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数学 破题 36 收藏

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数学破题36计第10计 聋子开门 慧眼识钟计名释义一群人到庙里上香，其中有一个聋子，还有一个小孩.上香完毕，发现小孩不见了.半天找不到影子后，大家来“问”这聋子.聋子把手一指，发现小孩藏在大钟底下，而且还在用手拍钟.大家奇怪，连我们都没有听见小孩拍钟的声音，聋子怎么听着了呢？其实，大伙把事情想错了，聋子哪里听到了钟声，只是凭着他的亮眼，发现大钟底下是好藏小孩的地方.聋子的直觉感往往超过常人.数学家黎曼是个聋子，据说，他所以能创立他的黎曼几何，主要受益于他的超人的直觉看图.为了增强直觉思维，建议大家在解数学题时，不妨装装聋子，此时，难题的入口处，可能闪出耀眼的灯光.典例示范【例1】 若(1-2x)2008 = a0+a1x+a2x2+ax2008(xR), 则(a0+a1)+(a0+a2)+(a0+a3)+(a0+a2008)= (用数字作答)【思考】 显然a0=1, 且当x=1时，a0+a1+a2008=1, 原式=2008a0+a1+a2+a2008=2007+(a0+a1+a2008)=2007+1=2008.【点评】 本例的易错点是：必须将2008a0拆成2007a0+a0,否则若得出2008+1=2009就错了.【例2】 对于定义在R上的函数f (x)，有下述命题：若f (x)是奇函数，则f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称；若对xR, 有f (x+1)= f (x-1), 则f (x)的图象关于直线x=1对称；若函数f (x-1)的图象关于直线x=1对称，则f (x)是偶函数；函数f (1+x)与f (1-x)的图象关于直线x=1对称.其中正确命题的序号为 .【思考】 奇函数的图象关于原点对称，原点右移一单位得（1，0），故f (x-1)的图象关于点A（1，0）对称，正确；f (x)= f(x+1)-1= f (x+2)，只能说明f (x)为周期函数，不对；f (x-1)右移一单位得f (x)直线x=1左移一单位得y轴，故f (x)的图象关于y轴对称，即为偶函数，正确；显然不对，应改为关于y轴对称.例如设f (x)=x, 则f (1+x)=1+x, f (1-x)=1-x,两图象关于y轴对称.【点评】 本例的陷沟是：容易将f (1+x)与f (1-x)误认为f (1+x)=f (1-x)，这是容易鱼目混珠的地方, 而后者才是R上的函数f (x)的图象关于直线x=1对称的充要条件.【例3】 关于函数f (x)=2x-2-x (xR).有下列三个结论：f (x)的值域为R; f (x)是R上的增函数；对任意xR, 都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正确命题的序号是 (注：把你认为正确命题的序号都填上).【解答】 由y(2x)2-y2x-1=0.关于2x的方程中，恒有=y2+40. yR 真.y1=2x, y2=都是R上的增函数，y=y1+y2=2x-2也是R上的增函数，真.f (-x)=2-2x = -(2x-2)=-f (x),当xR时，恒有f (x)+f (-x)=0（即f (x)为R上的奇函数) 真.【点评】 高考试题中的小题，已出现了多项选择的苗头，其基本形式如本例所示，多选题中的正确答案可能都是，也可能不都是，还有可能都不是（这种形式多反映在选择题中，其正确答案为零个）.由于许多考生的思维定势是以为多选题只有“不都是”一种情况，往往难以相信“都是”或“都不是”.这也是这种题型的陷阱所在.正确的对策：不受选项多少的干扰，只要你能证明某项必真则选，否则即不选.本例是“全选”（即“都是”）的题型.对应训练1.设F是椭圆的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi (i=1,2,3,),使|FP1|，|FP2|,|FP3|,组成公差为d的等差数列，则d的取值范围是 .参考答案1.椭圆中：a=, b=, c=1.e =,设Pi的横坐标为xi, 则|FPi|=(7-xi), 其中右准线x=7.|FPn|=|FP1|