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数学
破题
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数学破题36计第34计 参数开门 宾主谦恭计名释义参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.典例示范【例1】 P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析】 四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.【解答】 如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQMN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.【插语】 题设中没有这个k，因此是“无中生有”式的参数.我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ|= f1(k)，还能表示|MN|= f2(k). 例1题解图【续解】 又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则x1=，从而PQ2(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 亦即|PQ|=.【插语】 无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程.【续解】 ()当k0时，MN的斜率为-，同上可推得，MN=,故四边形S|PQ|MN|=.令u=k2+，得S=.因为u=k2+2，当k=1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以S2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)0当a-1，1时恒成立.令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只须(-,-1)(3,+)即为所求.【例3】 求函数y=的最大值与最小值.【解答一】 设tan=t，则y=即t2(y-3)-2t+3y-3=0 t=tanR, 关于t的方程必有实数根, = 4-43(y-3)(y-1)0.即3y2-12y+80，解得：2-y2+.即ymax =2+，ymin =2-.【解答二】 原式变形：sin x-y cos x=2y-3，sin (x+)=2y-3. |sin (x+)|1，|2y-3|.平方化简得：3y2-12y+80.(下略)【点评】 本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.【例4】 若cos2+2m sin-2m-20恒成立，试求实数m的取值范围.【解答】 反客为主，不看成关于sin的二次式，而看成关于m的一次式.原不等式即：2m(sin-1)1+sin2,如sin=1，则01恒成立，此时mR.如sin1，sin-1,1，只能sin-1,1)，于是sin-12- (1-sin)+2.当且仅当1- sin=，即sin=1-时，=2,=2-2.为使2m恒成立,只需2m2-2，m1-.综合得：所求m的取值范围为：m(1-，+).【例5】 已知动点P为双曲线=1的两个焦点，F1，F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若已知D(0,3)，M、N在动点P的轨迹上，且=，求实数的取值范围.【思考】 (1)动点的轨迹为椭圆，当P在椭圆上时，由cosF1PF2=0，且r1r2=a2，从而cosF1PF2-1=1-,当且仅当r1=r2，即P为短轴端点时,1-=，a2=9，c2=5，b2=4.所求动点P的轨迹方程为：=1.(2)由(1)知点D(0,3)在椭圆外，设M(m，s)，N(n，t)在椭圆上.=，即(m，s-3)=(n，t-3), 消去n2得：化简得：(13-5)(-1)=6t(-1)如=1，则=，M，N重合于一点，且为椭圆与直线DM的切点.如1，有：t=，|t|2，-22，解得，5.【点评】 设参、消参及参数的讨论，历来是高考的重点和难点之一，特别当参数较多时，往往感到不得要领或无从下手，对这类问题的基本对策是:当参数多于两个时，应逐渐消去非主要的参数，最终得到两个互相依存的参数，最后或通过均值不等式，或通过解一般不等式，或通过三角函数等数学手段去确定所求参数的范围.【小结】 什么样的问题适合“反客为主”？如果问题本身并不繁难，大可不必画蛇添足，故弄玄虚.如果问题本身虽然繁难，但题型单一，本来就无主次之分，也就无从反客为主.所以，适合“反客为主”的问题，一定是正面比较繁难，而交换主突位置（例如含参变量的方程或函数）则相对容易破解问题.对应训练1.求使A=为整数的一切实数x.2.已知方程组同解，求m、n的值.3.解关于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.4.已知正项数列an中，a1=1，且Sn=，求该数列的通项.5.解方程x3+(1+)x2-2=0.参考答案1.反客为主，让x为A服务.A-1= 当AZ时，亦有A-1Z.若x+1=0，则A=1Z(x= -1).若x+10，有：A-1=Z.这有两种可能.(1)=1. x2-4x+2=0，x=2；或x2-2x+4=0，无实数解，舍去.(2)是分子1的真分数. 令x2-3x+3=1，得x=1或2.故所求实数为x=-1，1，2，2.相应的整数为A=1，3，4，2.2.设两方程组的相同解为(x0，y0).由代入.3.反客为主，原方程改写为关于a的一元二次方程：a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0. a-(x2-3x-1)2 =(x-1)2a=(x2-3x-1)(x-1)有x2-2x-2-a=0 或x2-4x-a=0 由：（x-1）2 = a+3.当a-3时，x=1.由：(x-2)2=a+4.当a-4时，x=2. 故a-4时，原方程无实根；a-4,-3)时原方程有两解：x=2；a-3，+)时，原方程有四解：x=1，x=2.4.反客为主，先求Sn再求an，2Sn=(S n - Sn-1)+，得：2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.S2n - S2n
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