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数学 破题 36 收藏

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数学破题36计第24计 杠杆开门 以轻拨重计名释义派大力士扛千斤鼎，靠的是力；用四两砣拨千斤鼎用的是智.杠杆原理，以轻拨重，要考虑两个因素：一是支力；二是支点.支力，从解题人的学科知识中寻找；支点，从解题人的思想方法中寻找.其实，智的体现，集中于支点的寻找，找得越巧越省力.支点中的点在哪里，本书开场就是“点到成功”，可以去问问“芝麻”.数学中的好点多着呢！重合点，对称点，极限点，中心点，定比分点，要有尽有.关键是，你面临的那个具体问题，你看中了哪个亮点！典例示范【例1】 正四面体的高线长为4，求其外接球的体积.【分析】 说曹操，曹操就到.刚刚拿出来杠杆，要“扛”的东西就来了.线段AB的重心在其中点M点.如果A，B处各放1个质点，则其点M会聚了2个质点.正三角形ABC的重心在它的中线CM上，C点放1个质点，中点M处有2个质点，故重心G会聚了3个质点，按杠杆原理，CG=2GM.至于正四面体中心在哪里？这还用得算吗？【解答】 设正四面体的顶点为V，底面中心为G，四面体中心为O. 由杠杆原理，O在GV的第1个四等分点上，即VO=3OG.因此，正四面体的外半径R=h=3.故正四面体体积为R3=36.【点评】 如果派大力士去解此题，他将是：先解2个直角三角形求得“斜高”；用列方程求外半径.精力过剩者，这当然是一种乐趣.【例2】 直线l左移3个单位，再上移1个单位时，恰回到原来的位置，这直线的斜率是 （ ）A. B.-3 C. D.3【思考】 本题的破题之口在哪儿呢?取特殊点.将支点选在原点O（0，0）左移3个单位，上移1个单位得M（-3，1）.于是k+l=kOM=.选A.【点评】 两点确定一条直线，而斜率相等的一切不同直线都平行，这就是本题解法的依据，或“道理”.试问：什么样的直线平行移动后，可以不经过原点呢？既如此，取特殊点原点，以达到杠杆开门，以轻拨重之目的,即是最实惠的选择.【例3】 （04上海卷）若函数f (x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到，则f (x)= ( )A.10-x-1 B.10x-1 C.1-10-x D.1-10x【解答】 本题的杠杆在哪儿?取特殊点.在y=lg(x+1)的图象上取一点A（9，1），将OA绕原点逆时针旋转90得B（-1，9），代入各选项，仅A适合，选A.【点评】 函数的图象都是点的集合，以点的旋转取代图形的旋转，已经够特殊的了，而在无穷无尽的点中，敏锐的找到A（9，1），（经过旋转则得B（-1，9）这样绝妙的特征点，从而轻而易举地找出正确的答案，这难道不痛快淋漓的吗？【例4】 如图（1）所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是 （ ） 例4题图A. B.5 C.6 D. 【思考】 用特殊图形.如图（2）所示，使ED平面ABCD，且使ED=2.连AF、DF.则EF面ADE.VFADE=EFSADE=32=.VFABCD=DESABCD=232=6.V多面体=+6=.选D.【点评】 本题正是1999年难倒大批考生的全国高考题.多数考生感到难的原因是直接对原图进行割补，因而计算繁杂.其实，在不影响题设这个大前提的条件下，让图形特殊、再特殊，使之能用最简单的方式求其体积，你还要讲道理吗？君不见：等底等高的一切锥体等积，历经了几千年考验的祖暅原理，难道还不算经典道理吗？ 对应训练1.动点A在双曲线=1上，B、C为双曲线的左、右焦点，ABC中A、B、C的对边a,b,c满足a=10，c-b=6，则tancot的值是 （ ）A. B. C. D.12.已知0xya1，则有 （ ）A.log a(xy)0 B.0log a(xy)1 C.1log a(xy)23.设an是公比为a,首项为b的等比数列，Sn是前n项和，对任意的nN+，点（Sn，Sn+1） ( )A.在直线y=ax-b上 B.在直线y=bx+a上C.在直线y=bx-a上 D.在直线y=ax+b上4.函数y=x+sin |x|,x-,的大致图像是 （ ） 第4题图参考答案1.A 取特殊图形.BC=10双曲线焦点为B（-5,0）,C(5,0)c-b=62m=6,m=3,n=4，双曲线方程为：=1,离心率e=.取特殊位置ACBC，则有A,AC=,从而AB=,cos B=,sin B=，而C90. 第1题解图tan cot =cot 45=.2.D 取特殊值.x=,y=,a=,满足0xya1.则log a(xy)=log=5.否定A、B、C.3.D 取特殊值.取a=2,b=1,则Sn=2n-1.各选项依次为：A.y=