第09章 组合变形杆件的应力分析与强度计算

1、第9章 组合变形杆件的应力分析与强度计算,本章主要介绍杆在斜弯曲、拉伸(压缩)和弯曲、偏心压缩(偏心拉伸)以及弯曲和扭转等组合变形下的应力和强度计算。,9.1 基本概念与工程实例,9.2 斜弯曲,9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形,9.4 偏心压缩（拉伸）,9.5 截面核心,*9.6 弯曲与扭转组合,9.1 基本概念与工程实例,这些杆件同时发生两种或两种以上基本变形，且不能略去其中的任何一种，称为组合变形杆件。,组合变形是属于小变形时，且材料是在线弹性范围内工作。,分析方法叠加法,将作用于杆件上的荷载分解或简化成几组荷载，每组荷载只产生一种基本变形；单独计算每一种基本变形下杆件的内力、应力和变形

2、，结果叠加起来得到组合变形下的内力、应力和变形。,9.2 斜弯曲,9.2.1 正应力计算,9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和 强度条件,工程中，外力不作用在梁的纵向对称平面（或形心主惯性平面）内，梁变形后轴线不位于外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。,斜弯曲是两个相互正交的平面弯曲的组合。,9.2.1 正应力计算,设F 力作用在梁自由端截面的形心, Fy、Fz为F沿两形心轴的分量，杆在Fy和Fz单独作用下，将分别在xy平面和xz平面内产生平面弯曲。,F与竖向形心主轴夹角为,在梁的任意横截面上，由Fy和Fz引起的弯矩为,力F引起的x截面上的弯矩。,（1）在Fy单独作用下,（2）在Fz单独作用

3、下,考察距固端为x的横截面上A点的正应力：,， 分别为Fy和Fz在A点处引起的正应力,应用叠加法,9.2.2 中性轴的位置、最大正应力和强度条件,设中性轴上任一点的坐标为y0和z0 。因中性轴上各点处的正应力为零，即,因M0，故,中性轴方程,上式表明，中性轴是一条通过横截面形心的直线。,设中性轴与z 轴成 角，则由上式得到,对矩形截面，IyIz，即，因而中性轴与F力方向并不相互垂直。这是斜弯曲的一个重要特征。,对圆形、正多边形截面，Iy=Iz，即=，中性轴与F力方向垂直，即是平面弯曲。,横截面上的最大正应力，发生在离中性轴最远的点。,角点b产生最大拉应力，角点c产生最大压应力，分别为,对于有凸

4、角的截面，例如矩形、工字形截面，根据斜弯曲是两个平面弯曲组合的情况，最大正应力显然产生在角点上。,对于没有凸角的截面，可用作图法确定产生最大正应力的点。,如图所示椭圆形截面，当确定了中性轴的位置后，作平行于中性轴并切于截面周边的两条直线，切点D1和D2即为产生最大正应力的点。,危险点处于单向应力状态，故强度条件：,例91 如图所示悬臂梁，采用25a号工字钢。在竖直方向受均布荷载q=5kN/m 作用，在自由端受水平集中力F =2kN作用。已知截面的几何性质为：I z =5023.54cm4，W z =401.9cm3，I y =280.0cm4，W y =48.28cm3。试求梁的最大拉应力和最

5、大压应力。,解：均布荷载q 使梁在xy平面内弯曲，集中力F使梁在xz平面内弯曲，故为双向弯曲问题。两种荷载均使固定端截面产生最大弯矩，所以固定端截面是危险截面。由变形情况可知，在该截面上的A 点处产生最大拉应力，B 点处产生最大压应力，且两点处应力的数值相等。,N/m2,=107.7MPa,MPa,9.3 轴向拉压与弯曲的组合变形,对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。 可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在轴向拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。,上图悬臂梁受轴向拉力及均布荷载，

6、以此为例来说明拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的正应力及强度计算方法。,（1）该杆受轴向力F 拉伸时，任一横截面上的正应力为,（2）杆受均布荷载作用时，距固定端为x 的任意横截面上的弯曲正应力为,（3）叠加得x截面上第一象限中一点A(y,z)处的正应力为,固定端截面有最大弯矩，为危险截面，按叠加原理，该截面的上、下边缘处各点可能是危险点，其正应力为,在这三种情况下，横截面的中性轴分别在横截面内、横截面边缘和横截面以外。,杆在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下的强度条件为,例9-2 如图a所示托架，受荷载F =45kN作用。设AC 杆为工字钢，许用应力=160MPa，试选择工字钢型号。,解：取AC 杆进行

7、分析，其受力情况如图b所示。,FAy=15kN, FBy=60kN, FAx=FBx=104kN,AB段杆的变形是拉伸和弯曲的组合变形。,AC杆的轴力图和弯矩图如图c和d所示。B截面的上边缘各点处的拉应力最大，是危险点。强度条件为,因为 A和Wz都是未知量，无法由上式选择工字钢型号，通常是先只考虑弯曲应力，求出Wz后，选择Wz略大一些的工字钢，再考虑轴力的作用进行强度校核。,由弯曲正应力强度条件，求出,由型钢表，选22a 号工字钢， W z =309 cm3，A=42.0 cm2。考虑轴力后，最大拉应力为,N/m2,=170.4MPa,最大拉应力超过许用应力，不满足强度条件，可见22a号工字钢

8、截面还不够大。,现重新选择22b号工字钢， W z =325cm3，A=46.6cm2，此时的最大拉应力为,N/m2,=160.9MPa,此时，最大拉应力虽然超过容许应力，但超过不到5%，工程上认为仍能满足强度要求。,9.4 偏心压缩（拉伸）,当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。,偏心压缩,单偏,双偏,以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心压力F为例，来说明。,将偏心压力F用静力等效力系来代替。把A点处的压力F向截面形心C点简化，得到轴向压力F和两个在纵对称面内的力偶My、Mz。,因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面Oxz

9、、Oxy内的纯弯曲。,在任一横截面上第一象限点 B(y,z) 处的正应力分别为,轴力FN=F 引起的正应力,弯矩Mz引起的正应力,弯矩My引起的正应力,(a) (b) (c),(a)图,(c)图,(b)图,按叠加法，得B点的正应力,A为横截面面积； Iz 、 Iy分别为横截面对z轴、 y轴的惯性矩。,利用惯性矩与惯性半径间的关系,B点的正应力表达式变为,取=0 ，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程,可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。,求出中性轴在y、z两轴上的截距,对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1

10、、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。,对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处,例中最大压应力和最大拉应力分别在截面的棱角D1、D2处。,危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为,例93 一端固定并有切槽的杆，如图a所示。试求最大正应力。,解：由观察判断，切槽处杆的横截面是危险截面，如图b所示。,（a） (b),对于该截面，F力是偏心拉力。现将F力向该截面的形心C简化，得到截面上的轴力和弯矩分别为,kN,m=(100.05)kNm=0.5kNm,m=(100.05)kNm=0.25kNm,A点为危险点，该点处的最大拉应力为,

11、Pa=14MPa,9.5 截面核心,当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心。 对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。 为此，应使中性轴不与横截面相交。,前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式:,作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在 y、z 轴上的截距ay、az，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(yF,zF)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个

12、反算过程）,矩形截面:,边长为a和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。,得,将与 AB 边相切的直线看作是中性轴，其在y、z 两轴上的截距分别为,同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线、看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为,当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线。 于是，将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形。,思考： 圆截面的截面核心 如何确定？,*9.6 弯曲与扭转的组合,以圆截面杆为例，研究杆在弯扭组合时的应力和强度计算问

13、题。,直角曲拐 AB段为等直实心圆截面杆，进行受力简化，作弯矩图和扭矩图。,F力使AB杆发生弯曲，外力偶矩Mx=Fa使它发生扭转,由弯矩、扭矩图知，危险截面为固定端截面A 危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力为,A截面的上、下两个点C1和C2是危险点 C1点的应力状态，取单元体得二向应力状态,按应力状态分析的知识， C1点三个主应力为,可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得,强度条件为,注意到=Mz/Wz、= Mx/Wp, 相当应力改写为,对圆截面，,，则强度条件又可分别写成：,上式同样适用于空心圆截面杆，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法。,外力分析：外力向形心简化并分解。,内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。,应力分析：建立强度条件。,弯扭组合问题的求解步骤：,例95 一钢质圆轴，直径d=8cm，其上装有直径D=1m、重为5kN的两个皮带轮，如图a所示。已知A处轮上的皮带拉力为水平方向，C 处轮上的皮带拉力为竖直方向。设钢的=160MPa，试按第三强度理论校核轴的强度。,解：将每个齿轮