2015年复旦附中自主招生数学试题

1、2015年复旦附中自招数学试卷2015年复旦附中自招数学试卷填空填空A1、若、若22xabyab，则，则22xyxy（）（）_2、123xx，求，求12xx、的方差的方差_3、从、从1,4,7295,298（隔（隔3的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有_个个4、解方程：、解方程：2122xxx5、2815231xxxx的解有的解有_个。个。6、37531(12)8mxmxmxxmx有正数解，求有正数解，求m的取值范围的取值范围_7、2104yxxm与与x轴两个交点在轴两个交点在x的正半轴，求的正半轴，求m的取值范围。的取值范围。8、495235xyx

2、zz时，求时，求xy的值的值9、矩形、矩形ABCD中，中，3ABBC，将矩形折叠，点，将矩形折叠，点B落在边落在边AD上的点上的点M处，处，C落在落在N处，求处，求ECFBAMEBADCFMN填空填空B1、扫雷游戏扫雷游戏2、已知不等式：、已知不等式：21yxpx求能使求能使xy最大值为最大值为2的负实数的负实数p的取值范围。的取值范围。3、如图所示，直线、如图所示，直线l经过点经过点P，且垂直于，且垂直于AB，当长方形，当长方形AOBP的周长为的周长为20时，请求出无论图形如何变化，时，请求出无论图形如何变化，l始终经过的定点坐标始终经过的定点坐标_。4、在反比例函数、在反比例函数kyx上存

3、在点上存在点C，以点，以点C为圆心，为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到为半径画圆，圆上存在两点到O点距离为点距离为2，则，则k的取值范围的取值范围_5、已知直线、已知直线MANB、均与线段均与线段MN为直径的半圆相切，直线为直径的半圆相切，直线AB与半圆相切于点与半圆相切于点F，P在线段在线段MN上且上且PFMN，当直线，当直线AB变化时，求变化时，求+PAPBAB的最大值的最大值6、在、在1,2,3,39,40数列中能找出数列中能找出_对数字使它们的差的绝对值为质数。对数字使它们的差的绝对值为质数。yxPABO51311解答题：解答题：1、已知在、已知在BAC的内部存在一点的内部存在一点M

4、，在不画出，在不画出A点的情况下过点的情况下过M点作一条直线，使它经过点作一条直线，使它经过A点。点。2、设、设12xx、为为220 xpxp的两根，的两根，p为实数为实数求证：求证：212230pxxp当当1223xxp时，求时，求p的最大值的最大值3、实数、实数12naaa、满足：满足：12=0naaa121naaa求证：求证：k个数个数123kn（，），1212kaaa4、锐角、锐角ABC中，中，ADBECF，分别为分别为BCACAB，边上的高，设边上的高，设BCa，ACb，ABc，BDx，ECy，AFz用用abc、表示表示x当当abc、满足什么关系时，有满足什么关系时，有2()xyza

5、bcMEFDBCA（2）2015年复旦附中自招数学试卷2015年复旦附中自招数学试卷一、一、填空：1.填空：1.已知实数已知实数x，y，z满足满足4xy，|1|29zxyy，则，则32xyz。2.。2.抛物线抛物线2yaxbxc与与x轴交于轴交于A、B两点，与两点，与y轴交于点轴交于点C，若，若ABC是直角三角形，则是直角三角形，则ac的值等于的值等于。3.。3.如图如图ABC是直角三角形，是直角三角形，1S，2S，3S为正方形，已知为正方形，已知a，b，c分别是分别是1S，2S，3S的边长，则的边长，则a，b，c满足的关系式为满足的关系式为。4.。4.若满足关于若满足关于x的不等式组的不等式

6、组1252xxxa或的整数解只有的整数解只有2一个，则实数一个，则实数a的取值范围为的取值范围为。5.。5.已知关于已知关于x的方程的方程21210axxa的根都是整数，则满足条件的整数的根都是整数，则满足条件的整数a的值为的值为。6.。6.如图，在如图，在RtABC中，中，3AC，4BC，点，点D为斜边为斜边AB上的一个动点，过上的一个动点，过D作作DEBC，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E、F，则线段，则线段EF长度的最小值为长度的最小值为。7.。7.从从1到到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则可有，则可有种不

7、同的取法。8.种不同的取法。8.已知已知1x，2x，3x，nx中每一个数值只能取中每一个数值只能取2，0，1中的一个，且满足中的一个，且满足1217nxxx，2221237nxxx，则，则33312=nxxx。S3S2S1CABFEDACB12BCA9.9.如图，半径分别为如图，半径分别为1和和2的两个圆外切，且两圆与等腰三角形的两个圆外切，且两圆与等腰三角形ABC的两腰的两腰AB和和AC都相切，则都相切，则ABC的面积为的面积为。10.。10.如图，如图，ABCDE是正五边形，已知是正五边形，已知1AG，则，则FGJHCD。二、。二、解答题：11.解答题：11.如图，如图，ABC内接于圆内接于圆O，ABBC，AOBC，垂足为，垂足为D。求证：。求证：ABC是等边三角形；若是等边三角形；若1AB，P是劣弧是劣弧BC上的动点（点上的动点（点P与与B、C不重合），不重合），PA交交BC于点于点E，设，设AEx，EPy，求，求y关于关于x的函数关系式，并写出自变量的函数关系式，并写出自变量x取值范围；在的前提下，令取值范围；在的前提下，令PAC，APC，当，当y取何值时，取何值时，22si