】（1）解：24a=∵a满足24a是整数，且a为最小的正整数，b满足最简二次根式3b−2与18−2b是同类二次根式，∴3b−2=18−2b∴a=6，b=4，∴A6,0，C由平移得，B6+3,4∴B9,4（2）解：如图，连接CE，过点C作CH⊥OA，∵M，N分别为DC，DE的中点，∴MN是△CDE的中位线，∴MN=1则MN最小，即CE最小，由（1）知，A6,0，B∴OA=6，AB=6−9∵C3,4∴CH=4，当CE⊥AB时，CE有最小，由平移可得，OA=BC，且OA平行于BC，∴四边形OABC是平行四边形，∴S∴CE即MN的最小值为125（3）解：PO理由：如图2，连接FQ，∵△PCQ是等腰直角三角形，∴CP=CQ，∠PCQ=90°，由旋转知，CO=CF，∠OCF=90°，∴∠OCF=∠PCQ，∴∠OCP=∠FCQ，∴△OCP≌△FCQSAS∴OP=FQ，∠COF=∠CFQ，∵CO=CF，∠OCF=90°，∴∠COF=∠OFC=45°，∴∠CFQ=45°，∴∠OFQ=∠OFC+∠CFQ=90°，根据勾股定理得，FQ∴PO题型十三复合二次根式的化简【典例分析】（2025·浙江·模拟预测）设27−102=a+b，a为正整数，b在0和1之间，则a+ba−b【答案】62【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据(a−b)2=a【详解】解：由题意可得，27−102∵27−102∴a+b=5−2∵1<2∴3<a+b<4，∵a为正整数，b在0和1之间，∴a=3，b=5−2∴a+ba−b故答案为：62【变式训练】（24-25八年级下·浙江绍兴·自主招生）设a为−13+5−3−A．75 B．22 C．2−1【答案】C【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案．【详解】解：本题根据条件，a为−13+5−3−设x=5∵3−5∴3−5∴x=5∵5≈2.24，10≈3.16，∴x==2.732∵−13+5∵−11.635的整数部分是−12，∴小数部分为−11.635−−12选项B是22≈0.707，选项C是只有选项C最接近答案．故选：C．题型十四同类二次根式【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）若最简二次根式2a−43a+b与a−b可以合并，则2a−b=__________【答案】9【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解二元一次方程组，掌握最简二次根式的定义，同类二次根式的定义是解题的关键．由于两个根式都是最简二次根式且可以合并，因此它们的根指数相同且被开方数相等，列方程组，进行求解即可．【详解】解：由题意，得2a−4=2，解得a=3，∴2a−b=2×3−(−3)=6+3=9．故答案为：9．【变式训练】（25-26八年级下·四川宜宾·月考）若最简二次根式3b−1a+2与4b−a是同类二次根式，则(a−2b)2025【答案】−1【分析】本题考查同类二次根式的定义、解二元一次方程组、代数式求值，根据同类二次根式的定义得3b−1=2a+2=4b−a，解得b=1【详解】解：∵最简二次根式3b−1a+2与4b−a∴3b−1=2a+2=4b−a解得b=1a=1∴(a−2b)2025故答案为：−1．题型十五二次根式的加减运算【典例分析】（25-26八年级下·山东聊城·月考）计算：(1)212(2)2+5(3)12−3(4)212【答案】(1)14(2)−8+4(3)−(4)0【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；（2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可；（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可；（4）根据二次根式的混合计算法则求解即可．【详解】（1）解：2=4=4=143（2）解：2+=4−5−=4−5−3+4=−8+43（3）解：12==2−=−1（4）解：2=4=3×==0．【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，点D为边BC上的动点，以BD为边向上作等边三角形BED，连接CE，AD，若AB=AC=23，则AD+CE的最小值为_________【答案】4【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，延长CA至M，使AB=AM=23，连接BM，EM，则△ABM为等边三角形，即可证明△ABD≌△MBESAS，得到AD=ME，则AD+CE=ME+CE≥CM，当E在CM上时，【详解】解：延长CA至M，使AB=AM=23，连接BM，EM∵∠BAC=120°，∴∠BAM=60°，∴△ABM为等边三角形，∴∠BAM=∠ABM=∠AMB=60°，BM=AB=AM=23∵以BD为边向上作等边三角形BED，∴∠DBE=60°，BD=BE，∴∠MBE=∠DBA=60°−∠ABE，∴△ABD≌△MBESAS∴AD=ME，∴AD+CE=ME+CE≥CM，∵AB=AC=23∴CM=AM+AC=43∴当E在CM上时，AD+CE=CM=43故答案为：43题型十六二次根式的混合运算【典例分析】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图正方形网格中最小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点，▱ABCD的顶点A、B、C、D都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)▱ABCD的面积为______；(2)在图①中，画出▱ABCD的边AD上的高BE，并求BE的长；(3)在图②中，在▱ABCD的边AD上找一点F，连接AF，使∠ABF=45°，并直接写出BF的长：______．【答案】(1)17(2)17(3)17【分析】（1）根据割补法即可得到结论；（2）取格点F，连接BF交AD于点E，即可作四边形ABCD的边AD上的高BE；（3）取格点G，连接BG，交AD于F，则∠ABF=45°，分别作△ABF的高BM，OA，由S△ABF=12BM⋅AF=12【详解】（1）解：▱ABCD的面积=7×4−2×1（2）解：如图①，取格点F，连接AF，交AD于E，则BE就是AD的高；∵AD=1∴BE=S（3）解：如图②，取格点G，连接BG，交AD于F，则△ABG是等腰直角三角形，∠ABF=45°，分别作△ABF的高BM，OA，由（2）可得BM=17∵AB=22+∴OB=OA=2∵S△ABF∴1726∴AF=13∵OF=BF−OB=BF−262，∴262整理得到BF−289∴由平方根的性质可得BF−289∴BF=172624∵AD=5当BF=172610当BF=172624∴BF=17【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）已知实数a，b满足等式4a−b+112+ 【答案】3【分析】先根据平方和绝对值的非负性求出a、b的值，再结合二次根式的乘除运算法则化简求值．【详解】解：∵一个数的平方和绝对值都是非负数，且4a−b+112∴非负项的和为0时，每一项都为0，可得方程组：∴解得a=化简二次根式：2aa当a=12ab题型十七已知字母的值，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·四川达州·月考）若m=20252026−1，则【答案】4050【分析】本题考查与二次根式有关的代入求值，先有理化分母化简得到m=2026+1，整理得【详解】解：m=2025∴m−1=2026∴m−12整理得m2∴m=m=2=2=2=4050，故答案为：4050．【变式训练】（25-26八年级下·四川成都·月考）已知：a=3−13+1，则【答案】2026【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、代数式求值，理解题中求解方法并灵活运用是解答的关键．首先将a分母有理化，得到a=2−3，然后计算a−22，展开得到a2【详解】解：∵a=3∴a−2=−3∴a−2∴a∴a∴−2a−2a故答案为：2026．题型十八已知条件式，化简求值【典例分析】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）已知a+b=6，ab=7．(1)求a2(2)求a−b的值；(3)求ba【答案】(1)42(2)±2(3)±【分析】本题主要考查了求代数式的值，完全平方式，二次根式的性质，因式分解，整体代入的思想方法，准确利用整体代入的思想方法解答是解题的关键；1将代数式适当变形后利用整体代入的方法解答即可；2利用完全平方式的特征与整体代入的方法解答即可；3利用二次根式的性质和整体代入的方法解答即可；【详解】（1）解：∵a+b=6，ab=7，∴a（2）解：∵a+b=6，ab=7，∴(a+b)∴a∴(a−b)∴a−b=±22（3）解：∵a+b=6，ab=7，∴a>0，b>0，∴ba−ab=由2知：a−b=±22则b−a=±22∴原式=±2【变式训练】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知a−6+b2【答案】180【分析】由非负性可得a=6，b=3，再将二次根式进行化简代入求值即可．【详解】解：由题意得a−6+∴a−6=0，b−3=0，解得a=6，b=3，∴原式=10====1802题型十九比较二次根式的大小【典例分析】（25-26八年级下·贵州贵阳·月考）【方法总结】如何比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较a=23和b=32的大小，我们可以把a和b分别平方．∴a2=12，b2=18，则a请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c=42，d=27的大小，c________d（填写“>”“<”或“(2)猜想m=25+6【拓展延伸】当然除了“平方法”外，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小．例如，比较7−6和7−6=17+6(3)根据材料，请选择合适的方法比较2025−2024与【答案】(1)c>d(2)n>m(3)2025【分析】本题考查了利用平方法和分子有理化比较实数的大小．(1)模仿题干中的“平方法”比较大小即可；(2)模仿题干中的“平方法”比较大小即可；(3)可利用分子有理化比较大小即可．【详解】（1）解：∵c=42，d=2∴c2=4∵32>28，∴c∵c=42>0，∴c>d；（2）∵m=25+6∴m2=(2∵30∴26+430即：n2∵m=25+6∴n>m；（3）∵2025−2024−又∵2025+∴12025∴2025−【变式训练】（25-26八年级下·上海·期中）二次根式除法可以这样做：如果2+3①将式子15−2②若a是2的小数部分，则3a的值为③比较两个二次根式的大小：1④计算：2以上结论正确的是________．（写出所有正确的序号）【答案】①③④【分析】本题考查了利用分式的基本性质、平方差公式进行分母有理化．①类比示例，利用分式的基本性质进行分母有理化；②估计无理数的整数部分，求出小数部分a=2③通过分母有理化，比较两个二次根式的大小；④通过分母有理化找到题中无理式求和的运算规律，从而化简求出值．【详解】解：①5−故将式子15−2②∵a是2的小数部分，∴a=2故3a③16−2=6+22=10+4∵46=96故10+46∴6+2故6即16④23+2527299故2=1−=1−=1−11故答案为：①③④．题型二十二次根式的应用【典例分析】（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，直线l1：y=k1x+6与直线l2相交于点A−3，3，l1交y(1)求直线l2(2)将线段AC绕点C顺时针方向旋转45°交x轴于点D，求点D的坐标，【答案】(1)y=−2x−3(2)D【分析】（1）先求出直线l1的解析式，再求出点B的坐标，得到OB=6，进而求出OC=3，即0,−3（2）设线段AC绕点C顺时针方向旋转45°得到线段CE，过点E作y轴的垂线，垂足为G，过点C作直线l1的垂线，垂足为H，设直线l1与x轴交点为F，求出F−6,0，易证△BOF是等腰直角三角形，求出∠FBO=45°，证明△ACH≌△ECGAAS，得到GE=AH,CG=CH，证明△BCH是等腰直角三角形，利用勾股定理求出BH=CH=922，AB=3【详解】（1）解：∵直线l1：y=k1∴3=−3k+6，∴k=1，∴直线l1的解析式为y=x+6将x=0代入y=x+6，则y=6，∴B0,6∴OB=6，∵OB=2OC，∴OC=3，∴C0,−3设直线l2的解析式为y=则3=−3k解得k'∴直线l2的解析式为y=−2x−3（2）解：设线段AC绕点C顺时针方向旋转45°得到线段CE，过点E作y轴的垂线，垂足为G，过点C作直线l1的垂线，垂足为H，设直线l1与x轴交点为由（1）知直线l1的解析式为y=x+6令y=x+6=0，解得x=−6，∴F−6,0∴OF=OB=6，∴△BOF是等腰直角三角形，∴∠FBO=45°，由旋转的性质得∠ACE=45°，AC=CE，∴∠ACH+∠ACB=∠ACB+∠BCE=45°，∴∠ACH=∠BCE，∵∠AHC=∠CGE=90°，∴△ACH≌△ECGAAS∴GE=AH,CG=CH，∵∠FBO=45°，∠CHB=90°，∴△BCH是等腰直角三角形，∴BH=CH，∴BH∴BH=CH=9∵AB=0+3∴AH=BH−AB=3∴EG=3∴OG=CG−OC=9∴E3设直线CE的解析式为y=mx−3，则92解得m=3，∴直线CE的解析式为y=3x−3，令y=3x−3=0，解得x=1，∴D1,0【变式训练】（25-26八年级下·重庆巫山·期末）正方形ABCD中，E为射线AB上一点(1)如图1，E在AB延长线上，F为对角线BD上一点，连接EF、AF、CF、CE，若EF=AF=3，求线段CE的长；(2)如图2，E、G分别为AB、AD的中点，连接DE和CG交于点Q，连接AQ，求证：EQ+GQ=(3)如图3，E在AB边上运动，将△ADE沿DE翻折到同一平面内得到△MDE．点N为DM的中点，连接BM和BN，当BN的长度最小时，直接写出BNBM【答案】(1)3(2)见解析(3)BN【分析】（1）根据正方形的性质证明△ABF≌△CBFSAS，得到AF=CF，∠BAF=∠BCF，再由EF=AF=3，得到∠BAF=∠BEF，CF=3，则有∠BCF=∠BEF，利用三角形内角和定理得到∠EFC=∠EBC=90°（2）过点A作AH⊥AQ交DE延长线于点H，根据正方形的性质证明△ADE≌△DCGSAS，得到∠AED=∠DGC，再证明△AEH≌△AGQASA，得到AH=AQ，EH=GQ，推出△AQH是等腰直角三角形，（3）连接BD，设正方形ABCD的边长为2a，则AB=AD=2a，BD=AB2+AD2=22a，根据翻折的性质得DM=AD=2a，EM=AE，∠DME=∠DAE=90°，根据线段中点的定义得到DN=12DM=a，根据两点之间线段最短得到BN+DN≥BD，则有【详解】（1）解：如图1，设BC与EF交于点G，∵正方形ABCD，∴AB=CB，∠ABC=90°，∠ABF=∠CBF=45°，∴∠EBC=90°，∵AB=CB，∠ABF=∠CBF，BF=BF，∴△ABF≌△CBFSAS∴AF=CF，∠BAF=∠BCF，∵EF=AF=3，∴∠BAF=∠BEF，CF=3，∴∠BCF=∠BEF，又∵∠CGF=∠BGE，∴∠EFC=∠EBC=90°，∴CE=E（2）证明：如图2，过点A作AH⊥AQ交DE延长线于点H，∵正方形ABCD，∴AB=AD=DC，∠DAE=∠CDG=90°，∵E、G分别为AB、AD的中点，∴AE=12AB∴AE=AG=DG，∴△ADE≌△DCGSAS∴∠AED=∠DGC，∴180°−∠AED=180°−∠DGC，即∠AEH=∠AGQ，∵AH⊥AQ，∴∠HAQ=90°，∴∠HAQ=∠DAE，∴∠HAQ−∠EAQ=∠DAE−∠EAQ，即∠EAH=∠QAG，∴△AEH≌△AGQASA∴AH=AQ，EH=GQ，∴△AQH是等腰直角三角形，QH=2∴EQ+GQ=EQ+EH=QH=2（3）解：如图3，连接BD，设正方形ABCD的边长为2a，则AB=AD=2a，∴BD=A由翻折的性质得，DM=AD=2a，EM=AE，∠DME=∠DAE=90°，∵点N为DM的中点，∴DN=1∵BN+DN≥BD，即BN+a≥22∴BN≥2∴当B,N,D共线时，BN的长度有最小值，最小值为22当B,N,D共线时，点M也在线段BD上，∴∠BME=180°−∠DME=90°，∵正方形ABCD，∴∠ABD=45°，即∠EBM=45°，∴△EBM是等腰直角三角形，BM=EM，∴BE=2BM，设BM=EM=x，则BE=2∵AE+BE=AB，∴x+2解得x=2∴BM=2∴BNBM拔高训练能力提升拔高训练能力提升31．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式成立的是（

）A．−3−5=3C．2−9=2【答案】A【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断．【详解】解：∵在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0.A、−3−5B、−7−6=7C、2−9和2D、1+1故选：A.2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知x2x+2x2A．4 B．±2 C．2 D．±4【答案】C【分析】本题考查了二次根式的化简与同类二次根式的合并，掌握将二次根式化为最简形式并合并同类二次根式，结合二次根式有意义的条件求解方程是解题的关键．本题通过简化方程，将各项转化为2x的倍数，然后求解．【详解】解：∵x2x=x2∴原方程化为2x+∴2x=2两边平方得2x=4，∴x=2故选：C．3．（25-26八年级下·河北沧州·月考）已知a+b=2，ab=1，则化简ab+bA．1 B．2 C．2 D．2【答案】C【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键．将表达式ab+b【详解】解：由a+b=2，ab=1，可知a>0，b>0，则ab又∵a+b=2，∴原式=故选：C．4．（25-26八年级下·江西上饶·月考）在△ABC中，AB=82，BC=10，一个内角为45°（∠C≠45°），则边AC的长为______【答案】2或14或2【分析】本题根据已知条件分情况讨论45°角的位置，排除∠C=45°的情况，得到∠A=45°和∠B=45°两种情况，再结合高的位置分类，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理计算AC的长．【详解】解：分情况讨论如下：情况1：当∠A=45°时，过点B作BD⊥AC于点D，∵∠A=45°，∠ADB=90°，AB=82，∴△ABD是等腰直角三角形，AD=BD，∵AD∴AD=BD=2在Rt△BDC中，BC=10，由勾股定理得，CD=当点D在线段AC上时，AC=AD+CD=8+6=14，当点D在线段CA的延长线上时，AC=AD−CD=8−6=2；情况2：当∠B=45°时，过点A作AE⊥BC于点E，∵∠B=45°，∠AEB=90°，AB=82，∴△ABE是等腰直角三角形，同理可求AE=BE=8，∵BC=10，∴CE=BC−BE=10−8=2，在Rt△AEC中，由勾股定理得，AC=综上：边AC的长为2或14或2175．（25-26八年级下·江苏·月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,BC=2,AC=4，D是AB上的动点，过点D作DE⊥CD，交AC于点E，将△ADE沿直线DE翻折，点A落在F处，DF交AC于点G，则CG长度的最小值为__________【答案】4【分析】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，折叠的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是熟练掌握各知识点，正确作出辅助线．过点C分别作CM⊥AB，CN⊥DF，垂足为M,N，先由勾股定理求解得到AB=25，再由面积法求出CM=455，然后证明【详解】解：过点C分别作CM⊥AB，CN⊥DF，垂足为M,N，∵∠ACB=90°,BC=2,AC=4，∴AB=A∵12∴CM=2×4∵翻折，∴∠1=∠2，∵DE⊥CD，∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=180°−90°=90°，∴∠3=∠4，∵CM⊥AB，CN⊥DF，∴CN=CM=4∵CG≥CN，∴CG的最小值为45故答案为：456．（25-26八年级下·山东青岛·周测）比较大小：（1）5________310

（2）3−5【答案】>>【分析】本题考查实数的大小比较，掌握乘方法，差值法比较大小是解题的关键．对于（1），通过将两个数分别取6次方来比较大小；对于（2），通过计算两个数的差来判断大小．【详解】解：（1）∵56=5且125>100∴5>故答案为：>．（2）设a=3−则a−b=3−∵9>0,45>0,且92=81,∴9>45∴9−45∴a−b>0,∴a>b．∴3−5故答案为：>．7．（25-26八年级下·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a−12−a−b【答案】−1【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．由数轴得−1<a<0，2<b<3，继而得出【详解】解：由数轴得−1<a<0，∴a−1<0,a−b<0,b−2>0，∴a−1