专题八 距离空间的列紧性与紧性（投）

1、距离空间的列紧性与紧性 实数集中的列紧性（致密性）,专题七 距离空间的列紧性 全有界性与紧性,距离空间的全有界性 实数的有界性,距离空间的列紧性与紧性 实数集中的有限覆盖,已知：在实直线上，有波尔查诺维尔斯特拉斯“列紧性定理”成立，而且与完备性定理是相互等价的。,问题1：在一般的距离空间中，列紧性定理是否也成立？,一、距离空间的列紧性,引例1 考察闭区间0,1上的连续函数序列xnC0,1: xn=xn(t)=tn (n=1,2,),xnC0,1是有界点列 。,但是，xnC0,1是没有收敛子列 。事实上， 若子列xnkxn, 使xnkxC0,1 函数子列xnk(t) 在0,1上一致收敛于x(t)

2、,这与x(t)在0,1上连续矛盾。,结论：在一般的距离空间(即使是完备的)中， 有界点列不一定存在收敛子列，即列紧性定理不成立。,引例2 C0,1中的点列：,显然是有界点列，但它不可能有收敛的子列。,事实上，若子列xnkxn, 使xnkxC0,1 函数子列xnk(t) 在0,1上一致收敛于x(t),这与x(t)在0,1上连续矛盾。,定义5.1 (列紧集与列紧空间) 设X是距离空间，AX. (1) 如果xnA, 子列xnkxn,使xnkxX(k),则称A是列紧集。 (2) 如果A是列紧闭集，即xnA, 子列xnkxn, 使xnkxX(k),则称A是自列紧集。 (3) 如果X本身是(自)列紧集，即

3、xnX, 子列xnkxn, 使xnkxX(k), 则称X是列紧空间。,注 1）自列紧集列紧闭集 对全空间X而言，列紧自列紧列紧闭. 2）维尔斯特拉斯“列紧性定理”可以表述为： R中的任何有界集都是列紧集如果A是列紧闭,定理5.2 (列紧空间的性质) X是列紧的距离空间X是完备距离空间 X中的自列紧集A是X的完备子空间。 但反之不然。,证 设X是列紧空间，xnX是基本列 X列紧子列xnkxn, xnkxX xnX是基本列 0, N, 当n,nkN时, 有(xn, xnk)N, k时,有(xnk,x)=lim(xnk,xn) (距离函数连续性) xnxX (n) X完备 但反之不然。例如，R是完备

4、距离空间，但序列 nR中没有任何收敛子列，因而R不是列紧空间。 然而，R中的任何有界集都是列紧集。,二、距离空间的全有界性,网与全有界集,定义5.2 (网) 设X是距离空间，AX, BX. 如果 0, A能被B中个点的开球S(x,)的全体所覆盖，即,则称B是A的一个网。,例1 R2中一切整数格点所构成的集 A=(m,n)|m,nZ构成了R2的一个3/4网。 例2 设A=(x,y)|x,y均为无理数, B=(x,y)|x,yQ, 则0, B都构成了A的一个网，从而也构成了 R的一个网。（由于有理数在R中的稠密性）,注: 1）B是A的一个网yA, xB, 使(x,y)； 2）A的网可以是A的子集，

5、也可以不是A的子集.,定义5.3 (全有界集) 设X是距离空间，AX. 如果0, A的有限的网B=x1,x2,xn, 则称A为全有界集.,例3 闭区间0,1使R中的全有界集。 证 0, 取n1/, 则有1/n. 构造有限点集 B=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n0,1 x,yB是相邻两点，有(x,y)=1/n. B 中各点的开球的全体覆盖了A B是0,1区间一个有限的网 0,1区间是全有界集。,注 1) 对全有界集A, 一定能找到它的有限网BA. 2) 全有界集A的有限的网的构造方法： 首先，构造一个 有限点集 B=x1,x2, xnA； 然后，选取网中个开球的公共半径，x,yB是

6、相邻两点，有(x,y).,例4 距离空间(X,)中的基本列构成一个全有界集 证 设A=xnX是一个基本列 0, N, 当m,nN时, (xm,xn)N, m=N+1时, (xN+1,xn)N) B 中各点的任意开球的全体覆盖了A 0， B都是A的一个有限的网 A是全有界集,定理5.3 (全有界集的性质) 设X是距离空间，AX是全有界集，则（1）A一定是有界集； （2）A一定是可分的。,证 (1) AX是全有界集 对=1, A的一个有限的1网B =x1,x2,xnA xA, k, 使xS(xk,1), 即(xk,x)1,A有界。,(2) AX是全有界集 （只要证明A有可数的稠密子集） 对k=1/

7、k, A的有限1/k网Bk=x1(k) ,x2(k),xnk(k)A,B在A中稠密 ；又BA是至多可数集，故A可分.,定理5.4 (全有界集的充要条件) 设X是距离空间，AX,则A是全有界集A中任何点列必存在基本子列。,证 “” 设AX是全有界集， xnA， 对k=1/k, A的有限k网Bk=x1(k) ,x2(k),xnk(k)A,使,“” 反证法 设xnA有基本子列。 若AX不是全有界集， 00, A没有有限的0网x1A ,S(x1,0)不能覆盖A AS(x1,0)非空 x2AS(x1 ,0), S(x2,0)S(x2,0)不能覆盖A AS(x1,0)S(x2,0)非空, x3AS(x1,

8、0)S(x2,0), xn,xmxnA, 当nm时，有,xn的每一个子列都不可能是基本列，矛盾。 因此，A是全有界集。,定理5.5 (豪斯道夫定理全有界集与列紧集的关系) (1) 设X是距离空间，AX是列紧集A是全有界集 (2) 设X是完备距离空间, 则AX是列紧集A是全有界集,证 (1) 设AX是列紧集 xnA，子列xn(k), xn(k)xX (k) xn(k)是xn的基本子列 A是全有界集。 (2) “” 在(1)中已证。 “” 设A是全有界集， xnAxn有基本子列xn(k) X完备xn(k)xnA收敛A是列紧集,2 全有界集与列紧集的关系,注：在不完备的距离空间中, 全有界集不一定是

9、列紧集. 例如，C-1,1按距离,不完备，其中的点列xn:,是基本列，因而A=xn是(C-1,1,1)中的全有界集，但是它在C-1,1中没有收敛子列，故A=xn不是列紧集。,推论5.1 (有界集与列紧集的关系) 设X是距离空间， AX是列紧集A是有界集,推论5.2 (列紧集与可分集的关系) 设X是距离空间，则 (1) AX是列紧集A是可分集； (2) X是列紧空间X是可分的。 （即列紧空间中存在一个稠密的可数子集。）,证 (1) AX是列紧集A是全有界集A是可分集; (2) X是列紧空间 X是全有界空间X是可分空间.,证 A是列紧集 A是全有界集A是有界集,注 在R中，有 1) A是列紧集A是

10、有界集 2) A是自列紧集A是列紧闭集A是有界闭集,3 几个常用距离空间中列紧集的特征,定理5.6 (Rn中列紧集的特征) 设ARn, 则 A是列紧集A是有界集,证 若A是列紧集A是全有界集A是有界集 若A是有界集, xkARn, xk=x1(k),x2(k),xn(k) xk 是有界点列 对每个i (i=1,2,n), xi(k)是有界数列 对每个i (i=1,2,), xi(k)存在收敛子列，设,证 必要性 设ACa,b是列紧集 (1) A是列紧集A是有界集 (在距离意义下） A是一致有界集 (在函数意义下),定义5.4 (一致有界和等度连续) 设ACa,b， 1) 如果 K0,x(t)C

11、a,b ,有|x(t)|K，则称A是一 致有界的； 2) 如果0, ()0, 使对x(t)Ca,b及 t1,t2a,b, 当|t1t2|时, 有|x(t1)x(t2)|，则称 A是等度连续的。,定理5.7 (Ca,b中列紧集的特征) 设ACa,b, 则 A是列紧集A是一致有界且等度连续的 (阿尔采拉阿斯可利(Arzel-Ascoli)定理),(2) A是列紧集A是全有界集 0, A的有限/3-网x1(t), x2(t),xn(t) x(t)A, xi(t)(1in), 使得(xi,x)0, 使得当|t1-t2|时, 有 |xi(t1)-xi(t2)|/3 (i=1,2,n) x(t)A, 当|

12、t1-t2|时, 有 |x(t1)-x(t2)|x(t1)-xi(t1)|+|xi(t1)-xi(t2)|+|xi(t2)-x(t2)| /3+/3+/3= A是等度连续的。,充分性 设ACa,b是一致有界且等度连续的 A一致有界, xn(t)A, rn是a,b中所有有理集合 K0, 使|xn(r1)|K (n=1,2,) xn(r1)是有界数列 子列x1n(t)xn(t)在t=r1处收敛。 |x1n(r2) |K 子列x2n(t)x1n(t)在t=r1,r2处收敛 . 子列xkn(t)x(k-1)n(t)在t=r1,r2,rk处收敛 (k=1,2,) xnn(t)在a,b内的所有有理数处收敛

13、； A等度连续0, 0,x(t)A, 当|t1-t2|时, 有 |x(t1)-x(t2)|/3,将a,b区间k等分, 得k个子区间Ii(i=1,2,k), 使mIiN时, |xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|N, ta,b时, 有 |xmm(t)-xnn(t)| |xmm(t)-xmm(ri(0)|+|xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|+|xnn(ri(0)-xnn(t)| /3+/3+/3 xnn(t)是Ca,b中的基本列 xnn(t)是xnCa,b中的收敛子列 (X是完备距离空间) A是列紧集,已知：在实直线上，有海因波赖尔“紧性定理”（或“有限覆盖定理”）成立，而且它与完备性

14、定理、列紧性定理是相互等价的。,问题2：在一般的距离空间中，及有限覆盖定理等是否也成立？它与完备性定理、列紧性定理关系又如何呢？,三、距离空间的紧性,定义5.5 (紧集) 设X是距离空间，AX. 如果开集族 GI覆盖A，即,则在GI中必存在有限个开集G1,G2,Gn覆盖A，则称A为紧集。,注 AX为紧集在 集合A上，有限覆盖定理成立.,定理5.8 (紧集的充要条件) 设X是距离空间，AX. 则 A是紧集A是自列紧集A是列紧闭集A是有界闭集,注 AX为紧集在 集合A上，有限覆盖定理成立.,1 紧集的概念与条件,2 紧集上连续函数的性质 是R上有界闭集（紧集） 连续函数性质的推广,定理5.8 (有

15、界性) 设X是距离空间， AX是紧集, f (x)是连续(泛)函数，则f (x) 在A上有界.,证 反证法 假设f(x)在A上无界xnA,使f(xn)n. 一方面，A是紧集A是列紧闭集 存在子列xnkxn, 使得xnkx0A f(xnk)f(x0) (k) (因为f(x)在上连续) 另一方面， f(xnk)nkf(xnk) (k) 矛盾。 故f(x)在A上有界,证 设=supf(x) (xA) 对任意n, xnA, 使1/nf(xn). A是紧集A是列紧闭集 存在子列xnkxn, 使得xnkx0A, 且 1/nf(xnk) f(xnk)f(x0)= (k) (因为f(x)在上连续,且极限唯一) 类似地，x1A, 使得f(x1)=inf f(x) (xA),定理5.9 (最值存在性) 设X是距离空间， AX是紧集, f (x)是