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数学 破题 36 收藏

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数学破题36计第35计 符号开门 来意弄懂计名释义数学老师讲“数学语言”,他在黑板上写了这样一句话，其中没有一个汉字：3x+2y+z=100问学生：“这句话的意思是什么？”学生甲说：这是一个故事，马驮粮食的故事：一匹大马驮3袋粮食，中马驮2袋，小马驮1袋，一共驮走了100袋粮食.学生乙说：这是一个方程，三元一次方程，3个未知数x,y,z.这是个不定方程.学生丙说：这是一个问题：第1个数乘3，第2个数乘2，第3个数乘1，其和为100.问这3个数各为多少？老师很高兴：这种用来表示数学语言的“数学文字”，通常称作数学符号.这里的3，2，1，100，+，=等数学文字都是数学符号.其实，这三个学生对“这句话”的理解是有区别的：甲说的是情境，乙说的是形式，丙说的才是数学本意.单从句式上看，方程不是一个陈述句，也不是感叹句，而是疑问句.典例示范【例1】 计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制,采用数字09和字母AF共16个计数符号,这些符号与十进制的数的对应关系如下表:十六进制0123456789ABCDEF十进制0123456789101112131415例如，用十六进制表示：E+D=1B，则AB= ( )A.6E B.72 C.5F D.B0【分析】 本题破门首先是弄懂数学符号A，B,C，D，E，F的意思.依题意，他们是16位进制数中后6个数字.说它们是第10，11，12，15等数字时，则请注意，这是在借用10进制说话.这里11到15，在10进制中都是十位数，而A到F，在16位进制中都是个位数.对于E+D=1B，有人写成E+D=14+13=27=1B.这就混淆了数学符号在两种进制中的意义.这里14，13，1B中的1的意思相同吗？【解答】 我们用符号x(10),y(16)分别表示10进制和16进制中的数，依题意，就是16(10)=10(16) .则有AB=1011(10) =110(10) =616+14(10) =610+E(16)=6E.答案为A.【插语】 这里，解题人的特殊数学语言（10进制数和16进制数）用特别符号（x(10)和y(16)来与读者“约定”，使表达式形式准确而简明.【点评】 高考数学新题型中，往往有新的数学符号出现.由于有新符号,所以一定有对新符号的介绍.这时我们的任务是:把新的“符号语言”和我们已经掌握了的“普通语言”完成互译：（1）把“新符号”译成“普通话”；（2）把迁移后（解答后）的“普通话”译成“新符号”.【例2】 对于任意的两个实数对(a1，b1)和(a2，b2), 规定：（a1，b1)=（a2，b2)，当且仅当a1=a2，b1=b2，运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；运算“”为：（a1，b1)(a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 设p,qR，若（1，2）（p,q)=(5,0)，则(1,2)(p,q)= ( )A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D.(0,-4)【分析】 本题破门首先是弄清符号所表示的运算意义：（1）运算对象是有序数对（a,b),运算结果也是有序数对（a,b)；（2）运算法则则是(翻译）化为普通运算法则进行：a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同样对符号进行类似的分析.于是我们得到如下的解法.【解答】 B 由（1，2）(p,q)=(5，0)得，所以（1，2）(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)，故选B.【插语】 这里的运算、的一种具体形式是复数代数式加法运算和乘法运算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.由此可以看到，命题人在设计新题型时在如何“推陈出新”. 这里的运算法则、设计实际上是把一种具体的（复数）运算法推广到了（有序数对）“一般化”运算.对应训练1.设是R上的一个运算，A是R的非空子集.若对任意a、bA,有abA，则称A对运算封闭.下列数集对加法、减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是 （ ）A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集2.定义集合运算：AB =zz= xy(x+y)，xA，yB，设集合A=0，1，B=2，3，则集合AB的所有元素之和为 ( )A.0 B.6 C.12 D.183.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文（解密）,已知加密规则为：明文a,b,c,d对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为 ( )A.4,6,1,7 B.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.1,6,4,7参考答案1.【分析】 这里“封闭”的定义，是说集合A中的任意两个数经过运算的结果，仍然是集合A中的元素，则称A对运算是封闭的.【解答】 A中121不是自然数，即自然数集不满足条件；B中1 20.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中=2不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C.【点评】 本题中的运算有四个，即加法、减法、乘法和除法（除数不为0），要想这四则运算都封闭，必须经四则运算后的结果，还是所给的数集中的一员.由于是单项选择题，这就需举出反例来说明它的不封闭性.2.【分析】 集合运算AB实际上两个集合中元素的积乘以两个集合中元素的和. 所给集合A中有一个元素0，这使问题简化了，因为0乘以任何数其结果为0.【解答】 D 当x0时，z0，当x1，y2时，z6，当x1，y3时，z12，故所有元素之和为18，选D.【点评】 所给集合就是两个元素，我们可以一一把它们的结果列举出来，因为有0