人教A高中数学选修11同课异构课件34生活中的优化问题举例探究导学课型

1、3.4 生活中的优化问题举例,类型一:面积、体(容)积有关的最值问题 【典例1】(1)在周长为l的矩形中,面积的最大值为_. (2)(2015广州高二检测)有一块边长为a的正方形铁板,现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形,做成一个长方体形的无盖容器.为使其容积最大,截下的小正方形边长应为多少?,【解题指南】(1)先设出一边长为x,依据题设条件写出另一条边的长,求出矩形面积,利用导数求其最值. (2)先设自变量x,依据长方体的体积公式建立体积关于x的函数,利用导数求出体积的最大值,最后得出结论.,【解析】(1)设一边长为x，则另一边长为 其面积 由S(x) l2x0得x ，当00， 当 x

2、时,S(x)0，所以当x= 时，S(x)最大，最大为 . 答案：,(2)设截下的小正方形边长为x,容器容积为V(x),则做成的长方体形无盖容器底面边长为a-2x,高为x,V(x)=(a-2x)2x,0x . 即V(x)=4x3-4ax2+a2x,0x . 实际问题归结为求V(x)在区间 上的最大值点.为此,先求V(x)的 极值点.在开区间 内, V(x)=12x2-8ax+a2. 令V(x)=0,得12x2-8ax+a2=0. 解得x1= a,x2= a(舍去).,x1= a在区间 内,且 当00; 当x1x 时,V(x)0. 因此x1是极大值点,且在区间 内,x1是唯一的极值点,所以x= a

3、 是V(x)的最大值点. 即当截下的小正方形边长为 a时,容积最大.,【延伸探究】在典例(1)中,若矩形的面积为S,求其周长的最小值. 【解析】设一边长为x,则另一边长为 ,其周长l(x)=2x+ (x0), l(x)=2- , 由l(x)=2- =0,得x= 或x=- (舍),因为当x(0, )时, l(x)0,所以当x= 时,周长的最 小值为,【规律总结】 1.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,找出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x). (2)求函数的导数f (x),解方程f (x)=0. (3)比较函数在区间端点和极

4、值点的函数值大小,最大(小)者为最大(小)值.,(4)把所得数学结论回归到实际问题中,看是否符合实际情况并下结论. 其基本流程是,2.实际问题中函数定义域确定的方法 (1)根据图形确定定义域,如典例中长方体的长、宽、高都大于零. (2)根据问题的实际意义确定定义域.如人数必须为整数,销售单价大于成本价、销售量大于零等.,【巩固训练】(2015厦门高二检测)请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角

5、三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).,(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值. (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问x应取何值.并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.,【解析】设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm). 由已知得a= x,h= (30-x),0x30. (1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800, 所以当x=15时,S取得最大值.,(2)V=a2h=2 (-x3+30 x2),V=6 x(20-x). 由V=0得x=0(舍)或x=20. 当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0. 所以当

6、x=20时,V取得极大值,也是最大值. 此时 即包装盒的高与底面边长的比值为 .,【补偿训练】已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上,求这个矩形面积最大时的长和宽. 【解析】如图所示,设出AD的长,进而求出AB,表示出面积S,然后利用导数求最值.,设AD=2x(00;当 x2时,S0, 所以,当x= 时,S取得最大值, 即矩形的长和宽分别为 时,矩形的面积最大.,类型二:费用(用料)最省问题 【典例2】(2015重庆高二检测)某企业拟建造如图 所示的容器(不计厚度,长度单位:米).其中容器的中 间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为

7、立 方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平 方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为4千元.设该容 器的总建造费用为y千元.,(1)将y表示成r的函数f(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数f(r)的单调性,并确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用. 【解题指南】(1)总造价等于两个半球合成一个球的表面的造价加上圆柱的侧面的造价. (2)对y=f(r)求导然后研究单调性与最值.,【解析】(1)因为容器的体积为 立方米, 所以 解得 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2, 所以 又 所以定义域为(0, ).,(2)因为

8、 所以令f(r)0,得2r ; 令f(r)0,得0r2, 所以f(r)的单调增区间为 单调减区间为(0,2). 所以当r=2时,该容器的建造费用最小,为96千元,此时:l=,【延伸探究】 1.(改变问法)试求该容器表面积的最小值. 【解析】因为容器的体积为 立方米, 所以 解得 所以圆柱的侧面积为 两端两个半球的表面积之和为4r2,故该容器的表面积 则 令y=0，解得r= 易知当r= 时，表面积取得最小值，ymin=,2.(变换条件)若由于场地的限制，该容器的半径要限制在 范围 内，求容器建造费用的最小值. 【解析】因为y= 所以令y0，得2r ; 令y0，得0r2, 故当r 时，函数单调递减

9、， 故当r= 时，ymin=,【规律总结】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x). (2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. (3)比较函数在区间端点和使f(x)=0成立的点的数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)写出答案.,【巩固训练】(2015宁波高二检测)某单位用2160万元购得一块空 地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房,经测 算,如果将楼房建为x(x10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平

10、均综合费用最少,该楼房应建为多 少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用 = ),【解析】设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元, 则f(x)=(560+48x)+ =560+48x+ (x10,xN*), f(x)=48- 令f(x)=0得x=15, 当x15时,f(x)0;当0x15时,f(x)0, 因此当x=15时,f(x)取最小值,f(15)=2000. 故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为15层.,【补偿训练】某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,

11、问x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m),【解析】依题意，有 所以y 于是框架用料长度为l2x2y l 令l0，即 解得x184 ，x24 8(舍去),当0 x84 时，l0；当84 x4 时，l0， 所以当x84 时，l取得最小值 此时，x84 2.343，y2.828. 即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省,类型三:利润最大问题 【典例3】(2015沈阳高二检测)某商品每件成本9元,售价为30元,每星期卖出432件,如果降低价格,销售量将会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位:元,0 x30)的平方成正比,已知商品单价降低2元时,一星期将多

12、卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数. (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?,【解题指南】(1)先求出比例系数,再依据题设求出多卖的商品数,再根据销售利润=销售收入-成本,列出函数关系式,即可得到答案;(2)根据f(x)的解析式,用导数求最值.,【解析】(1)设商品降价x元,则多卖出的商品件数为kx2,若记商品一 个星期的获利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)= (21-x)(432+kx2). 又由已知条件,24=k22,于是有k=6. 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x0,30.,(2)根据(1)有f

13、(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12), 当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表: 故x=12时,f(x)取到极大值,因为f(0)=9072,f(12)=11664, 所以定价为30-12=18(元)时能使一个星期的商品销售利润最大.,【规律总结】有关利润问题四点注意 (1)利润=收入-成本. (2)正确理解几个概念:成本、利润、单价、销售量、广告费. (3)建立利润函数关系,同时要注意函数的定义域. (4)商品的价格要高于生产商品的成本,否则会亏本.,【巩固训练】某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销, 在一年内,预计年销量Q(万件)与广告费x(

14、万元)之间的函数关系为Q= (x0),已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此 产品需再投入32万元.若每件售价为“年平均每件成本的150%”与“年 平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试将利润y(万元)表示为年广告费x(万元)的函数.如果年广告费投 入100万元,企业是亏损还是盈利? (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?,【解析】(1)由题意,每年产销Q万件,共计成本为(32Q+3)万元.销售 收入是(32Q+3)150%+x50%, 所以年利润y=年收入-年成本-年广告费= (32Q+3-x) 所以,所求的函数关系式为y= (x0).当x=100时,y0, 即当

15、年广告费投入100万元时,企业亏损.,(2)令f(x)=y= (x0)可得 f(x)= 令f(x)=0,则x2+2x-63=0. 所以x=-9(舍去)或x=7. 又x(0,7)时,f(x)0;x(7,+)时,f(x)0, 所以f(x)极大值=f(7)=42. 又因为在(0,+)上只有一个极值点,所以f(x)max=f(x)极大值=f(7)=42. 故当年广告费投入7万元时,企业年利润最大.,【补偿训练】工厂生产某种产品,次品率p与日产量x(万件)间的关系 为 (c为常数,且0c6).已知每生产1件合格产品盈 利3元,每出现1件次品亏损1.5元. (1)将日盈利额y(万元)表示为日产量x(万件)的函数. (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= 100%),【解析】(1)当xc时,