高考数学复习专题练习第9讲 实际问题的函数建模

1、第 9 讲 实际问题的函数建模 一、选择题 1 某电信公司推出两种手机收费方式 ： A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元一个月的本地网内打出电 话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图， 当 打出电话 150 分钟时， 这两种方式电话费相差 () A10 元 B20 元 C30 元 D.元 40 3 解析设 A 种方式对应的函数解析式为 sk1t20， B 种方式对应的函数解析 式为 sk2t， 当 t100 时，100k120100k2，k2k1 ， 1 5 t150 时，150k2150k120150 2010. 1 5 答案A 2甲、乙两人沿同一方向去地，途

2、中都使用两种不同的速度甲B 1212 ,()v v vv 一半路程使用速度，另一半路程使用速度，乙一半时间使用速度，另 1 v 2 v 1 v 一半时间使用速度，甲、乙两人从地到地的路程与时间的函数图象及 2 vAB 关系，有下面图中个不同的图示分析（其中横轴 表示时间，纵轴表示路4tS 程） ，其中正确的图示分析为（ ） A(1) B(3) C(1)或(4) D. (1)或(2) （1） （2） （3） （4） 解析根据题目描述分析图像可知 D 正确 t2 t1 C B A t S t2t1 C B A S tA B C t1t2 S t t2t1 C B A S t 答案D 3某公司在甲、

3、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L15.06x 0.15x2和 L22x，其中 x 为销售量(单位：辆)若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得最大利润为 () A45.606 万元 B45.6 万元 C45.56 万元 D45.51 万元 解析依题意可设甲销售 x 辆，则乙销售(15x)辆，总利润 SL1L2，则总 利润 S5.06x0.15x22(15x)0.15x23.06x300.15(x10.2)2 0.1510.2230(x0)，当 x10 时，Smax45.6(万元) 答案B 4某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据 市场分析每辆客车营运的总利润 y(

4、单位：10 万元)与 营运年数 x(xN*)为二次函数关系(如图所示)， 则每辆 客车营运多少年时， 其营运的年平均利润最大 () A3 B4 C5 D6 解析由题图可得营运总利润 y(x6)211， 则营运的年平均利润 x y x 12， 25 x xN*， 2 122， y x x25 x 当且仅当 x，即 x5 时取“” 25 x x5 时营运的年平均利润最大 答案C 5某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流， 现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面 积最大时，矩形两边长x、y应为() Ax15，y12 Bx12，y15 Cx14，

5、y10 Dx10，y14 解析由三角形相似得， 24y 248 x 20 得x (24y)， 5 4 Sxy (y12)2180， 5 4 当y12 时，S有最大值，此时x15. 答案A 6一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图 案，如图所示， 设小矩形的长、宽分别为 x，y 剪去部分的面积 为 20，若 2x10，记 yf(x)，则 yf(x)的图象是 () 解析由题意得 2xy20，即 y，当 x2 时，y5，当 x10 时，y1 10 x 时，排除 C，D，又 2x10，排除 B. 答案A 二、填空题 7为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理

6、 如下： 明文密文密文明文 加密 发送 解密 已知加密为 yax2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文 为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则 原发的明文是_ 解析依题意 yax2 中，当 x3 时，y6，故 6a32，解得 a2.所以 加密为 y2x2，因此，当 y14 时，由 142x2，解得 x4. 答案4 8某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为 每件 100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得 最大利润，销售价应定为每件_元 解析 设售价提高x元，

7、则依题意 y(1 0005x)(20 x) 5x2900 x20 000 5(x90)260 500. 故当x90 时，ymax60 500，此时售价为每件 190 元 答案 190 元 9现有含盐 7%的食盐水为 200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐 5 %以上且 在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水xg，则x的取值 范围是_ 解析根据已知条件：设y，令 5%y6%，即(200 x)5% 200 7%x4% 200 x 2007%x4%(200 x)6%，解得 100 x400. 答案(100,400) 10某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步

8、里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收 费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附 加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了 _km. 解析由已知条件 yError! 由 y22.6 解得 x9. 答案9 三、解答题 11为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其 中所使用的 “如意卡” 与 “便民卡” 在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分) 与通话费 y(元)的关系分别如图、所示 (1)分别求出通话费 y1

9、，y2与通话时间 x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？ 解(1)由图象可设 y1k1x29，y2k2x，把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1，y2得 k1 ，k2 . 1 5 1 2 y1 x29，y2 x. 1 5 1 2 (2)令 y1y2，即 x29 x，则 x96 . 1 5 1 2 2 3 当 x96 时，y1y2，两种卡收费一致； 2 3 当 xy2，即使用“便民卡”便宜； 2 3 当 x96 时，y10)， 剩下的员工平均每人每年 (a 3x 500) 创造的利润可以提高 0.2x%. (1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低

10、于原来 1 000 名员工创造的年总利 润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？ (2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造 的年总利润，则 a 的取值范围是多少？ 解(1)由题意得：10(1 000 x)(10.2x%)101 000， 即 x2500 x0，又 x0，所以 00，所以 0a5，即 a 的取值范围为(0,5 13.某市出租车的计价标准是：3 km 以内(含 3 km)10 元；超过 3 km 但不超过 18 km 的部分 1 元/km；超出 18 km 的部分 2 元/km. (1)如果某人乘车行驶了 20 km，他要付多少车费？某人乘车行驶了

11、x km，他 要付多少车费？ (2)如果某人付了 22 元的车费，他乘车行驶了多远？ 解 (1)乘车行驶了 20 km，付费分三部分，前 3 km 付费 10(元)，3 km 到 18 km 付费 (183)115(元)，18 km 到 20 km 付费(2018)24(元)，总付费 10 15429(元) 设付车费y元，当 0x3 时，车费y10； 当 318 时，车费y252(x18)2x11. (2)付出 22 元的车费，说明此人乘车行驶的路程大于 3 km，且小于 18 km， 前 3 km 付费 10 元，余下的 12 元乘车行驶了 12 km， 故此人乘车行驶了 15 km. 14

12、某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运 动场如图，运动场是由一个矩形 ABCD 和分 别以 AD、BC 为直径的两个半圆组成跑道是 一条宽 8 米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其 他地方均铺设草皮已知塑胶跑道每平方米造价为 150 元，草皮每平方米造 价为 30 元 (1)设半圆的半径 OAr(米)，设建立塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r)； (2)由于条件限制 r30,40，问当 r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为 多少？(精确到元) 解(1)塑胶跑道面积 Sr2(r8)282 10 000r2 2r 8r64.r210 000，0r. 80 000 r 100 (2)设运动场的造价为 y 元， y15030Error! ( 80