28.4垂径定理.ppt

1、,28.4 垂径定理,引 入 新 知,如图，在河北赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥-赵州桥,它的桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位),探究一：垂径定理,任意作一条弦AB；过圆心O作 弦AB的垂线,得直径CD交AB于 点E.,问题1：沿着CD所在的直线将圆折叠,哪些线段 重合？哪些弧重合？你得出什么结论?,问题2：图形中的已知是什么?根据你得出的结论，能说出你的证明过程吗?,已知：如图所示,在O中,CD为直径,AB为弦,且CDAB,垂足为E. 求证：AE=BE,证明:如图所示,连接OA,OB.,

2、在OAB中, OA=OB,OEAB,AE=BE,AOE=BOE.,AOC=180-AOE,BOC=180-BOE,AOC=BOC.,垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.,几何语言:,在O中,CD为直径, CDAB,AE=BE,探究二：垂径定理的推论,如图所示,在O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.,【思考】 (1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?,与 (或 与 )相等吗?说明你的理由.,(2)若 = （ 或 = ) ，能判断CD 与AB垂直吗？AE与BE相等吗？说明你的理由。,总结：在O中,设直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.若把CDAB, (或

3、= ) , AE=BE .中的一项作为条件,则可得到另外两项结论.,小试牛刀： 如图所示,AB是O的弦,半径OCAB于点D. (1)若OC=5 cm,OD=3 cm,则AB=- (2)若AB=8 cm,OC=5 cm，则CD=-,8cm,2cm,例题：如图所示,已知CD为O的直径,AB为弦,且ABCD,垂足为E.若ED=2,AB=8,求直径CD的长.,解:如图所示,连接OA.,设O的半径为r.,CD为O的直径, ABCD,AE=BE.,AB=8,AE=BE=4.,在RtOAE中,OA2=OE2+AE2,OE=OD-ED,即r2=(r-2)2+42.解得r=5,从而2r=10.,所以直径CD的长

4、为10.,如图，在河北赵县境内，有一座建于隋代的石拱桥-赵州桥,它的桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出桥拱的半径吗?(结果保留小数点后一位),A,B,C,D,活学活用,解:如图所示,用 表示主桥拱,设 所在圆的圆心为O,半径为R.,过圆心O作OCAB于点D，交 于点C,连接OA.根据垂径定理知D为AB的中点,C为 的中点,CD就是拱高.,由题设可知,AB=37.4 m,CD=7.2 m,所以AD= AB= 37.4=18.7(m),OD=OC-CD=R-7.2(m).,在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2

5、=18.72+(R-7.2)2.解得R27.9(m). 因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.,巩固练习,1.如图所示,AB是O的直径,CD是弦,CDAB于点E, 则下列结论不一定成立的是() A.COE=DOE B.CE=DE C.OE=BE D.,2.某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你请算出大石头的半径（ ） A.40cm B.30cm C.20cm D.50cm,3.如图，O的直径CD过弦EF的中点G，DCF=20， 则EOD等于（） A10 B20 C40 D80,4在半径为10的圆O中，弦ABCD，AB=12，CD=16，则这两条平行弦AB 和CD间的距离为（ ）,C,D,C,2或14,2.（2017广安）如图，AB是O的直径，且经过弦CD的中点H，已知cosCDB=4：5，BD=5，则OH的长度为（） A. 2:5 B. 5:6 C. 1 D. 7:6,链接中考,1.如图所示,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上一动点, 则线段OP的长的取值范围是（