复变函数

复变函数Tag内容描述：<p>1、复变函数与积分变换,第六章共形映射,1.共形映射的概念,2.分式线性映射,3.唯一决定分式线性映射的条件,4.几个初等函数所构成的映射,5.关于共形映射的几个一般性定理,6.Schwarz-Christoffel映射,7.Laolace方程的边值问题,8.第六章小结与习题,第四节几个初等函数所构成的映射,幂函数,1,指数函数,2,小结与思考,4,儒可夫斯基函数,3,一。</p><p>2、复变函数与积分变换,第六章共形映射,1.共形映射的概念,2.分式线性映射,3.唯一决定分式线性映射的条件,4.几个初等函数所构成的映射,5.关于共形映射的几个一般性定理,6.Schwarz-Christoffel映射,7.Laolace方程的边值问题,8.第六章小结与习题,第二节分式线性映射,分式线性映射的概念,1,几种简单的分式线性映射,2,小结与思考,4,分式线性映射的性。</p><p>3、3 泰勒级数 设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D内以 z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点. z0 K z r z 按柯西积分公式, 有 且 z0 K z r z 由解析函数高阶导数公式,上式可写成 在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达. q与积分变量z无关, 且0qR1时, 即| z |R, 因此, 只有在R1|z-z0|R2的圆环域, 原级数才收敛. z0 R1 R2 例如级数 在收敛圆环域内也具有. 例如, 可以证明, 上述级数在收敛 域内其和函数是解析的, 而且可以逐项求积和逐项求导. 幂级数在收敛圆内的许多性质, 级数 现在反问, 在圆。</p><p>4、11 E EC March 24 2011 1 E 9 E Vg E L n E oK E ng 2 E E I 1w Vg 3 EC EC Vg N 4 EC 4 Y5 EC 4 EC Y5 1 E Vg X g 4 g 4 kn oK 4 E 1 E Vg X g 4 g 4 kn oK 4 E 1 E Vg X g 4 g 4 kn oK 4 E 1 E Vg X g 4 g 4 kn oK。</p><p>5、特别说明 以下修改意见中的引号不添入正文 引号中的标点符号 必须添入正文 1 139页 第二段最后一行 在黑体字 像函数 后面 添加 也记作Ffx 否则后面出现多次Ffx 读者将不知所云 2 139页 第二段第一行 在 上的 和 实值连续函数 之间 添加 一类 3 144页 第二行例6 6中 f t 的定义式中有两个 x 1 去掉其中任何一个 4 146页 第一行 均绝对可积 改为 为定义在 上的。</p><p>6、复变函数 解析函数 复数域与复数的表示法 二 复变函数 复变函数 例如 可以利用二元实函数的极限 连续等概念来定义复变函数的极限 连续 因此 复变函数具有与实函数类似的关于极限 连续的性质 设复变函数在内有定义 如果极限 或记为 定义1 三 复变函数的导数 若函数在区域D内的每一点都可导 则称在D内可导 例1 求 为正整数 的导数 解 例2 可导必连续 连续不一定可导 例3 定义2 由定理2即得。</p><p>7、第二章解析函数 1 复变函数的导数定义 2 1解析函数的概念 GO 2 解析函数的概念 一 复变函数的导数 1 导数定义 如果w f z 在区域D内处处可导 则称f z 在区域D内可导 1 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零 2 z x iy z x i y f f z z f z 例1 2 求导公式与法则 常数的导数c a ib 0 zn nzn 1 n是自然数 证明对于复平面上任意一点z0。</p><p>8、1,从上一章可以看出，利用将函数 在其解析的环域 内展开成 Laurent 级数的方法，根据该级数系数的积分表达式可以计算右端的积分, 其中 是该环域内围绕点 的正向简单闭曲线。这里 的内部可能有函数 的有限个甚至无穷多个奇点。本章主要讨论计算函数积分的新方法：利用函数的孤立奇点的留数来计算积分的方法。,2,第五章 留数及其应用,5-1 函数的孤立奇点及其分类5-2 留数和留数定理5-3 留数在定积分计算中的应用5-4 幅角原理及其应用,3,5-1 函数的孤立奇点及其分类,一、函数孤立奇点的概念及其分类二、函数各类孤立奇点的充要条件三、用函数。</p><p>9、1,第二章 解析函数,本章首先介绍连续函数与函数导数的概念，重点研究解析函数，并探讨了解析函数与调和函数的关系，最后介绍几个基本的初等函数.,2,1 复变函数的导数,2 解析函数,3,2-1 复变函数的导数,(1) 导数的定义,4,注意,5,解,6,解,7,8,(2) 可导与连续的关系,函数f (z)在z0 处可导，则在z0 处一定连续, 但函数 f (z) 在z0 处连续不一定在z0 处可导.,9,10,(3) 求导法则,由于复变函数中导数的定义与一元实函数中导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中。</p><p>10、1,5-2 留数和留数定理,一、留数的定义和计算二、 留数定理三*、函数在无穷远点的留数,2,.,的某去心邻域,一 、留数的定义和计算,定义,3,计算留数,4,0,(高阶导数公式),0 (柯西积分定理),5,即,6,计算留数的一般公式,（1）若z0为函数f(z)的可去奇点，则它在点z0的留数为零。,当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 为偶函数，则f(z)在点z0的去心邻域内Laurent级数只含z-z0的偶次幂，其奇次幂系数都为0，从而得知,7,成Laurent级数求,8,规则1o 若z0为f(z) 的一级极点，则有,9,规则2o 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数有,说明 将函数的零阶导数。</p><p>11、1,第三章 复积分,2,至此，关于解析函数，我们获得了定义，充分必要条件及几个具体的解析函数为了深入研究解析函数，我们选择怎样的研究途径呢？经讨论，我们从研究数学分析的途径中选择了从积分这个角度来研究解析函数实践证明，这种选择是成功的,3,要点,1.理解复积分的概念、性质及其计算公式；2.掌握解析函数的Cauchy积分定理、 Cauchy积分公式和高阶导数公式；3.熟练掌握利用积分基本定理、积分基本公式和高阶导数公式计算函数沿闭曲线的积分；4.理解解析函数和调和函数的关系。,4,3-1 复积分的概念及性质,1 积分的概念,2 积分存在条件。</p><p>12、1,1-2 复平面上曲线和区域,一、复平面上曲线方程的各种表示二、简单曲线与光滑曲线三、平面点集与区域,2,一、复平面上曲线方程的各种表示,复平面上曲线方程有两种表示方式,直角坐标方程参数方程,3,1.复平面上曲线 C 的直角坐标方程,4,例 试用复数表示圆的方程其中 A,B,C,D是实常数（ ）,5,如果A=0,B及C不全为0，这是直线方程,即为复平面上，直线方程的一般形式。,6,(1) 用复数的实部或虚部的等式表示,Re(z-z0)=a是XOY平面上的直线 x=a+Re(z0),Im(z-z0)=b是XOY平面上的直线y=b+Im(z0),7,(2)用复数模的等式表示,|z-z0|表示动点z到定点z0的距。</p><p>13、1,2-3 初等解析函数,1. 指数函数,2. 对数函数,3. 幂函数,4. 三角函数和双曲函数,2,1. 指数函数,显然,为简便，常用下面记号,与指数函数符号一致与Euler公式相一致,3,定理 指数函数具有如下性质：,4,例 1,解,5,例 2,解,求出下列复数的辐角主值:,6,例 3,解,从而，有,7,2. 对数函数,这样,或,因此,8,9,例 4,解,注意: 在实函数中，负数无对数，而复变数对数函数是实对数函数的拓广.,10,例 5,解,11,解,12,13,对数函数的性质,对于某一固定分支，有,14,3. 幂函数,注 意:,15,例 7,解,例 8,解,16,17,幂函数的解析性,它的各个分支在除去原点和负实轴的。</p><p>14、1,复变函数,王一夫北京理工大学理学院数学系办公室：中心教学楼823,2,复变函数与积分变换的应用背景,世界著名数学家 M.Kline指出：19世纪最独特的创造是复变函数理论。象微积分的直接扩展统治了18世纪那样，该数学分支几乎统治了19世纪。它曾被称为这个世纪的数学享受，也曾作为抽象科学中最和谐的理论。,3,16世纪，解代数方程时引入复数,17世纪，实变初等函数推广到复变数情形,18世纪，J.达朗贝尔与L.欧拉逐步阐明复数的几何、物理意义。,4,19世纪，奠定理论基础。A.L.Cauchy、维尔斯特拉斯分别用积分和级数研究复变函数，黎曼研究复变函。</p><p>15、我们从导数与积分的角度研究解析函数均获得成功于是，我们自然会想从数学分析中选取别的研究角度如幂级数来讨论解析函数实践证明，这种选择是成功的我们先讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开式。,第四章 复级数,首先介绍复数列和复数项级数收敛的概念和判别法，以及幂级数的有关概念和性质。然后讨论解析函数的泰勒级数和罗伦级数展开定理及其展开式的求法，它们是研究解析函数的性质和计算其积分的重要工具。,1 复数项级数和幂级数,一、复数列的收敛性及其判别法二、复数项级数的收敛性及其判别法三、幂级数及其收敛半径四、幂级数的。</p><p>16、为了证明有关定理，首先介绍下面两个引理一 有关逐项积分的两个引理引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有如果存在收敛的正项级数 使得在 上有那么, 2 泰勒（Taylor）级数,证明： 由于 收敛，因此当 时，必有于是设曲线 的长度为 ，当 时，有这就证明了该引理。,引理2 若 在正向圆周 上连续，则（1）对该圆内任一点 z 有(2）对该圆外任一点 z 有,证明： （1）令 ，由于 ， 因此由等比级数的求和公式得：对任意满足 的点成立。,由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数，然后逐项积分。</p><p>17、1,5-3 留数在定积分计算中的应用,一、形如 的积分二、形如 的积分三、形如 的积分,2,应用留数定理于数学分析中的广义积分, 可以积出许多原来无法积出的积分. 其关键是将原来的积分区间置于复平面中某个区域的边界上.书上的例题是很典型的, 应注意如何巧妙地把定积分化为复积分.,3,思想方法 :,沿某条封闭路线的积分。,两个重要工作:,1) 积分区域的转化；,2) 被积函数的转化。,把定积分转化为一个复变函数,4,一 、形如 的积分,定理1 若函数 在圆周|z|=1上解析，在|z|1内除有限个奇点z1,z2,zn外解析，则有,5,令 ，则 ，从而有,其中 可看作圆。</p><p>18、3.1.1复变函数的积分 l3.1 复变函数积分的概念 l3.1.1积分的定义 l本章中,我们将给出复变函数积分的概念,然后 讨论解析函数积分的性质,其中最重要的就是 解析函数积分的基本定理与基本公式。这些性 质是解析函数积分的基础,借助于这些性质,我 们将得出解析函数的导数仍然是解析函数这个 重要的结论。 3.1.2积分存在的条件及其计算方法 l1) 当是连续函数且是光滑(或按段光滑) 曲线时，积分是一定存在的。 l2)可以通过两个二元实变函数的积分来计算。 3.1.3 积分的性质 l从积分的定义我们可以推得积分有下列一些简单性质 ，它们是与实变函数。</p>