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数学 破题 36 收藏

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数学破题36计第29计 向量开门 数形与共计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.典例示范【例1】 ,为锐角，且sin-sin=,cos-cos=，求tan(-)之值.【解答】 如图，设A(cos,sin),B(cos,sin)为单位圆上两点，由条件知：0.那么：=（cos- cos,sin- sin）=.|=，|=|=1. 例1题解图OAB中,由余弦定理：cos(-)= cos (-) =.sin(-)=,tan(-)=.【点评】 如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例2】 设a,b,c,dR，证明：ac+bd【解答】 设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|n|=mn=|m|ncos（m,n）|m|n|. ac+bd.【点评】 难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60，则对角线AC1之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC1与平面ABCD所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60的菱形吗？利用向量岂不更为省事?向量的数量积公式可以保驾护航.对！走向量法解题的道路.【解答】 如图所示，=1+1+1+2(cos60+ cos60+ cos60)=6|=. 例2题解图【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|2=的运用奇妙.注意：与所成角等于与所成角，是60而不是120.对应训练1如图,在棱长为a的正方体ABCDABCD中，E、F分别是AB、AC上的动点，满足AE=BF.()求证：；()当三棱锥BBEF的体积取得最大值时，求二面角BEFB的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图2已知a,bR+，且ab，求证：(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3在双曲线xy=1上任取不同三点A,B,C,证明ABC的垂心也在该双曲线上.参考答案1.(1)如图，以B为原点，直线BC,BA,BB分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，并设=x,则有:A(0,a,a),C(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，.(2)VBBEF=SEEF|=(a-x)xa=a(a-x)xa，当且仅当a-x=a，即x=时,(VBBEF)max =，此时E、F分别为AB,BC的中点,必EFBD.设垂足为M，连BM,BB平面ABCD, 第1题图由三垂线定理知BMEF,BMB是二面角BEFB的平面角,设为,|= tan=.即=arctan2，则二面角BEFB的大小为arctan2.2设m=(a,b)，n=(a2,b2), mn|m|n|.a3+b3，即是(a3+b3)2(a2+b2)(a4+b4).3如图,设A(x1,)，B(x2,),C(x3，)，ABC的垂心为H(x0，y0),则, 第3题解图,(x0-x3)(x2-x1)+(y0-.x1x2，x0-x3.x