人教版高三数学总复习第四章单元质量检测

1、第四章单元质量检测第四章单元质量检测 时间：90 分钟分值：100 分 一、选择题(每小题 4 分，共 40 分) 1复数 z3 (i 为虚数单位)的模为() 1 i A2 B3 C. D410 解析：由 z3 3 3i. 1 i i i2 所以|z|.故选 C.321210 答案：C 2已知平面向量 a(2，m)，b(1，)，且(ab)b，则实3 数 m 的值为() A2 B233 C4 D633 解析 ： 因为(ab)b，所以(ab)babb20，即2m3 40，解得 m2 . 3 答案：B 3计算 2() ( 1 2 3 2 i)(1 2 3 2 i) A. i B. i 1 8 3 3

2、 8 1 8 3 3 8 C. i D. i 1 2 3 2 1 2 3 2 解析：原式 ( 1 2 3 2 i)(1 42 1 2 3 2 i3 4i 2 ) 2 ( 1 2 3 2 i)( 3 2 i1 2) ( 1 2 3 2 i) i. ( 1 4 3 2 i3 4i 2 ) 1 2 3 2 答案：D 4已知平面向量 a(1，2)，b(2,1)，c(4，2)，则下列 结论中错误的是() A向量 c 与向量 b 共线 B若 c1a2b(1，2R)，则 10，22 C对同一平面内任意向量 d，都存在实数 k1，k2，使得 dk1b k2c D向量 a 在向量 b 方向上的投影为 0 解析：

3、选项 A 正确，c2b，所以向量 c 与向量 b 共线；选项 B 正确，由 c1a2b 可知，Error!解得Error!选项 C 错误，向量 c 与 向量 b 共线，所以由平面向量基本定理可知，它们的线性组合不能表 示出同一平面内的任意向量；选项 D 正确，ab0，所以 ab，夹角 是 90，向量 a 在向量 b 方向上的投影为|a|cos900. 答案：C 5 P 是ABC 内的一点， ()， 则ABC 的面积与 AP 1 3 AB AC ABP 的面积之比为() A3 B6 C2 D.3 2 解析： 设 D 是 BC 的中点，则2， AB AC AD 由题意，得， AP 2 3AD 所以

4、 D 在 AP 上，且 P 是ABC 的重心 故 3. S ABC S ABP 3 1 答案：A 6设 i 是虚数单位，若复数为实数，则实数 a 为() 1i 2ai A2B2 C D. 1 2 1 2 解析：由于，依题意知 a2 1i 2ai 1i2ai 2ai2ai 2aa2i 4a2 0，则 a2. 答案：A 7平面上有四个互异点 A，B，C，D，已知(2)( DB DC DA AB )0，则ABC 的形状是() AC A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D无法确定 解析：由(2)()0， DB DC DA AB AC 得()()()0， DB DA DC DA AB AC 所

5、以()()0. AB AC AB AC 所以|2|20，|， AB AC AB AC 故ABC 是等腰三角形 答案：B 8 已知正方形 ABCD(字母顺序是 ABCD)的边长为 1， 点 E 是 AB 边上的动点(可以与 A 或 B 重合)，则的最大值是() DE CD A1 B.1 2 C0 D1 解析： 建立直角坐标系如图所示，设 E(x,0)，x0,1，则 D(0,1)， C(1,1)，B(1,0)，所以(x，1)(1,0)x，当 x0 时取得 DE CD 最大值 0. 答案：C 9如图所示，P 为AOB 所在平面上一点，向量a， OA OB b，且 P 在线段 AB 的垂直平分线上，向

6、量c.若|a|3，|b|2，则 OP c(ab)的值为() A5 B3 C. D. 5 2 3 2 解析：设 AB 的中点为 D，连接 OD，则 c，所以 OP OD DP c(ab)() (ab)(ab) OD DP BA OD BA DP BA OD BA 1 2 (|a|2|b|2) . 1 2 5 2 答案：C 10已知 O 为平面内一点，A，B，C 是平面内不共线的三点，且 ()，(0，)，则 P 点的轨 OP 1 2 OB OC ( AB |AB |cosB AC |AC |cosC) 迹一定过ABC 的() A内心 B垂心 C重心 D外心 解析：设 D 点为ABC 中 BC 边的

7、中点，则已知等式可变为 ， OP OD ( AB |AB |cosB AC |AC |cosC) ， DP ( AB |AB |cosB AC |AC |cosC) 等式两边点乘向量得 BC BC DP ( AB BC |AB |cosB AC BC |AC |cosC) (|)0， BC BC 所以.故 P 点的轨迹一定通过ABC 的外心 BC DP 答案：D 二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 11计算 2 014_. ( 1i 1i) 解析：原式 2 0142 014 1i2 1i1i ( 12ii2 2 ) (i)2 014i2 014(i4)503i21. 答案：1 12在

8、OA 为边，OB 为对角线的矩形中，(3,1)，( OA OB 2，k)，则实数 k_. 解析：(2，k)(3,1)(1，k1)，因为 OA AB OB OA AB，所以0，即3k10，解得 k4. OA AB 答案：4 13已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)， 动点 P(x，y)满足不等式 01,01，则 z OP OM OP ON OQ OP 的最大值为_ 解析：(x，y)，(1,1)，(0,1)， OP OM ON xy，y， OP OM OP ON 即在Error!条件下，求 z2x3y 的最大值，由线性规划知识， 当 x0，y1 时，zma

9、x3. 答案：3 14已知点 A(3,0)，B(0,3)，C(cos，sin)，若1，则 AC BC 的值为_ 1tan 2sin2sin2 解析：由题意，得(cos3，sin)，(cos，sin3)， AC BC 所以cos(cos3)sin(sin3)1，即 sincos . AC BC 2 3 两边平方，得 12sincos ， 4 9 所以 2sincos . 5 9 原式 . 1 sin cos 2sinsincos 1 2sincos 9 5 答案：9 5 三、解答题(共 4 小题，共 44 分，解答应写出必要的文字说明、 计算过程或证明步骤) 15(10 分)已知复数 zbi(b

10、R)，是实数，i 是虚数单位 z2 1i (1)若复数 z. (2)若复数(mz)2所表示的点在第一象限，求实数 m 的取值范 围 解：(1)因为 zbi(bR)， 所以 z2 1i bi2 1i bi21i 1i1i i. b2b2i 2 b2 2 b2 2 又因为是实数，所以0，所以 b2，即 z2i. z2 1i b2 2 (2)因为 z2i，mR，所以(mz)2(m2i)2m24mi4i2 (m24)4mi， 又因为复数(mz)2所表示的点在第一象限， 所以Error! 解得 m2，即 m(，2) 16(10 分)已知向量 m(cosx，sinx)，n. ( 2 2 ， 2 2 ) (

11、1)若 mn，求|mn|. (2)设 f(x)mn，若 f() ，求 f的值 3 5 ( 23 4 ) 解：(1)由 mn，则 mn0，故|mn|2m2n22mn11 2，所以|mn| . 2 (2)f(x)mncosxsinxsin， 2 2 2 2 ( x 4) 由 f() ，故 cossin. 3 5 3 2 5 平方后得，sin2cos22cossin，所以 sin2，f 18 25 7 25 sin(2)sin2. ( 23 4 ) 7 25 17(12 分)已知点 G 是ABO 的重心，M 是 AB 边的中点 (1)求； GA GB GO (2)若 PQ 过ABO 的重心 G，且a

12、，b，ma， OA OB OP OQ nb，求证： 3. 1 m 1 n 解：(1)2，又 2， GA GB GM GM GO 0. GA GB GO GO GO (2)证明：显然 (ab) OM 1 2 因为 G 是ABO 的重心，所以 (ab) OG 2 3OM 1 3 由 P，G，Q 三点共线，得， PG GQ 所以，有且只有一个实数 ，使. PG GQ 而 (ab)maa b， PG OG OP 1 3 ( 1 3m) 1 3 nb (ab) ab， GQ OQ OG 1 3 1 3 ( n1 3) 所以a b. ( 1 3m) 1 3 1 3a(n 1 3)b 又因为 a，b 不共线，所以Error! 消去 ，整理得 3mnmn，故 3. 1 m 1 n 18(12 分)已知 m(2cosx2sinx,1)，n(cosx，y)，且 m3 n. (1)将 y 表示为 x 的函数 f(x)，并求 f(x)的单调增区间 (2)已知 a，b，c 分别为ABC 的三个内角A，B，C 对应的 边长，若 f3，且 a2，bc4，求ABC 的面积 ( A 2 ) 解：(1)由 mn 得 mn0， 所以 2cos2x2sinxcosxy0，3 即 y2cos2x2sinxcosxcos2xsin2x133 2sin1， ( 2x 6) 由 2k2x 2k，k