七年级数学：有理数及相关概念

有理数及相关概念

积累运用

1.王数和负数

（1）正数和负数的概念

负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数.

（2）具有相反意义的量

若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量.

2.有理数

（1）有理数的概念

正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；正分数和负分数统称为分数；

正整数，0,负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数.

（2）有理数的分类

①按有理数的定义②按有理数的性质符号

正整数「正整数

整数Q0J自然数

正有理数一

1负整数

正分数

有理数彳0（0不能忽视）

有理数＜

正分数「负整数

分数｛X.

负有理数一

I负分数

负分数

3.数轴

（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说,

有理数与数轴上的点不是一一对应关系.（如，数轴上的点兀不是有理数）

4.用反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，0的相反数是0.

5.绝对俏的几何定义

一般地，数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作同.

1.如果温度上升3℃记作+3℃,那么温度下降2C记作（）

A.+2℃B.-2℃C.+5℃D.-5℃

2.下列说法正确的有（）

①0是正数和负数的分界点：②0是正数：③0是自然数：④不存在朗不是正数也不是负数的

数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.下列说法：①整数就是正整数和负整数；②有理数不是整数就是分数；③-7既是负数也是

整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数;⑤非负分数就是正分数.其中正确的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

4.-1.5的相反数是（）

D

A.1.5B.-1.5JC-3--1

5.-2023的绝对值是（）

A.B.C.2023D.-2023

20232023

6.下列化简正确的是（）

A.—(+1)=1B.YT=-1C.-[-(-9]=-1D.-[-(+叨=-1

7.如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克

数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是（）

+3.6g—2.5g—0.8g+1.2g

D.

8.将下列各数填在相应的集合里.

-3.7,-10%,3.14,-----（-,0,♦-32.

整数集合：｛_________________________________________

负分数集合：I_______________________________________

正有理数集合：｛...｝；

9.（1）如图，写出数轴上点4,R,C,。表示的数：

ABCD

♦♦▲

-3-270123

（2）请你自己画出数轴并表示下列有理数：-"I，4.

10.已知有理数mb,其中数。的对应点到点M的距离为1,匕是负数,且b在数轴上对应

的点与原点的距离为3.5.

M

III______I1I▲I>

-4-3-2-10123

（1）a-,b=；

（2）将-；，。，-2,8在如图的数轴上表示出来，并月"v”连接这些数.

M

III____I1I▲I>

-4-3-2-10123

11.某蓄水池的标准水位记为0m,如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么-0.2m表

示（）

A.水面低于标准水位-0.2mB.水面低于标准水位0.2ni

C.水面高于标准水位0.2mD.水面水深为0.2m

12.下列各数：3.1415,兀，y-0.020020002,0.10110111011110（每两个0之间依次多

个1）,其中有理数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

13.小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数4,AC在数轴上的位置如图

所示，表示数。的点与表示数C的点到原点的距离相等，表示数〃与功的点相距30个单位长

度，若表示数。的点与原点的距离是表示数〃的点与原点距离的g,则c的值为（）

b

A.-2B.-10C.-6D.—5

14.在数轴上有间隔相等的四个点M，N,P,。，所表示的数分别为〃?，〃，〃，q,其中有两个

数互为相反数，若小的绝对值最大，则数轴的原点是（）

---------1i11>

M-N---P---Q

A.点NB.点。

15.把下列各数对应的序号填在相应的大括号内.

3__7-__

①-9.3,②——，③-20,@0,⑤0.01,@-1,⑦——，⑧3.14,©100,⑩兀.

1002

正数集合｛...｝;

整数集合｛...｝;

负分数集合｛...｝;

自然数集合｛...｝;

有理数集合｛______________________

16.已知点尸在数轴上，如果将点P向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终

点表示的数是T,那么点尸所表示的数是______________________.

17.如图，A8两点在数轴上（A在8的右侧），点A表示的数是2,48两点间的距离是4,

点。到点4、点B的距离相等，则点C表示的数是______________________.

-cA»

2

18.有理数小江c在数轴上的位置如图：

■1■■.

-b0~Ca

（1）用“v”表示。，b,-。，从四个数之间的大小关系为；

（2）化简：|tz+cj+2|/?+c|-|/?-t?|.

19.以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点4和点B刚好对

着直尺上的刻度2和刻度8.

川川一「川山信川川川川

rn_41nIETEMlIInr»

01234567891c）

（1）写出点A和点5表示的数.A：B：；

（2）写出与B点距离为9.5厘米的点C所表示的数.C：;

(3)在数轴上有一点尸用于表示数人请用含x的代数式表示点尸到点A、点3距离的和,

并说明当x取什么数值时，点。到点A、点8距离的和最小.

20.阅读材料：如图，Q4=l,^=|1-(-«)|=2,AC=|2-1|=1,若八、B两点在数轴上分别表

示有理数以b,则钻=|〃-比例如，|5-(-2)|表示5与—2的差的绝对值，实际上也可理解为5

与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.

根据上述材料，解答下列问题：

BOAC

।।।।।»

-10123

(1)|乂=4,则X=.

(2)|-v-l|=2,则工=.

(3)|x-3|=|x+l|,贝ljx=.

(4)式子|x-3|+|x-l|的最小值为.

(5)若卜-3|+|1|=8,则.“.

21.表示〃，。两数中的最小者，max(a㈤表示a,。两数中的较大者，如min(-3,5)=-3,

max(-3,5)=5,则maxmax(一;，-1,1而11(一:,一!)是()

|32

A.--B.-1C.--D.-y

22.点A,B,C,。在数轴上表示的有理数如图所示.

/।।Qi11।[?11»

-4-2.5।103

-1T

(1)点A表示的数的倒数是;点。表示的数的相反数是_____________.

(2)①A,8两点间的距离为1(-4)-(-2.5小；

②分别计算A，。两点间的距离和从。两点间的距离.

23.阅读下面材料:

0（A）BOAB

-------1---------------------1——>-------1——।1——>

b0ab

图1----------------图2

点A,8在数轴上分别表示实数〃、b,A,8两点之间的距离表示为|A8|.

当4,8两点中有一点在原点时，不妨设点人在原点，如图1,\AB\=\OB\=\b\.

当A,6两点都不在原点时，

如图2,点A,B都在原点的右边,\AB^OB\-\OA\Ab\-\a^b-a^a-b\.

如图3,当点A,5都在原点的左边,\AB\=iOB\-\OA\=ib\-\a^-b-（-a）=ia-b\;

如图4,当点A,8在原点的两边，\AB^OB\+\OA\^b\+\a\=-b+a^a-b\.

BAOBOA

I||||I.

ba。b0a

图3图4

回答下列问题：

（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_______________,数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是_______________；

（2）数轴上若点A表示的数是〃，点8表示的数是1,则点A和B之间的距离是___________,

若|A8|=2,那么〃为；

（3）若数轴上表示数。的点位于-2和5之间，即-2WaW5,化简：I。+2|+|〃-5|.

24.（2023・吉林・统考中考真题）月球表面的白天平均温度零上126。（2,记作+126。0夜间平

均温度零下150。0应记作（）

A.+150℃B.-150cCC.+276℃D.-276℃

25.（2023・江苏盐城・统考中考真题）下列数中，属于负数的是（）

A.2023B.-2023C.-J—D.0

2023

26.（2023・湖北黄石•统考中考真题）实数。与人在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关

系是（）

-10b

A.a>bB.a=bC.a<bD.无法确定

27.（2023・海南•统考中考真题）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）

A.1B.0C.-ID.-2

28.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）化简-（-20）的结果是（）

A.B.20D.-20

20c5

29.（2023•江苏.统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（）

A.-2023B.0C.D.2023

2023

30.（2023•浙江衢州•统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示

信号越强（单位：dRm）,则下列信号最强的是（）

A.-50B.-60C.-70D.-80

31.（2023・四川成都•统考中考真题）在3,-7,0,g四个数中，最大的数是（）

A.3B.-7C.0D.1

32.（2023・四川自贡・统考中考真题）如图，数轴上点A表示的数是2023,0A=04,则点B

表示的数是（）

BOA

02023X

（）

A.2023B.-223C2023D--2023

33.（2023•江苏徐州・统考中考真题）如图，数轴上点"C。分别对应实数下歹恪

式的值最小的是（）

ABCD

ab6cd

A.\a\B.C.|c|D.\d\

参考答案

1.如果温度上升3℃记作+3。。，那么温度下降2C记作（）

A.+2℃B.-2℃C.+5℃D.-5℃

【答案】B

【解析】如果温度上升3匕记作+3℃,那么温度下降2。。记作一2℃,故选B.

2.下列说法正确的有（）

①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的

数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数.

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】0是正数和负数的分界点，故①正确；

0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确：

0是自然数，故③正确；

存在既不是正数也不是负数的数，即0,故④错误；

0既是整数也是偶数，故⑤正确；

故选C.

3.下列说法：①整数就是正整数和负整数；②有理数不是整数就是分数；③-7既是负数也是

整数，但不是自然数；④0既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数.其中正确的个

数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】①整数包括正整数、负整数和0,故原说法错误，不符合题意；

②有理数不是整数就是分数，故原说法正确，符合题意；

③-7既是负数也是整数，但不是自然数，故原说法正确，符合题意；

④0既不是正整数也不是负整数，故原说法错误，不符合题意；

⑤非负分数就是正分数，故原说法正确，符合题意.

所以正确的个数是3个.故选C.

4.-L5的相反数是（）

22

A.1.5B.-1.5C.§D.—-

【答案】A

【解析】-1.5的相反数是L5,故选A.

5.-2023的绝对值是()

\--------B------C.2023D.-2023

2023・2023

【答案】C

【解析】-2023的绝对值是2023.故选C.

6.下列化简正确的是()

A.-(+1)=]B._(T=-1C.-[-(->)]=->D.-[-(+1)]=-1

【答案】C

【解析】-(+1)=-1，故A不符合题意;

=故B不符合题意；

=故C符合题意;

-=故D不符合题意；

故选C.

7.如图，工人检测四个足球的质量，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克

数记为负数，从质量角度看，最接近标准的是()

+3.6g—2.5g—0.8g+1.2g

八Y/⑶IA：/'

【答案】c

【解析】因为|-0.8|v|+L2|＜卜25同+3］，所以从质量角度看,最接近标准的是C选项.故选C.

8.将下列各数填在相应的集合里.

20之「3、

-3.7,-10%,3.14,------,(-2),0,-I--I,-3*.

整数集合：｛_________________________________________

负分数集合：｛...｝;

正有理数集合：｛...｝;

【答案】(-2『，0,-32；-3.7,-10%,；3.14,(-2『，-；

2()

【解析】TO%=-0.1,与，(-2)2=4,

Tr

整数集合：(-2『，0,-32;

20

负分数集合：-3.7,-10%,

7，

正有理数集合：3.14,(-2)二--.

9.(1)如图，写出数轴上点A,B,C,D表示的数；

ABCD

♦▲♦♦▲・▲♦

-3-270123

(2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：-弓，4.

【解析】(1)由数轴可得，点A，B,C,。表示的数分别是：-3,-1.5,0,2；

(2)所画数轴如下图所示.

3

...................................4

-3-2-101234

10.已知有理数mb,其中数。的对应点到点”的距离为1,b是负数,且〃在数轴上对应

的点与原点的距离为3.5.

III______I1I▲I>

-4-3-2-10123

(1)4=,b=；

(2)将-：，0,-2,。在如图的数轴上表示出来，并月飞”连接这些数.

M

III______I1I▲I>

-4-3-2-10123

【解析】(1)由图可知，点M在2处.

因为数，的对应点到点M的距离为1,所以=所以所2=±1,

所以。=1,或。=3；

因为b在数轴上对应的点与原点的距离为3.5且b为负数，

所以方=-3.5.

故答案为：1或3；-3.5；

(2)如图所示，-；，0,-2,匕在数轴上表示如下：

1

hM

・▲•丁▲♦

-4-3-2-l0I23

所以匕＜一2＜一1＜0.

2

11.某蓄水池的标准水位记为0m,如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么42m表

示（）

A.水面低于标准水位-0.2mB.水面低于标准水位0.2m

C.水面高于标准水位0.2mD.水面水深为0.2m

【答案】B

【解析】因为用正数表示水面高于标准水位的高度，所以-0.2m表示水面低于标准水位0.2m.故

选B.

12.下列各数：3.1415,7t,y,-0.020020002,0.10110111011110（每两个0之间依次多

一个1），其中有理数的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

?2

【解析】3.1415,兀，y,-0.020020002,（）.1011011（每两个。之间依次多一个1）

中有理数为：3.1415,y,-（）.（）2（X）2（XX）2,共3个.故选C.

13.小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数〃，4C在数轴上的位置如图

所示，表示数。的点与表示数C的点到原点的距离相等，表示数〃与司的点相距30个单位长

度，若表示数。的点与原点的距离是表示数人的点与原点距离的g,则C的值为（）

—।------------1-------------

bca

A.—2B.-10C.fD.-5

【答案】D

【解析】因为表示数。的点与表示数。的点到原点的距离相等，

所以。与。互为相反数，即原点在。。中间，如图.

I111A

bc0a

因为匕与4互为相反数，且表示数人与4的点相距30个单位长度，

所以表示数〃的点到原点的距离为15,

因为表示数〃的点与原点的距离是表示数〃的点与原点距离的;,

所以a=：xl5=5,所以。二一5,故选D.

14.在数轴上有间隔相等的四个点加，N,P,Q,所表示的数分别为〃?，〃，〃，q,其中有两个

数互为相反数，若〃，的绝对值最大，则数轴的原点是（）

■a■1w.

MNPQ

A.点NB.点P

C.点尸或N,尸的中点D.点P或尸，2的中点

【答案】D

【解析】因为〃，的绝对值最大，所以点M离原点最远，

因为〃?，〃，p,夕中有两个数互为相反数，所以原点在某两点的中点.

分析可得原点是尸。的中点或NQ的中点P,故选D.

15.把下列各数对应的序号填在相应的大括号内.

37

①-9.3,②一,③-20,@0,⑤0.01,⑥-1,⑦一一，⑧3.14,⑨100,⑩工.

100一2

正数集合｛_______________________...｝;

整数集合｛_______________________...｝;

负分数集合｛_______________________

自然数集合｛_______________________

有理数集合｛

【解析】正数集合：｛②⑤⑧⑨⑩…｝;

整数集合：｛③④⑥⑨…｝;

负分数集合：｛①⑦…｝;

自然数集合：｛④⑨…｝;

有理数集合：｛①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…｝.

16.已知点P在数轴上，如果将点P向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终

点表示的数是-I,那么点P所表示的数是.

【答案】T

【解析】因为将点P向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数是T,

所以将T向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度，终点表示的数是点P,

所以点尸表示的数为-1+3-6=~4,故答案为：-4.

17.如图，A8两点在数轴上（A在8的右侧），点A表示的数是2,48两点间的距离是4,

点C到点A、点3的距离相等，则点C表示的数是

-CA»

2

【答案】0

【解析】因为AI两点间的距离是%点。到点A、点8的距离相等，

所以点C到点4的距离为2,

又因为点A表示的数是2,点C在点A的左侧，

所以点C表示的数是2-2=0,故答案为：().

18.有理数mb,c在数轴上的位置如图：

(1)用“V”表示。，b,"外四个数之间的大小关系为；

(2)化简：|6/+c|+2|Z24-c|-,

【解析】(1)由题意知，。<0vcva,同<同，所以-a〈》v-Z?<a；

(2)因为。+c、>0,b+c<0,b-a<0,

所以卜+4+2快+4-|/?-4

=a+c-2(b+c)+b-a

=a+c-2b-2c+b-a

=-b-c.

19.以1厘米为1个单位长度用直尺画数轴时，数轴上表示互为相反数的点A和点B刚好对

着直尺上的刻度2和刻度8.

....................4.................................................0...................上

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||11|||||||||||||||||||||||||||||||

01234567891c)

(1)写出点A和点8表示的数.A：B：；

(2)写出与3点距离为9.5厘米的点C所表示的数.C：；

(3)在数轴上有一点P用于表示数达请用含x的代数式表示点P到点4、点B距离的和，

并说明当x取什么数值时，点尸到点A、点8距离的和最小.

【解析】(1)数轴上表示互为相反数的点4和点B刚好对着直尺上的刻度2和刻度8,

.•.A与5的距离为:8-2=6,

・•.A表示的数为-3,B表示的数为3；故答案为-3,3.

(2)与点B距离9.5厘米的点。表示的数为：

3+9.5=12.5或3-9.5=-6.5,

故点C表示的数为：12.5或-6.5：

(3)依题意可得：点尸到点A的距离为鼠+3|,点。到点8的距离为,-3|,

所以点尸到点4、点3距离的和为|工-3|+,+3|,

当点P在点A、点8之间时，点P到点A、点3距离的和为6；

当点。在点A的左侧时，点。到点A、点8距离为6+2卜3-才=6+2|3+小

当点P在点3的右侧时，点P到点A、点8距离为6+2,一3|=6+2上—小

所以当x在点4、点8之间，即-3WXW3时，尸A+P8有最小值，最小值为6.

20.阅读材料：如图，。4=1,AB=|l-(-l)|=2,AC=|2-1|=1,若A、8两点在数轴上分别表

示有理数。、b,则四山-比例如，|5-(-2)|表示5与-2的差的绝对值，实际上也可理解为5

与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离.

根据上述材料，解答下列问题：

BOAC

11111»

-10123

(1)N=4,贝1卜=.

(2)-1|=2,则X=.

(3)-3|=|x+1|,则x-.

(4)式子及一3|+卜一1|的最小值为.

(5)|x—3|+|x—1|—8,贝lj%=.

【解析】(1)解：根据绝对值的意义可知：凶=4表示］与0两数在数轴上所对的两点之间的

距离为4,

所以”=4或~4,

故答案为：4或T；

(2)根据绝对值的意义可知：k-1|=2表示x与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2,

结合数轴可知：x=3或-1,

故答案为：3或T；

(3)根据绝对值的意义可知：卜-3|表示x叮3两数在数轴上所对的两点之间的距离，卜+1|表

示x与-1两数在数轴上所对的两点之间的距离，

因为k-3|=|%+i|,

结合数轴可知：数工对应的点是3和-1对应点的中点，

所以人二三2

故答案为：1;

(4)根据绝对值的意义可知：卜-3|表示x与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，卜-1|表

示x与1两数在数轴上所对的两点之间的距离,

则k-斗+卜-1|表示，工与3,1两数在数轴上的距离之和,

结合数轴可知：当数x在数3和1之间时，卜-3|+k-1|的值最小,

此时：卜一3|+卜一［=3-工+/-1=2,

故答案为：2；

(5)因为卜-3|+k-1|=8,

当x>3时，|x-3|+|x-l|=x-3+x-l=2x-4=8,解得：x=6；

当1W时，|X-3|+|A-1|=3-X+A-1=2,此时不存在4使得卜一3|+上一1|=8；

当x<］时，|x-3|+|x-l|=3-x+l-x=4-2x=8,角牟得：x=-2；

综上，x=6或-2.

故答案为：6或-2.

21.min(a㈤表示a"两数中的最小者，max.力)表示a"两数中的较大者，如min(-3,5)=-3,

maxax-1,-1Lnin-3_2

max(-3,5)=5,则m是()

4，-3

A」

A.3B.-Ic,4D・3

【答案】A

13?3_23

【解析】因为6>-l,-<-j,所以max1.

-,min，-

3434

二］」,闫；,故选A.

所以maxm/in31n4

(43〃I34)

22.点A,B,C,。在数轴上表示的有理数如图所示.

D

-4-2.5,103

(1)点A表示的数的倒数是;点。表示的数的相反数是

(2)①4B两点间的距离为1(~4)-(-2.5+

②分别计算A,/)两点间的距离和B,C两点间的距离.

【解析】(1)由数轴得，点A表示的数是Y，其倒数是一：；

4

点C表示的数是-2,其相反数是二；

44

故答案为：-:；I；；

44

(2)①人，8两点间的距离为11)-(-2・5)|=|-4+2.5|=|-1.5卜1・5,

故答案为：1.5；

②A,。两点间的距离为|3-(^)|=|3+4|=|7|=7；

B,C两点间的距离为T；-(-2.5)=|-l.25+2・5|=l.25.

23.阅读下面材料：

O(A)BOAB

-------1---------------------1——>-------1——।1——►

b0ab

图1----------------图2

点A,8在数轴上分别表示实数〃、b,A,3两点之间的距离表示为|A8].

当A,B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1,IABHOBHI；

当A,8两点都不在原点时，

如图2,点A,8都在原点的右边,\AB^OB\-\OA}Ab\-\a^b-aAa-b\.

如图3,当点A,B都在原点的左边,|45|=|0B|-|0A|=|例-|a|=-b-(-a)=|4-"；

如图4,当点A,8在原点的两边，I八例=IOB|+a*|+|止-)+“=|〃-勿.

BAOBOA

I||||I.

ba。b0a

图3图4

回答下列问题：

(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表示1和-3的两点

之间的距离是__________；

(2)数轴上若点A表示的数是“，点〃表示的数是1,则点A和〃之间的距离是____________,

若|A8|=2,那么〃为；

(3)若数轴上表示数。的点位于-2和5之间，BP-2<t/<5,化简：|a+2|+|a-5|.

【解析】(1)数轴上表示2和5两点之间的距离是：12-5|=3,

数轴上表示1和-3两点之间的距离是：II-(-3)|=4.

故答案为：3,4.

(2)数轴上表不。和1的两点的距离是

若|A8|=2,则|〃一1|=2,即。一1=±2,

解得：”=3或4=-1.

故答案为：”，3或-1.

（3）因为表示数。的点位于-2与5之间，

所以4+22a-5<（）f

所以卜+2„—5卜（4+2）+[-（。-5）]=4+2—。+5=7.

24.（2023・吉林・统考中考真题）月球表面的白天平均温度零上126。（2,记作+126。（2