高等数学12章

高等数学12章Tag内容描述：<p>1、高等数学 院系 学号 班级 姓名 得分 题 号 选择题 填空题 计算题 证明题 其它题型 总 分 题 分 30 30 30 30 30 核分人 得 分 复查人 一 选择题 共 30 小题 30 分 1 微分方程满足条件的解是 A B C D 答 2 微分方程的。</p><p>2、第一节 无穷级数的概念与性质,一、无穷级数的概念 二、无穷级数的性质,定义1 若有一个无穷数列 u1，u2，u3，un， 此无穷数列构成下列表达式 u1 + u2 + u3 + + un + (1) 称以上表达式为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数，记为,其中第n项un叫作级数的一般项或通项.,级数(1)的前n项相加得到它的前n项和，记作Sn.即：,我们以级数的前n项和作为研究无穷多项和的基础.,由级数(1)的前n项和，容易写出：,定义2 如果级数 部分和数列 有极限s，即,则称无穷级数 收敛.s称为此级数的和.且有,若 无极限，则称无穷级数 发散.,注意:,称为级数的余项， 。</p><p>3、第十二章 无穷级数教学目的： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。 7、理解函数。</p><p>4、一阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,习题课 (一),一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第十二章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换自变量,代换因变量,代换某组合式,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 求下列方程的通解,提示: (1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边同除以 x 即为齐次方程 ,令 y = u x ,化为分,。</p><p>5、第三节三重积分一、三重积分的概念定义设是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任ZYXF,意分割成个小闭区域（其中既表示第个小NNIV,21IVI区域，又表示它的体积）,在每个中任取一点作乘积IVII,并求和，如果小区域的直径的最IIVF,NIIIF1,大值趋近于零时，极限存在，则称此极限为NIIIVF10,LM函数在闭区域上的三重积分，记为，即ZYXF,DVZYXF,NIIIVFDVZYXF10,L,注1体积元素有时也记为；DV二、三重积分的计算1）在直角坐标系下计算三重积分（如图1）DVZYXF,若其积分区域在面上的投影为XOYD，且则BXA21,YXZYX,21DZFDVZYXFDYX,21,YXXBAF,2121,例1计算。</p><p>6、第五章不定积分 1 不定积分的概念 1 原函数与不定积分 2 不定积分的简单性质和基本积分表 性质 基本积分表 其余 待后再推导 2 换元积分法 1 第一类换元积分法 2 第二类换元积分法 3 分部积分法 分部积分公式也可写成。</p><p>7、华东政法大学2009 2010学年第二学期 刑事司法学院09年级计算机科学与技术专业 高等数学 II 第十二章综合测试 学院 班级 学号 姓名 任课教师 题类 一 二 三 四 五 总分 合分人 得分 本题得分 阅卷人 一 填空题 本大题。</p><p>8、精品文档第十二章无穷级数测试卷 一、填空题：1 若数项级数收敛，则= .2 若数项级数的通项满足,则是 级数.3 若数项级数,当 | 时收敛，当 | 时发散.4. 若幂级数的收敛区间为(-9,9)，则幂级数的收敛。</p><p>9、第一章,二 、收敛数列的性质,三 、极限存在准则,一、数列极限的定义,第二节,数列的极限,数学语言描述:,一 、数列极限的定义,引例.,设有半径为 r 的圆,逼近圆面积 S .,如图所示 , 可知,当 n 无限增大时,无限逼近 S .,当 n N 时,用其内接正 n 边形的面积,总有,刘徽,(刘徽割圆术),定义:,自变量取正整数的函数称为数列,记作,或,称为通项(一般项) .,若数列,及常数 a 有下列关系 :,当 n N 时,总有,记作,此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 .,几何解释 :,即,或,则称该数列,的极限为 a ,例如,趋势不定,收 敛,发 散,例1. 已知,证明数列,的极限为1.,。</p><p>10、第十一章级数第一节常数项级数的概念和性质对于数列,21NU我们称为无穷级数，记为NUU211NNUU2其中称为通项。NU问题什么情况下这个无穷项的和是一个确定的数，或者说有意义，也就是后面说的收敛我们可以构造部分和数列,12121NKUSUS来解决这个问题。定义1如果级数的部分和数列有极限，即1NUNSS，则称级数收敛，称为级数的和，并写SNLIM1N1NU成；如果数列没有极限则称级数发散。1NUNS1N例1无穷级数NNAQAQ200A叫做等比级数（几何级数）讨论其敛散性。解112QNAQAQSNN当时，即收敛；1QSN1LIM0N当时，不存在，即发散。QNLI0NAQ例2判定级数的收敛性。</p><p>11、第六节高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数在上具有一阶连续偏导数，则有ZYXRZYXQZYXP,RDXYQZPDV或DSDVZRYQXPCOSCOS这里是的整个边界曲面的外侧，是上,点出的法向量的方向余弦。ZYX,证明我们只需证明三个等式，PDYZVXQDZXVYRDXYVZ证明等式最重要的是处理好积分区域证明（如图1）RDXYVZ例1计算，其中为椭球面DXYZZ222的内侧。22ZYX解利用高斯公式DXYZYDZX22212322121222134YXYXYXDXYXDZD0223RRRD20423SINCOSINCOSINDTTTTR2053IIITTT232423例2计算曲面积分，其中积分曲面XDZYDXEZ为，并取。</p><p>12、第五节隐函数的求导公式一、一个方程的情形隐函数存在定理1设函数在的某邻域内有YXF,00YXP连续的偏导数，且，则方程,0Y在点的某一邻域内能唯一确定一个单值连0,YXF0,YX续且具有连续导数的函数，他满足条件，并XF0XFY且YXFD说明无妨设，代入方程得XFY0,XF两边关于求导得，所以。X0DXYFYXFD例1设确定了关于的函数，求。SIN2EYX2,DXY解方法一、方程两边关于求导得XYEDYXYEDXYXCOS202COS2方法二、设SIN,FX，2YEXYY2COYXEFDYCOS22隐函数定理2设函数在的某邻域内ZX,00ZP有连续的偏导数，且，,00YXYZ则方程在点的某一邻域内能唯一确0,ZYXF00,ZYX。</p><p>13、第五节对坐标的曲面积分一、引入问题怎样计算不可压缩流体流过某曲面的流量计算自来水的流量，设水速为，水管的截面积为，则流VS量为。（截面与速度方向垂直）（如图1）VS若考虑的截面不与速度垂直其面积为法向量为，此时流AN量还是NVVA,COS有向曲面我们考虑一般曲面，取定了法向量即选YXZ,定了侧的曲面称为有向曲面。正侧上侧、右侧、前侧；负侧下侧、左侧、后侧。对于闭曲面分为内侧、外侧。如果速度不是常量（与时间无关），流过某曲面（非平面），怎么求流量（如图2）速度为，流过曲面的流量ZYXRZYXQZPV,1化整为零把分割成小块，NNIS,。</p><p>14、第六节方向导数与梯度一、方向导数定义1设函数在点某一邻域内有定YXFZ,0,YXP0PU义，自点引射线，记为与射线方向相同0PLCOSLEL的单位向量，点为射线上另一点，YX,00,ETL如果TYXFYTXFTPFTT00000,COS,CSLIMLI存在，则称此极限为函数沿方向的方向导数，记FZ,L为。0PLF注若分别为时方向导数就是偏导数。1,0,定理如果函数在点是可微的，那么函数YXFZYXP,在该点沿任何方向的方向导数都存在，且LCOSSYFXFL其中为与射线方向相同的单位向量。COS,证明因为在点是可微,所以YXFZ,YXP22YXOFF两边同除以得22YXYFXFZOFFYXCSO即有。COSLIM0YXFFZ例1求函数在。</p><p>15、第三节幂级数一、函数项级数的概念函数列（这些函数定义区间为）I,21XUXUN我们称为函数项级数。对121NNXU于，如果收敛，则称为级数的收敛IX010N0X1NXU点，部分和为，在收敛域内有；余项XSSNLIMXRNN二、幂级数及其收敛性级数称为幂级数，记为。NXAXA2100NXA例14N132例15判别幂级数的收敛性。NXX32定理1如果幂级数当时收敛，则适0NA0合不等式的一切都收敛；反之如果级数当0XX0NXA时发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。0X0XX证明1）因为收敛，根据必要条件有，数0NXA0LIMNA列有界，即存在常数使得恒成立。NXA0MXAN0NNNXMXA00因为，所以级。</p><p>16、第九章曲线积分与曲面积分第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质引例怎样求非均匀曲线转物体的质量（平面情形设密度函数为；空间情形设密度函数为）,FXY,FXYZ1分割把任意分割成小段，LNNIS212）作乘积每一小段密度看成是均匀的，在中任取一点ISIYX,处的密度作为这一小段的密度，则这一小段物体的质量为IYXF,IISF,3）求和；NIIISYXF1,4）取极限取，NS,MA21NIIISYXFM10,L定义设是面一条光滑曲线弧，函数在上有界，把LXOYF,L任意分割成小段，在中任取一点，作NNIS,21ISIYX,乘积，求和；取，IISYXF,NIIISYXF1,NS,MA21如果极。</p><p>17、第十二章 无穷级数 教学目的 1 理解无穷级数收敛 发散以及和的概念 2 了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件 3 掌握几何级数和p 级数的收敛性 4 掌握正项级数的比较审敛法 比值审敛法和根值审敛法 5 掌握交错级数的莱布尼茨定理 会估计交错级数的截断误差 6 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系 7 理解函数项级数的收敛性 收敛域及和函数的概念 了解函数项级数的一致。</p><p>18、第六节一般周期函数的傅里叶级数如果是以为周期的函数，则是以为周期的周期XFL2LFTFT2函数。对应的傅里叶级数为FT01COSIN2NATBT其中COS012KAFTKDT,1INKB,再设，则对应的傅里叶级数为LXTFX01COSSIN2NAXBXLL其中,KXDLKCOSFLAK210INBL1定理设函数是周期为的周期函数，如果它满足XF21）在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点；2）在一个周期只多只有有限个极值点。则的傅里叶级数在连续点收敛于；在间断点XFXF收敛于。021XFF例33设是以2为周期的周期函数，且在的表达式为F1,01XFX是将其展成傅里叶级数。</p>