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数学 破题 36 收藏

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数学破题36计第8计 小姐开门 何等轻松计名释义有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗.后面传来一位小姐轻轻的声音：“先生别推，请向后拉！”大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问：“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢？”小姐答：“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了！”数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.典例示范【例1】 求证：抛物线没有渐近线.【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线？人们的解释是与曲线可以无限接近却又没有公共点的直线.抛物线是否有这样的直线？我们无法直接给予证明.怎么办？“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果？【证明】 不妨设抛物线方程为y2=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, x=, 代入直线方程，化简得：ky2-2py+2pb=0. 可以认为：曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程有实根y0, 那么，y0,或, 方程化为：2pby2-2py+k=0. 方程应有唯一的零根, y=0代入得：k=0.于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线有唯一公共点(), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了：抛物线不可能有渐近线.【例2】 设A、B、C是平面上的任意三个整点（即坐标都是整数的点），求证：ABC不是正三角形.【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办？正难反做！【解答】 假定ABC为正三角形，且A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3)均为整点，不妨设x2x1, kAB=, 直线AB的方程为：即x(y2-y1)-y(x2-x1)+x2y1-x1y2=0. 点C (x3, y3)到AB的距离.但是|AB|=SABC = (x3y2-x2y3)+(x2y1-x1y2)+(x1y3-x3y1).即SABC为有理数.另一方面，SABC = |AB|0, SABC为无理数. 与矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形.【例3】 设f (x)=x2+a1x+a2为实系数二次函数,证明：| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于【分析】 三数中至少有一个不小于的情况有七种，而三数中“都小于”的情况只有一种，可见“正面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路.【解答】 假定同时有：| f (1)|、| f (2)|、| f (3)|, 那么：+: -114a1+2a2-9 2: -94a1+2a2-7 与矛盾，从而结论成立.【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境；二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手.遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路.一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.对应训练1.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y2=x的某弦.2.已知、(0, ), 且sin(+)=2sin.求证：bc0, 且a、b、c成等差数列，试证明：不能组成等差数列.4.求证：抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点.参考答案1正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补集，设弦两端点为A(x1, y1), B(x2, y2), 那么:设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则kAB=, 设AB之中点为M(x0, y0), y1+y2=2y0, y0=, 又由y0-1= k(x0-1),得x0=, 而M在抛物线内部.y0, -2x,在(0, )内y=sinx为增函数，必sinsin0, 由条件：sin(cos-2) +cossin=0. cos+cos2，这是不可能的.故不能成立，必有bc0矛盾.不能组成等差数列.4.假定抛物线y=上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a).kAB= -1, 知ab. 有：-：b-a =(a+b) (a-b). ab