第2章 工业机器人的数学基础

1、目 录 第一章 工业机器人概论 第二章 工业机器人的数学基础 第三章 工业机器人的机械系统 第四章 工业机器人的动力系统 第五章 工业机器人的感知系统 第六章 工业机器人的控制系统 第七章 工业机器人编程与调试,工业机器人技术基础,主要内容 2.1 矩阵及运算 2.2 坐标系及其关系描述 2.3 坐标变换 2.4 机器人运动学 2.5 机器人动力学,工业机器人技术基础,第2章 工业机器人的数学基础,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,2.1 矩阵及运算,1.矩阵的定义 定义1 由mn个数aij（i=1，2，m； j=1,2，n），排成m行n列的数表：,称为m行n列矩阵，简称为mn

2、矩阵。这mn个数称为矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复数的矩阵叫做复矩阵。本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示矩阵。有时为了指明矩阵的第i行第j列元素为aij，可将A记 作A=(aij)mn 或A= (aij) ，也可将mn矩阵A记为Amn。当A的行数与列数相等时，称A为n阶方阵或n阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,2.1 矩阵及运算,只有一行的矩阵A=（a1，a2，an）叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们

3、为同型矩阵。如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即 aij=bij （i=1，2，m；j=1，2，n）， 那末就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B。元素都是零的矩阵，记作0。注意不同型的零矩阵是不同的。,II 几种特殊矩阵,a) 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵称为对角矩阵，记为diag（a11 ,a22,a33 ann ）,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,b) 数量矩阵(scalar matrix),c) 三角矩阵(triangular matrix),上三角矩阵(upper triangular matrix),第二

4、章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,d) 对称阵(symmetric matrix）和反对称阵(anti-symmetric matrix),如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij=aji（i，j=1，2，n），则称A为n阶对称矩阵 ，如,如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij= aji（i，j=1，2，n），则称A为n阶反对称矩阵。显然，故aii=0（i=1，2，n） 如：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,矩阵的加法 设有两个mn的矩阵A=（aij），B（bij），则矩阵A和B的和记作A+B 。即：,III 矩阵的运算,易证，矩阵加法满足下列运算规律（设A

5、、B、C都是mn矩阵）： a) A+B=B+A； b)（A+B）+ C=A +（B+C）。 设矩阵A=（aij），记 A=（aij）， A称为A的负矩阵，显然有A +（A）= 0。 由此定义矩阵的减法运算为 A B = A +(-B),第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,矩阵相等 条件：矩阵要同阶对应元素相等 满足上述条件，矩阵就相等。 如下述矩阵：,III 矩阵的运算,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,数与矩阵相乘 数与矩阵A的乘积记作A或A，规定为,易证，数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为 mn矩阵，、为数）： (i). （）A = （A）； (ii). （

6、+）A = A + A； (iii). （A + B）=A + B。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,矩阵与矩阵相乘 设矩阵A=(aij ) ms ，B=(bij ) sn，则矩阵A和矩阵B的乘积矩阵C=（cij）mn，其中 Cij=ai1b1j+ai2b2j+aisbsj （i=1，2， ，m；j=1，2， ，n） 记作C=AB。,对于矩阵的乘法需注意以下三点： 第一，只有矩阵A的列数等于B的行数时，AB才有意义。 第二，乘积C=（cij）mn的第i行第j列的元素等于矩阵A的第i行的每一个元素与矩阵B的第j列的对应元素的乘积之和。 第三，乘积C的行数等于矩阵A的行数，列数等

7、于矩阵B的列数。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例1 求AB和BA。其中,解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2 求AB和BA。其中,解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,在上述两个例子中都有ABBA，即矩阵乘法不满足乘法交换律，为此将AB称为用A左乘B，而将BA称为A右乘以B。还应注意到在例5中：A，B均为非零矩阵，但AB却为零矩阵。 由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：（假设运算都是可行的） (i). 结合律：（AB）C=A（BC）； (ii). 左分配律：A（B+C）= AB + AC； (iii). 右分配律：（B+C）

8、A = BA + CA； (iv). （AB）=（A）B = A（B）。（为常数）,对于单位矩阵E,容易验证 EmAmn = Amn ， AmnEn = Amn 。 有了矩阵的乘法，就可以定义n阶方阵的幂。设A是n阶方阵，定义 A1 = A，A2 = A1 A1， ，Ak+1 = AkA1 ， 其中k为正整数。这就是说，Ak就是k个A相乘。显然，只有方阵的幂才有意义。由于矩阵乘法适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律： AA = A+ ，(A) = A 不过，一般 (AB)k AkBk。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行换成同序数的列

9、所得到的 新矩阵，叫做A的转置矩阵(transpose)，记作A 或AT。显然，A=(aji)nm,矩阵的转置也是一种运算，易证它满足下述运算规律（假设运算都是可行的）： (i) (A) = A ； (ii) (A+B) = A + B ； (iii) (A) = A ； (iv) (AB) = BA 。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,方阵的行列式 由n阶方阵A的元素按原来位置不变所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作|A| 或 detA。设 A为n 阶方阵，如果 |A| 0，则称 为非奇异矩阵；如果 |A| =0 ，则称 为奇异矩阵。 由方阵A确定行

10、列式|A|的运算满足下述运算规律（设A，B为n阶方阵，为数）： (i). |A| = |A|（行列式性质1）； (ii). |A| = n|A|； (iii). |AB| = |A| |B|。,其它方阵 设 A为 n阶方阵，由 |A|的各元素的代数余子式所构成的方阵称为方阵 的伴随阵 A *，有以下性质： A A * = A * A = |A|E 如果存在一个矩阵A-1 ，使得A A -1 = A -1 A = E,则矩阵 A -1称为A 的可逆矩阵或逆阵。当方阵|A| 0，有,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,矩阵求导 矩阵的元素如果为时间t 的函数，记为 Aij(t)，该矩

11、阵记为 A(t) 。它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素 对时间的导数，即,根据此定义与微分的基本性质，可得如下关系式：,上式中： a为时间函数的标量； A与B 均为时间函数的矩阵，它们满足矩阵运算的条件。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,2.2 坐标系及其关系描述,坐标系,插曲： 有一天，笛卡尔(1596-1650，法国哲学家、数学家、物理学家)生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题:几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢?这里，关键是如何把组成几何的图形的点和满足方程的每一组数挂上钩。他就拼命琢磨。通过什么样的办法、

12、才能把点和数联系起来。突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会儿，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的表演，使笛卡尔思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢?他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置，不是都可以用这三根数轴上找到的有顺序的三个数来表示吗?反过来，任意给一组三个有顺序的数，例如3.2.1，也可以用空间中的一个点 P来表示它们(如图 1)。同样，用一组数(a， b)可以表示平面上的一个点，平面上的一个点

13、也可以用一组二个有顺序的数来表示(如图2)。于是在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,直角坐标系 在平面上建立直角坐标系以后，可用点到两条互相垂直的坐标轴的距离来确定点的位置，即平面内的点P与二位有序数组（a，b）一一对应。在空间建立三维直角坐标系后，可用点到三个互相垂直的坐标平面的距离来确定点的位置，即空间的点P与三维有序数组（a，b，c）一一对应。建立坐标系，如左图所示，取三条相互垂直的具有一定方向和度量单位的直线，叫做三维直角坐标系 或空间直角坐标系o-xyz。利用三维直角坐标系可以把空间的点P与三维有序数组（a，b，c）建立起一一对

14、应的关系。右图所示就是典型的直角坐标系型机器人。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,圆柱坐标系 如左图所示设M(r,z)为空间内一点，并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r,，则这样的三个数r, ,z就叫点M的圆柱坐标，其典型圆柱坐标系型机器人见右图。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,球坐标系 如左图所示假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；为有向线段OP与z轴正向的夹角；为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，叫做点P的球面坐

15、标，其典型球坐标系型机器人见右图,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,机器人常用坐标系 在机器人学科里经常用参考坐标系和关节坐标系来描述空间机器人的位姿。 参考坐标系 通常采用三维空间中的固定坐标系o-xyz来描述 关节坐标系 关节坐标系用来描述机器人每一个独立关节的运动。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,向量,向量：,既有大小又有方向的量.,向量表示：,模长为1的向量.,零向量：,模长为0的向量.,向量的模：,向量的大小.,单位向量：,或,或,或,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相

16、同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,1 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的加减法,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,向量的加法符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,三、向量与数的乘法,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,数与向量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器

17、人技术基础,例1 化简,解,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,四、向量在坐标轴上的分向量与向量,的坐标,这六个平面与 x , y , z 轴分别相交于,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,z,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,称有向线段,为向量,有向线段,为向量,有向线段,为向量,依次记作,即,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,由图上可以看出,而,称为基本单位向量,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,向量在三个坐标轴上的分向量,向量的分解式,向量在三个坐标轴上的投影,称为向量的坐标,向量可用它的坐标表示为,向量的坐标表

18、示式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,特殊地：,称为向径,向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,非零向量 的方向角：,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,五、向量的模与方向余弦的坐标表示式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,由图分析可知,向量的方向余弦,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量模长的坐标表示式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,启

19、示,实例,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,一、两向量的数量积,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.,数量积也称为“点积”、“内积”.,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,数量积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）若 为数,若 、 为数：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,两向量夹角余弦的坐标表示式,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,实例,二、两向量的向量积,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,定义,关于向

20、量积的说明：,/,向量积也称为“叉积”、“外积”.,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,坐标系之间关系描述 空间中任意点 或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿(位置和姿态)关系。 坐标系通常由3个互相正交的轴来表示（例如x，y和z）。由于在任意给定空间内可能有多个坐标系，因此我们定义o-xyz(简称o系)来表示固定的全局参考坐标系；用o-xbybzb (简称b系)来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿关系。分两种情况： 共原点,设o系和b系共原点，i，j和k是o系的三正交轴单位向量，ib，jb和k

21、b是b系的三正交轴单位向量，那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,方向余弦阵具有以下基本性质： 1) 方向余弦阵为一正交阵. 矩阵中每行和每列中元素的平方和为1；两个不同列或不同行中对应元素的乘积之和为0。 2） A系相对 B系的方向余弦阵与 B系相对 系A的方向余弦阵互为转置； 3) 当且仅当两坐标系两两方向一致时，则它们的方向余弦阵为一三阶单位阵。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,坐标系之间关系描述 空间中任意点 或向量在不同坐标系的描述是不同的，为了阐述从一个坐标系到另一个坐标系的描述关系，需要讨论两坐标系的位姿(位置和

22、姿态)关系。 坐标系通常由3个互相正交的轴来表示（例如x，y和z）。由于在任意给定空间内可能有多个坐标系，因此我们定义o-xyz(简称o系)来表示固定的全局参考坐标系；用o-xbybzb (简称b系)来表示运动的刚体坐标系。分两种情况来描述两坐标系之间位姿关系。分两种情况： 不共原点,设o系和b系不共原点，i，j和k是o系的三正交轴单位向量，ib，jb和kb是b系的三正交轴单位向量，那么这两个坐标系的位姿关系可以用下列矩阵来表示：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,工业机器人技术基础,例2.1 如图所示，o系为一固定坐标系，b为一运动坐标系。初始状态：运动坐标系 b的初始位姿与

23、o系重合，但经过一定时间后，b系开始运动，最终b系相对于o系的y轴逆时针旋转了30 ，试用方向余弦阵A分别表示出运动初始和运动终了两个状态时的两坐标系的位姿关系。,解：1）运动初始状态 根据方向余弦阵的基本性质可知，两坐标系完全重合，其方向余弦阵A就是一个 三阶单位阵,2）运动终了状态 根据式（2-3），可写出方向余弦阵A,第二章 工业机器人的数学基础,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,空间刚体描述,在运动过程中物体内任意两点的距离保持不变的物体称为刚体。在机器人学里，任一刚体的位置、姿态可由其上的任一基准点（通常选作物体的质心）和过该点的坐标系相对于参考坐标系的相对关系来确定

24、。 如下图所示，设有一运动椭圆刚体A，选其上的圆心点ob为基准点，长轴为yb轴，短轴为xb，椭圆面的法向为zb，置坐标系ob-xbybzb。再选一固定坐标系o，于是，该椭圆刚体A的空间位置和姿态可由下式所示矩阵来表示出,式中：,，,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,坐标变换 变换定义为在空间产生运动。当空间的坐标系（向量、物体或运动坐标系）相对于固 定的参考坐标系运动时，这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。这是因为 变换本身就是坐标系状态的变化（表示坐标系位姿的变化）。变换坐标可为如下几种 形式的一种： 1纯平移坐标变换； 2绕一个轴的纯旋转； 3平移与旋转的组合,第二

25、章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,设有一固定的直角坐标系o-xyz（简称o系）和一运动的直角坐标系ob-xbybzb （简称b系）具有相同的方位，但o系的原点与b系的原点不重合，用位置 向量 描述b系相对o系的位置，称 为b系相对o系的平移向量，且 其中 、 和 是平移向量 相对于固定坐标系o的xb、yb和zb轴的3个分量。,纯平移,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,如果点 P在b系中的位置为 bP ，那么它相对于o系的位置向量oP 可由向量相加得出，即 oP= oPoob + bP 上式称为：坐标平移方程,那么如何在O表述b呢？ 坐标余弦阵，因为两坐标系方位相同，

26、即两坐标系关系为：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,而b系在o表示应该用两个矩阵来表述，及位置矩阵和余弦矩阵，则：,那矩阵可看成是如下两个矩阵的乘积：,首先可以看到，新坐标系位姿可通过在原坐标系矩阵前面左乘平移变换矩阵得到。其次可以看到，方向向量经过平移后保持不变。最后可以看到，这种坐标变换便于用矩阵乘法来进行变换计算，并使得到的新矩阵的维数与变换前相同。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.2 初始状态：运动坐标系b在固定坐标系o的位姿为Tboold 。经过一段时间后，运动坐标系b沿固定坐标系o的y轴正向移动5个单位，沿z轴正向移动5个单位。求运动终了时

27、运动坐标系b在固定坐标系o的位姿 Tbo-new 。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,如图2-13所示，旋转前固定坐标系o和运动坐标系b重合，显然P点在o系和b系中的坐标值都相等；经过一段时间后运动坐标系b绕z轴逆时针旋转了角，旋转后P点在o系和b系中的坐标值显然不等。但存在关系,绕轴转动,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,写成矩阵形式为：,可见，旋转后为了得到点P在固定参考坐标系o里的坐标矩阵，必须在点P在运动坐标系b的坐标矩阵的左边乘上一个矩阵，该矩阵也就是绕z轴旋转的旋转矩阵 ，它可表示为：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,同理可推出绕

28、Y轴旋转的旋转矩阵：,可推出绕X轴旋转的旋转矩阵：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.3现运动坐标系中有一点p(1,2,3)T，它随运动坐标系一起绕固定坐标系的z轴旋转90。求旋转后该点在固定坐标系的坐标。 解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,复合运动,对于一般的情形，运动坐标系b与固定坐标系o的原点既不重合，方位也不相同。但两者的关系可通过一定的变换实现。这种变换就是复合变换，即由固定坐标系的一系列沿轴平移变换和绕轴旋转变换所组成的。 任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移变换和旋转变换。 例如，为了完成所要求的变换，可以先绕x轴旋转，再沿x、y和

29、z轴平移，最后再绕z轴旋转。但一般情况下这种变换顺序很重要，如果颠倒两个依次变换的顺序，结果将会有所不同。 为探讨如何处理复合变换，假定运动坐标系b相对于固定坐标系o依次进行了下面3个变换： 1）首先绕x轴旋转角； 2）然后分别沿x、y和z轴平移dx、dy和dz； 3）最后绕y轴旋转角。 简称：转-移-转,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,按转-移-转运动顺序，写出运动方程： 1）转,2）移,3）转,4）运动合成（左乘原则）,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.4 现运动坐标系中有一点p(1,2,3)T，经历了如下变换，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。 1

30、）首先绕x轴旋转90角； 2）然后分别沿x、y和z轴平移1、0和0； 3）最后绕z轴旋转90角 解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,图形解验证：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.5 已知条件一样，但变换顺序发生了以下变动，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。 1）首先绕Z轴旋转90角； 2）然后分别沿x、y和z轴平移1、0和0； 3）最后绕X轴旋转90角 解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,图形解验证：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,从例题（2.4）和例题（2.5）不难发现，尽管所有的变换完全相同，但由于变换的顺

31、序变了，该点在固定坐标系中的坐标值完全不同，可见坐标变换必须严格按照变换顺序进行，也就是说矩阵的乘法一般情况下不满足交换律。,相对运动坐标系下的变换 前面所有例子是相对固定坐标系而言的，那相对运动坐标系该作如何变换？ 一个原则： 原来的左乘矩阵现在变为右乘就可以了。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.6 在例2-4中，已知条件一样，但变换参照发生了以下变动，求出变换后该点在固定坐标系的坐标。 1）首先绕zb轴旋转90角； 2）然后分别沿xb、yb和zb轴平移1、0和0； 3）最后绕xb轴旋转90角。 解：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,图形解验证：,第

32、二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,坐标逆变换 正如2.2.1节所提及的逆矩阵在机器人坐标变换中有着十分重要的作用。根据方向余弦阵的性质可知，方向余弦阵为一正交阵，其转置矩阵和逆矩阵是相等关系。 如图2-17，假设机器人要在零件P上钻孔，则机器人末端执行器必须向P处移动。一般情况下，机器人的基座是固定的，因此可用固定坐标系o来描述机器人基座，机器人末端执行器用运动坐标系b来描述，待加工零件用另一坐标系p来描述（一般情况下它相对固定坐标系o而言，其位姿也是已知的）。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,坐标逆变换 待加工零件p的位置可通过两条路径来获取：一条是直接通过固

33、定坐标系o到待加工零件坐标系p，正如刚才而言，其在固定坐标系o内的位姿是已知的；另一条是从固定坐标系o变换到末端执行器即运动坐标系b，然后再从运动坐标系b变换到待加工零件坐标系p。因此可写出：,引入逆矩阵：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,2.4 机器人运动学,机器人运动学涉及机器人相对于固定坐标系运动几何学关系的分析和研究，而与产生该运动所需的力或力矩无关。这样，运动学就涉及机器人空间位移作为时间函数的解析说明，特别是机器人末端执行器位置和姿态与关节变量之间的关系。,运动学基本问题： 对于一给定的机器人，已知杆件几何参数和关节角向量，求机器人末端执行器相对参考坐标系的位置和

34、姿态。这类问题称为运动学正问题（直接问题）。 2. 已知机器人杆件的几何参数，给定了机器人末端执行器相对参考坐标系的期望位置和姿态，求机器人各关节角向量，即机器人各关节要如何运动才能达到这个预期的位姿？如能达到，那么机器人有几种不同形态可满足同样的条件？这类问题称为运动学逆问题（解臂形问题）。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,由于机器人手臂的独立变量是关节变量，但作业通常是用固定坐标系来描述的，所以常常碰到的是第二个问题，即机器人运动学逆问题。1955年Denavit和Hartenbe曾提出了一种采用矩阵代数方法，来描述机器人手臂杆件相对固定参考坐标系的空间几何。这种方法使用

35、4x4齐次变换矩阵来描述两个相邻的机械刚性构件间的空间几何关系，把正向运动学问题简化为寻求等价的4x4齐次变换矩阵，此矩阵把手部坐标系的空间位移与参考坐标系联系起来，并且该矩阵还可用于推导手臂运动的动力学方程。而运动学逆向问题可采用如矩阵代数、迭代或几何方法来解。 为了使问题简单易懂，以两自由度的机器人的手爪为例来说明。图2-18所示为两自由度机器人手部的连杆机构。由于其运动主要由各连杆机构来决定，所以在进行机器人运动学分析时，一般是把驱动器及减速器的元件去除后来分析。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,从几何学的观点来处理这个手指位置与关节变量的关系成为运动学。这里引入向量分

36、别表示末端执行器位置r和关节变量：,末端执行器位置的各分量，按几何学可表示为：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,用向量表示这个关系式，其一般可表示为：,已知机器人的关节变量，求其末端执行器位置r的运动学问题称为正运动学。 如果给定机器人末端执行器位置r，为了达到这个预期的位姿，求机器人的关节变量的运动学问题称为逆运动学。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,位置的正逆运动学方程 要确定一个刚体在空间的位姿，需要在该刚体上固连一个坐标系（因刚体在空间需要按不同期望运动，因此该坐标系一般叫做运动坐标系），然后通过描述该坐标系的原点在固定坐标系的坐标位置（3个自由度）

37、以及该坐标系相对固定坐标系的姿态（3个自由度），总共需要6个自由度或6个信息来完整定义或描述该刚体在固定坐标系的位姿。 同理，如果要确定机器人末端执行器在空间的位姿，也必须在末端执行器上固连一个坐标系来确定末端执行器在空间的位姿，这正是机器人正运动学方程所要完成的任务。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,机器人实现这一过程主要由两步来完成： 1）首先在固定坐标系中首先移动机器人末端执行器到达预定的位置，即先确定位置的正逆运动学方程； 2）机器人末端执行器到达指定位置后，然后调整末端执行器姿态，以适应或满足期望姿态，理论上机器人末端执行器在固定坐标系的位姿与加工目标在固定坐标系的

38、位姿完全一致，即确定姿态的正逆运动学方程。 确定位置的正逆运动学方程需根据工业机器人不同的坐标构型来定，下面就探讨几种构型的情况。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,位置的正逆运动学方程 直角坐标系型,在这种情况下，有3个沿xyz轴的线性运动，这一类型的机器人的所有驱动都是线性的（比如液压油缸或线性动力丝杠），这时机器人末端执行器通过3个线性关节分别沿3个轴的运动来完成。在直角坐标系中，表示机器人末端执行器位置的正运动学变换矩阵为,例2.7 要求固连在直角坐标系型机器人末端执行器上的运动坐标系b的原点定位在固定坐标系上的点p=3,4,5T，试计算运动坐标系b相对固定坐标系o所需

39、要的移动量或各关节变量。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.7 要求固连在直角坐标系型机器人末端执行器上的运动坐标系b的原点定位在固定坐标系上的点p=3,4,5T，试计算运动坐标系b相对固定坐标系o所需要的移动量或各关节变量。 解：写出其正运动学变换矩阵,由此矩阵可得到：,dx=3、dy=4和dz=5,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,位置的正逆运动学方程 圆柱坐标系型,圆柱坐标系包括3个关节变量，分别是两个线性关节平移变量和一个旋转关节变量。其坐标变换顺序为： 1）首先沿固定坐标系的x轴移动dx； 2）然后绕固定坐标系的z轴旋转角， 3）最后沿固定坐标系

40、的z轴移动dz。,这三个坐标变换建立了机器人末端执行器上的运动坐标系到固定坐标系之间的联系关系。由于这三个变换都是相对固定坐标系的坐标轴的，因此由这3个变换所产生的总变换可通过依次左乘每个对应变换矩阵而求得：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.8 假设要将圆柱坐标系型机器人末端执行器上的运动坐标系原点放在3,4,7T，试计算该机器人的三个关节变量。,解：dz=7和方程组,求解此方程组：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,位置的正逆运动学方程 球坐标系型,球坐标系包括3个关节变量，分别是1个线性关节平移变量和2个旋转关节变量。其坐标变换顺序为： 1）首先沿固

41、定坐标系的z轴移动dz； 2）然后绕固定坐标系的y轴旋转角； 3）最后绕固定坐标系的z轴旋转角。,这三个坐标变换建立了机器人末端执行器上的运动坐标系到固定坐标系之间的联系关系。由于这三个变换都是相对固定坐标系的坐标轴的，因此由这3个变换所产生的总变换可通过依次左乘每个对应变换矩阵而求得：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.9 假设要将球坐标系型机器人末端执行器上的运动坐标系原点放在3,4,7T，试计算该机器人的三个关节变量。,解：可得,求解此方程组：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,姿态的正逆运动学方程,假设固连在机器人末端执行器上的运动坐标系在直角坐标

42、系、圆柱坐标系或球坐标系中已经运动到了我们期望的位置上，但它仍然平行于固定坐标系，或者说姿态不满足使用要求。下一步工作正如前面分析的那样，希望在不改变位置的情况下，适当地旋转运动坐标系而使其达到期望的位姿。当然这时只能相对运动坐标系各个轴旋转了，因为假设绕固定坐标系参考轴旋转，那么最先运动到位的位置有可能发生改变。常见的绕运动坐标系的旋转主要有： 1）滚动角、俯仰角、偏航角 2）欧拉角,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,姿态的正逆运动学方程 滚动角、俯仰角、偏航角,空中的战斗机要完成各种攻击任务，必须要参考飞机坐标系姿态实时进行调整改变，而不是参照大地坐标来进行姿态调整。,定义

43、： 1、滚转角（又称Roll，简称R）-绕图示坐标系x轴旋转； 2、偏航角（又称Yaw，简称Y）-绕图示坐标y轴旋转； 3、俯仰角（又称Pitch，简称P）-绕图示坐标Z轴旋转。,现假设按照PRY旋转顺序进行姿态调整，需要右乘所有PRY和其它旋转所产生的与位姿改变有关的矩阵。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,上式仅表示机器人末端执行器相对固定坐标系的姿态变化，不能反应出位置。 该坐标系相对于固定坐标系的最终位姿是由机器人末端执行器在固定坐标系的位置和机器人末端执行器相对固定坐标系的姿态组成。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,根据机器人末端执行器采取的坐标系型

44、式不同，其最终位姿也有所不同，具体有以下三种：,1）根据直角坐标系和PRY来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,2）根据圆柱坐标系和PRY来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,3）根据球坐标系和PRY来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,一般情况下，机器人末端执行器相对固定坐标系的位姿矩阵是已知的，而PRY角的值是未知的，也是需要求的关节变量。 现以直角坐标系和PRY组合方式求其逆运动学解。由式（2-17）可很方便写出机器人末端执行

45、器相对固定坐标系的位姿矩阵：,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,上述矩阵为同型矩阵，且相等，那么它们对应的元素也必须相等。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,例2.10 下面给出了一个直角坐标系+PRY型机器人手所期望的最终位姿，试求出所有关节变量。,解：根据式（2-18）和式（2-19）式得,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,姿态的正逆运动学方程 欧拉角,空中的战斗机要完成各种攻击任务，必须要参考飞机坐标系姿态实时进行调整改变，而不是参照大地坐标来进行姿态调整。与PRY角不同，按照以下顺序变换：,1）首先绕图示坐标系z轴旋转角； 2）然后绕图示

46、坐标y轴旋转角； 3）最后绕图示坐标z轴旋转，这样的旋转转序称为欧拉角旋转。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,根据机器人末端执行器采取的坐标系型式不同，其最终位姿也有所不同，具体有以下三种：,1）根据直角坐标系和欧拉角来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,2）根据圆柱坐标系和欧拉角来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,3）根据球坐标系和欧拉角来设计的，那么机器人末端执行器运动坐标系相对固定坐标系的最终位姿矩阵就为：,其坐标位姿矩阵的逆运动学解同PRY解法一样，此处不再探讨。,第二章 工业机器人的数学基

47、础,工业机器人技术基础,D-H法与正逆运动学方程,D-H模型表示了对机器人连杆和关节进行建模的一种非常简单的方法，可用于任何机器人构型，而不管机器人的结构顺序和复杂程度如何。它也可用于表示已经讨论过的在任何坐标中的变换，例如直角坐标、圆柱坐标、球坐标、欧拉角坐标及RPY坐标等。另外，它也可以用于表示全旋转的链式机器人、SCARA机器人或任何可能的关节和连杆组合。尽管采用前面的方法对机器人直接建模会更快、更直接，但D-H表示法有其附加的好处，使用它已经开发了许多技术，例如，雅克比矩阵的计算和力分析等。 假设机器人由一系列关节和连杆组成。这些关节可能是滑动（线性）的或旋转（转动）的，它们可以按任意的顺序放置并处于任意的平面。连杆也可以是任意的长度（包括零），它可能被弯曲或扭曲，也可能位于任意平面上。所以任何一组关节和连杆都可以构成一个我们想要建模和表示的机器人。,第二章 工业机器人的数学基础,工业机器人技术基础,D-H法定义：,关节：第1个关节为n关节；第2个关节为关节n+1；第3个关节为关节n+2；在这些关节的前后可能还有其他关节。 连杆：位于关节n与关节n+1之间的杆件为连杆n；位于关节n+1与关节n+2之间的杆件为连杆n+1；依次类推。,坐标系： 1）如果