2013高考数学(理)一轮复习教案：选修4-4-坐标系与参数方程第1讲-坐标系

- 1 - / 4 第 1 讲 坐标系 基础梳理 1极坐标系的概念 以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对 (， )称为点 M 的极坐标，记作- 2直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位如图，设 M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为 (x， y)和 (，)，则互化关系为- 3直线的极坐标方程 若直线过点 M(0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，则它的方程为： sin() 0sin (0 ) 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：- (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： - 4圆的极坐标方程 若圆心为 M(0， 0)，半径为 r 的圆方程为:- 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：=- (2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： - (3)当圆心位于 M ，半径为 a： =-( a，2) - 2 - / 4 双基自测 1点 P 的直角坐标为( ， )，那么它的极坐标可表示为 _2 2 2若曲线的极坐标方程为 2sin 4cos ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_ 3在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin 3，则点 到直线 l 的距离为( 2，6) _ 4在极坐标系中，直线 sin 2 被圆 4 截得的弦长为_( 4) 考向一 极坐标和直角坐标的互化 【例 1】设点 A 的极坐标为 ，直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ，则直线 l( 2，6) 3 的极坐标方程为_ (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在 的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一 (2)在曲线的方程 进行互化时，一定要注意变量的范围要注意转 化的等价性 【训练 1】在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的直角坐标为(1， )若以原点 O3 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点 P 的极坐标可以是_ 考向二 圆的极坐标方程的应用 【例 2 在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于 A、B 两点，则|AB|_. 审题视点 先将直 线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|. 解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程 考向三 极坐标方程的综合应用 【例 3】如图，在圆心的极坐标为 A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点 O 的弦的 中点的轨迹 审题视点 在 圆上任取一点 P(0，0)，建立 P 点与 P 的中点 M 的关系即可 求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的轨迹求 - 3 - / 4 法 【训练 3】 从极点 O 作直线与另一直线 cos 4 相交于点 M，在 OM 上取一点 P，使|OM |OP|12，求点 P 的轨迹方程 基础梳理 1. M(，)2. Error!或 Error!3.（1） 0 和 0；(2) . cos a；4. 22 0cos( 0) r 20.(1) r；(2) 2acos_ ；(3) 2asin_ . 20 双基自测 1. 2. 2sin 4cos ，22sin 4cos .x2y 22y4x ，即( 2，34) x2y 22y4x0.3. 2sin 的直角坐标方程为 x2y 22y 0，cos 1 的 直角坐标方程为 x1，联立方程，得Error!解得Error!即两曲线的交点为(1,1)， 又 02 ，因此这两条曲线的交点的极坐标为 .( 2，34) 3. 直线 l 的极坐标方程可化为 y3，点 化为直角坐标为( ，1)，( 2，6) 3 点 到直线 l 的距离为 2. 4. 由 sin 2，得 (sin cos )2 可( 2，6) ( 4) 22 化为 xy2 0.圆 4 可化为 x2y 216，由圆中的弦长公式得：2 2 2 4 .例 1. 审题视点 先求直角坐标系下的直线方程再r2 d2 42 (2 22)2 3 转化极坐标方程 点 A 的极坐标为 ，点 A 的平面直角坐标为( ，1)，又( 2，6) 3 直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ，直线 l 的方程为 y1(x )tan ，即 3 3 3 xy20，直线 l 的极坐标方程为 cos sin 20【训练 1】解析 3 3 由极坐标与直角坐标的互化公式 cos x， sin y 可得，cos 1,sin ，解得 2，2k (kZ)，故点 P 的极坐标为 (kZ)例 2. 3 3 (2，2k 3) - 4 - / 4 解析 注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x1，曲线 4cos 的直角坐 标方程是 x2y 24x ，即(x2) 2y 24，圆心(2,0)到 直线 x1 的距离等于 1，因此| AB|2 2 . 例 3. 解 设 M(， )是所求轨4 1 3 迹上任意一点连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(0， 0)，则有 0， 02 .由圆 心为(4,0)，半径为 4 的圆的极坐标方程为 8cos ，得 08cos 0.所以 28cos ，即 4cos .故所求轨迹方程是 4cos .它表示以(