【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1章 立体几何初步（课时作业+章末检测）（打包18套）苏教版必修2
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第1章 立体几何初步（课时作业+章末检测）（打包18套）苏教版必修2,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,立体几何,初步,课时,作业,功课,检测,打包,18,苏教版,必修
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1 1 柱、棱锥和棱台 、 圆柱、圆锥、圆台和球 【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 1一般地，由一个 _沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱 平移起止位置的两个面叫做棱柱的 _，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的_，两侧面的公共边叫 _ 2当棱柱的一个底面 _时，得到的几 何体叫做棱锥 (如图所示 ) 3棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后， _和 _之间的部分 4将 _、 _、 _分别绕着它的 _、_、 _所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫做 _，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做 _，不垂直于轴的边旋转而成的 曲面叫做 _，无论旋转到什么位置，这条边都叫做 _ 5 _绕着它的 _所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做 _，简称 _ 一、填空题 1将梯形沿某一方向平移形成的几何体是 _ 2有下列命题： 棱柱的底面一定是多边形； 棱台的底面一定是梯形； 棱柱被平面截成的两部分可以都是棱柱； 棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥 其中正确命题的序号是 _ 3棱台具备的性质是 _(填序号 ) 两底面相似； 侧面都是梯形； 侧棱都相等； 侧棱延长后都交于一点 4下列命题中正确的是 _(填序号 ) 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱； 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； 有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱； 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台 5以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几 何体一定是 _ 6右图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的 _(填序号 ) 2 7下列叙述中错误的是 _ (填序号 ) 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆； 用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 8如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面 ，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 _(填序号 ) 9在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是_ 二、解答题 10如图所示为长方体 ABCD ，当用平面 这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱 11如图所示，已知 以 轴，将 转 360 试指出这个旋转体是由怎样的简单几何体构成的？画出这个旋转体的直观图 3 能力提升 12一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切 (球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点 )，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列 _图形 (填序号 ) 13如图，在底面半径为 1，高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 4 1学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系 2在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键 3几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连结两点的线段长求解 第 1 章 立体几何 初步 空间几何体 1 柱、棱锥和棱台 1 柱、圆锥、圆台和球 答案 知识梳理 1平面多边形 底面 侧面 侧棱 2收缩为一个点 3截面 底面 4矩形 直角三角形 直角梯形 一边 一直角边 垂直于底边的腰 轴 底面 侧面 母线 5半圆 直径 球体 球 作业设计 1四棱柱 2. 3 解析 用棱台的定义去判断 4 解析 、 的反例图形如图所示， 显然不正确 5球体 6. 7. 8 (1)(5) 解析 一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分 9 10解 截面 侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义 它是三棱柱 ，其中 和 是底面 BC ， 侧棱， 截面 侧部分也是棱柱 它是四棱柱 其中四边形 和四边形 是底面 AD ， 侧棱 11解 这个旋转体可由一个大圆锥挖去一个同 底面的小圆锥而得到，直观图如图所示 5 12 13解 把圆柱的侧面沿 开，然后展开成为平面图形 矩形，如图所示，连结，则 即为蚂蚁爬行的最短距离 AB 2， 为底面圆的周长，且 2 1 2 ， AB 2 2 4 2 2 1 2， 即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1 2. 1 1 1 3 中心投影和平行投影 【课时目标】 1了解中心投影和平行投影 2能画出简单空间图形 (柱、锥、台、球及其组合体 )的三视图 3能识别三视图所表示的立体模型 1平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是 _，而中心投影的投影线 _ 2三视图包括 _、 _和 _，其中几何体的 _和_高度一样， _与 _长度一样， _与 _宽度一样 一、选择题 1人在灯光下走动，当人逐渐远离灯光时，其影子的长度将 _ 2两条相交直线的平行投影是 _ 3如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 (填序号 )_ 4一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是_(填序号 ) 5 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 那 么 这 个 几 何 体 是_ 6若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高 (两底面之间的距离 )和底面边长分别是 _和 _ 2 7用小正方体搭成一个几何体，如图是它 的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体的个数最多为 _个 8根据如图所示俯视图，找出对应的物体 (1)对应 _； (2)对应 _； (3)对应 _； (4)对应 _； (5)对应 _ 9如图 1 所示， E， F 分别为正方体的面 四边形 该正方体的面上的正投影可能是图 2 中的 _ (填上 可能的序号 ) 二、解答题 10在下面图形中，图 (b)是图 (a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图 (尺寸不作严格要求 ) 3 11如图是截去一角的长方体，画出它的三视图 能力提升 12如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图 13用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？ 4 在绘制三视图时，要注意以下三点： 1若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们 的原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出 2一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在主视图的下面，长度和主视图一样左视图放在主视图的右面，高度和主视图一样，宽度和俯视图一样，简记为 “ 长对正，高平齐，宽相等 ” 3在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同 1 心投影和平行投影 答案 知识梳理 1平行的 交于一点 2主视图 左视图 俯视图 左视图 主视图 俯视图 主视图 左视图 俯视图 作业设计 1变长 解析 中心投影的性质 2两条相交直线或一条直线 3 解析 在各自的三视图中 正方体的三个视图都相同； 圆锥有两个视图相同； 三棱台的三个视图都不同； 正四棱锥有两个视图相同 4 6 2 4 解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4. 7 7 8 (1)D (2)A (3)E (4)C (5)B 9 解析 图 为四边形 正方体前后及上下面上的正投影， 为其在左右侧面上的正投影 10解 图 (a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯 视图应该画出不可见轮廓线 (用虚线表示 )，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线 (用实线表示 )，正确画法如图所示 11解 该图形的三视图如图所示 5 12解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆 (中心重合 )它的三视图如图所示 13解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图 所示，此种情况共用小立方块 17 块 而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的 1，即如图 所示，这样的摆法只需小立方块 11 块 1 观图画法 【课时目标】 1了解斜二测画法的概念 2会用斜二测画法画出一些简单的平面图形和立体图形的直观图 用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤： (1)在空间图形中取互相 _的 x 轴和 y 轴，两轴交于 O 点，再取 z 轴，使 _，且 _ (2)画直观图时把它们画成对应的 x 轴、 y 轴和 z 轴，它们相交于 O ，并使xOy _(或 _)， xOz _， x 轴和 y 轴所确定的平面表示水平面 (3)已知图形中平行于 x 轴、 y 轴或 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x 轴、 y轴或 z 轴的线段 (4)已知图形中平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持原长度 _；平行于 度为原来的 _ 一、填空题 1下列结论： 角的水平放置的直观图一定是角； 相等的角在直观图中仍然相等； 相等的线段在直观图中仍然相等； 两条平行线段在直观图中对应的两条线 段仍然平行 其中正确的有 _(填序号 ) 2具有如图所示直观图的平面图形 形状是 _ 3如图，正方形 OABC 的边长为 1 是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是 _ 4下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 直观图不是全等三角形的一组是_(填序号 ) 5 积为 10，以它的一边为 x 轴画出直观图，其直观图的面积为 _ 2 6一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45 ，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的面积等于 _ 7利用斜二测画法得到： 三角形的直观图是三角形； 平行四边形的直观图是平行四边形； 正方形的直观图是正方形； 菱形的直观图是菱形 以上结论，正确的是 _ 8水平放置的 斜二测直观图如 图所示，已知 AC 3， BC 2，则 _ 9如图所示，为一个水平放置的正方形 在直角坐标系 ，点 B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点 B 到 x 轴的距离为 _ 二、解答题 10如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图 11如图所示，梯形 ， D ， 4 2 30 ， 3 画出它的直观图 3 能力提升 12已知 平面直观图 ABC 是边长为 a 的正三角形，那么原 面积为 _ 13在水平放置的平面 内有一个边长为 1 的正方形 ABCD ，如图，其中 的对角线 AC 在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积 直观图与原图形的关系 1斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等；而求原图形的面积可把直观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出错，在 原图形中互相垂直的直线在直观图中不一定垂直，反之也是所以在求面积时应按照斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找出改变量与不变量用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的 24 倍 2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小 1 1 4 直观图画法 答案 知识梳理 (1)垂直 90 90 (2)45 135 90 (4)不变 一半 作业设计 1 解析 由斜二测画法的规则判断 2直角梯形 3 8 解析 根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形 平行四边形， 2 2， 1， 3，从而原图周长为 8 4 4 5 52 2 解析 设 积为 S， 则直观图面积 S 24 S 52 2 6 2 2 解析 如图 1 所示，等腰梯形 ABCD 为水平放置的原平面图形的直观图，作DEAB 交 BC 于 E ，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形ABCD 的原平面图形为如图 2 所示的直角梯形 2， 1 2， 1，所以 2 2 图 1 图 2 7 解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变 ，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形 8 2 5 解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且 AC 3， 2BC 4，计算得 5，所求中线长为 2 5 9 22 解析 画出直观图，则 B 到 x 轴的距离为 22 1224 22 10解 (1)作出长方体的直观图 图 a 所示； (2)再以上底面 x ， y ， z 轴，如图 b 所示，在 z上取点 V ，使得 VO 的长度为棱锥的高，连结 VA 1， VB 1， VC 1， VD 1，得到四棱锥的直观图，如图 b； (3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图 c 5 11解 (1)如图 a 所示，在梯形 ，以边 在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直角坐标系 图 b 所示，画出对应的 x 轴 ， y 轴，使 xOy 45 (2)在图 a 中，过 D 点作 DEx 轴，垂足为 E在 x 轴上取 AB 4 AE 32 32 598 点 E 作 EDy 轴，使 ED 12过点 D 作DCx 轴，且使 DC 2 (3)连结 AD 、 BC ，并擦去 x 轴与 y 轴及其他一些辅助线，如图 c 所示，则四边形 ABCD 就是所求作的直观图 12 62 析 画 观图如图 (1)所示： 则 AD 32 a，又 xOy 45 ， AO 62 a 画 实际图形， 如图 (2)所示， 2AO 6a， BC a， S 12O 62 13 6 解 四边形 真实图形如图所示， AC 在水平位置， ABCD 为正方形， DAC ACB 45 ， 在原四边形 ， C ， C ， 2DA 2， AC 2， S 四边形 D 2 2 1 平面的基本性质 【课时目标】 1了解平面的概念及表示法 2了解公理 1、 2、 3 及推论 1、 2、 3，并能用文字语言、图形语言和符号语言分别表述 1公理 1：如果一条直线上的 _在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内用符号表示为： _ 2公理 2：如果 _，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的 _ 用符号表示为： PP l 且 Pl 3公理 3：经过不在同一条直线上的三点， _公理 3 也可简单地说成，不共线的三点确定一个平面 (1)推论 1 经过 _，有且只有一个平面 (2)推论 2 经过 _，有且只有一个平面 (3)推论 3 经过 _，有且只有一个平面 一、填空题 1下列命题： 书桌面是平面； 8 个平面重叠起来，要比 6 个平面重叠起来厚； 有一个平面的长是 50 m，宽是 20 m； 平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念 其中正确命题的个数为 _ 2若点 内，则 M、 b、 之间的关系用符号可记作 _ 3已知平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能的交线有 _条 4已知 、 为平面， A、 B、 M、 N 为点， a 为直线，下列推理错误的是 _(填序号 ) Aa ， A ， Ba ， B a ； M ， M ， N ， N A ， A A； A 、 B、 M ， A、 B、 M ，且 A、 B、 M 不共线 、 重合 5空间中可以确定一个平面的条件是 _ (填序号 ) 两条直线； 一点和一直线； 一个三角形； 三个点 6空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有 _个 7把下列符 号叙述所对应的图形 (如图 )的序号填在题后横线上 (1) ， a_ (2) a， 且 _ (3)a ， a (4) a， c， b， abc 2 8已知 m， a ， b ， ab A，则直线 m 与 A 的位置关系用集合符号表示为 _ 9下列四个命题： 两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点； 经过空间任 意三点有且只有一个平面； 过两平行直线有且只有一个平面； 在空间两两相交的三条直线必共面 其中正确命题的序号是 _ 二、解答题 10如图，直角梯形 ， D ， D， S 是直角梯形 在平面外一点，画出平面 平面 交线，并说明理由 11如图所示，四边形 ，已知 D ， 延长线 )分别与平面 相交于 E， F， G， H，求证： E， F， G， H 必在同一直线上 能力提升 12空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明三条直线必相交于一点 3 13如图，在正方体 角线 平面 ， 于点 M， E 为 中点， F 为 求证： (1)O、 M 三点共线； (2)E、 C、 F 四点共面； (3)线共点 1证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点，或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上 2证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点 (或线 )在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合注意对诸如 “ 两平行直线确定一个平面 ” 等依据的证明、记忆与运用 3证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而 “ 其他 ” 直线往往归结为平面与平面的交线 1 2 点、线、面之间的位置关系 1 2 1 平面的基本性质 答案 知识梳理 1两点 AB 2两个平面有一个公共点 一条直线 3有且只有一个平面 (1)一条直线和这条直线外的一点 (2)两条相交直线 (3)两条平行直线 作业设计 1 1 解析 由平面的概念，它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题 正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题 、 、 都不正确 2 Mb 3 1,2 或 3 4 解析 A ， A ， A 由公理可知 为经过 A 的一条直线而不是 A 4 故 A 的写法错误 5 6 1 或 4 解析 四点共面时有 1 个平面，四点不共面时有 4 个平面 7 (1)C (2)D (3)A (4)B 8 Am 解析 因为 m， Aa ，所以 A ， 同理 A ，故 A 在 与 的交线 m 上 9 10解 很明显，点 S 是平面 平面 一个公共点，即点 S 在 交线上，由于D，则分别延长 于点 E，如图所示 E 面 E 平面 同理，可证 E 平面 点 E 在平面 平面 交线上，连结 直线 平面 平面 交线 11证明 因为 D ，所以 定平面 H，因为 H 平面 H ，由公理 3 可知， H 必在平面 平面 的交线上同理 F、 G、 E 都在平面 平面 的交线上，因此 E， F， G， H 必在同一直线上 12证明 l 1 ， ， l1 l 1l 2交于一点，记交点为 P Pl 1 ， Pl 2 ， P l 1， 13证明 (1)C 1、 O、 M 平面 又 O、 M 平面 公理 3 知，点 O、 M 在平面 1 C 1、 O、 M 三点共线 (2)E ， F 分别是 中点， 1B A 1B， D 1 E 、 C、 F 四点共面 (3)由 (2)可知：四点 E、 C、 F 共面 又 12 D 1F， 相交直线，记交点为 P 则 PD 1F平面 P平面 P 平面 平面 线共点 1 间两条直线的位置关系 【课时目标】 1会判断空间两直线的位置关系 2理解两异面直线的定义及判定定理，会求两异面直线所成的角 3能用公理 4 及等角定理解决一些简单的相关证明 1空间两条直线的位置关系有且只有三种： _、 _、 _ 2公理 4：平行于同一条直线的两条直线 _ 3等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角 _ 4异面直线 (1)定义： _的两条直线叫做异面直线 (2)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是_ 5异面直线所成的角：直线 a， b 是异面直线，经过空间任一点 O，作直线 a ， b ，使 _， _，我们把 a 与 b 所成的 _叫做异面直线 a 与b 所成的角 如果两条直线所成的角是 _，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 ，两条异面直线所成的角 的取值范围是 _ 一、填空题 1若空间两条直线 a， b 没有公共点，则其位置关系是 _ 2若 a 和 b 是异面直线， b 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是 _ 3在正方体 对角线 _条 4空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连结四边中点的四边形的形状是 _ 5给出下列四个命题： 垂直于同一直线的两条直线互相平行； 平行于同一直线的两直线平行； 若直线 a， b， c 满足 ab ， bc ，则 ac ； 若直线 与 其中假命题的个数是 _ 6有下列命题： 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； 经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直； 若 A 1 1 1 其中正确命题的序号为 _ 7空间两个角 、 ，且 与 的两边对应平行且 60 ，则 为 _ 8已知正方体 ABCD 中： (1)与 所成的角为 _； (2) 所成的角为 _ 9一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： F ； 成的角为 60 ； 2 异面直线； D 以上结论中正确结论的序号为 _ 二、解答题 10已知棱长为 a 的正方体 M， N 分别是棱 中点 求证： (1)四边形 (2) D 1 11如图所示，在空间四边形 ， 成的角为 30 ， E、 F 分别是 中点，求 成角的大小 能力提升 12如图所示， G、 H、 M、 N 分别是正三 棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 N 是异面直线的图形有 _(填序号 ) 13如图所示，在正方体 E、 F 分别是面 中心，则 _ 3 1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法另外，我们 解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具 2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径需要强调的是，两条异面直线所成角 的范围为 090 ，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小 作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法： 直接平移法 (可利用图中已有的平行线 )； 中位线平移法； 补形平移法 (在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线 ) 1 2 2 空间两条直线的位置关系 答案 知识梳理 1相交直线 平行直线 异面直线 2互相平行 3相等 4 (1)不同在任何一个平面内 (2)异面直线 5 aa bb 锐角 (或直角 ) 直角 090 作业设计 1平行或异面 2相交、平行或异面 解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明 a、 b 异面，直线 c 的位置可如图所示 3 6 4矩形 解析 易证四边形 平行四边形 又 E ， F 分别为 中点， C ， 又 D ， 其补角为 成的角 而 成的角为 90 ， 90 ，故四边形 矩形 4 5 2 解析 均为假命题 可举反例，如 a、 b、 c 三线两两垂直 如图甲时， c、 d 与异面直线 时 c、 d 异面，一定不会平行； 当点 A 在直线 a 上运动 (其余三点不动 )， 会出现点 A 与 B 重合的情形，如图乙所示，此时 c、 d 共面相交 6 7 60 或 120 8 (1)60 (2)45 解析 连结 ，则 ，连结 AC ，则 A就是 与 所成的角 由 A为正三角形， 知 A 60 ， 由 C ，知 所成的角就是 C 易知 C 45 9 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示， F ， 异面直线，M ， D ，只有 正确 10 证明 (1)如图，连结 在 ， M 、 N 分别是 中点， 三角形的中位线， C ， 12 由正方体的性质得： 1 1 12 1 四边形 5 (2)由 (1)可知 1因为 1 D 1 而 D 1 D 1 11解 取 中点 G， 连结 则 B ， D ， 且由 或它的补角 )为 成的角， 或它的补角 )为 成的角 成的角为 30 ， 30 或 150 由 等腰三角形，当 30 时， 75 ； 当 150 时， 15 故 成的角为 15 或 75 12 解析 中 N 中 N 且 N ， 相交 13 45 解析 连结 E 为 连结 B 1， 又 B ， B 1异面直线 成的角， 即 B 145 1 第 1 课时 直线 与平面平行的判定 【课时目标】 1理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理； 2能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题 1一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种： 位置 关系 直线 a 在 平面 内 直线 a 与 平面 相交 直线 a 与 平面 平行 公共点 有无数个公共点 有且只有一个 公共点 没有公共点 符号 表示 a a A a 图形 表示 我们把直线 a 与平面 相交或平行的情况统称为 _，记作 _ 2直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和 _平行，那么这条直线和这个平面平行 用符号表示为 a ， b 且 ab a 一、填空题 1以下说法 (其中 a， b 表示直线， 表示平面 )正确的个数为 _ 若 ab ， b ，则 a ； 若 a ， b ，则 ab ； 若 ab ， b ，则 a ； 若 a ， b ，则 ab 2已知 a， b 是两条相交直线， a ，则 b 与 的位置关系是 _ 3如果平面 外有两点 A、 B，它们到平面 的距离都是 a，则直线 平面 的位 置 关 系 是_ 4在空间四边形 ， E、 F 分别是 的点，若 B B 13 ，则对角线 平面 位置关系是 _ 5过直线 l 外两点，作与 l 平行的平面，则这样的平面为 _个 6过平行六面体 中与平面 _条 7经过直线外一点有 _个平面与已知直线平行 8如图，在长方体 (1)与直线 行的平面是 _； (2)与直线 _； 2 (3)与直线 行的平面是 _ 9在正方体 E 为 ， E， C 的平面的位置关系是 _ 二、解答题 10如图所示，在正方体 E、 F 分别是棱 求证： 平面 11如图所示， P 是 在平面外一点， E、 F 分别在 ，且 A D 求证： 平面 能力提升 12下列四个正方体图形中， A、 B 为正方体的两个 顶点， M、 N、 P 分别为其所在棱的中点，能得出 面 图形的序号是 _ (写出所有符合要求的图形序号 ) 13正方形 正方形 在平面相交于 各有一点 P， Q，且证 平面 (用两种方法证明 ) 3 直线与平面平行的判定方法 (1)利用定义：证明直线 a 与平面 没有公共点这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明 (2)利用直线和平面平行的判定定理： a ， ab ， b ，则 a 使用定理时，一定要说明 “ 不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 ” ，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整因此要证明 a 平面 ，则必须在平面 内找一条直线 b，使得 ab ，从而达到证明的目的证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等 1 2 3 直线与平面的位置关系 第 1 课时 直线与平面平行的判定 答案 知识梳理 1直线在平面外 a 2这个平面内的一条直线 作业设计 1 0 解析 a 也可能成立； a ， b 还有可能相交或异面； a 也可能成立； a ，b 还有可能异面 2 b 或 b 与 相交 3平行或相交 4平行 5 0,1 或无数 6 12 解析 如图所示，与 行的有 4 条，与 条，四边形 对角线与面 行，同等位置有 4 条，总共 12 条 7无数 8 (1)平面 2)平面 3)平面 平面 平行 解析 设 中点为 F，则 D 1 10证明 取 ， 连结 12 12 4 四边形 平行四边形， O 平面 面 平面 11证明 连结 长交 G， 连结 在 ， 易证 G 而 面 面 平面 12 13证明 方法一 如图 (1)所示，作 B 交 M，作 B 交 N，连结 正方形 正方形 公共边 又 又 B 四边形 平行四边形 N 又 面 面 平面 方法二 如图 (2)所示，连结 延长交 其延长线 )于 K，连结 D ， K 5 又 面 1 第 2 课时 直线与平面平行的性质 【课时目标】 1能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理 2能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题 直线与平面平行的性质定理： 经过一条直线和一个平面 _，经过这条直线的平面和这个平面 _，那么这条直线就和交线 _ (1)符号语言描述： _ (2)性质定理的作用： 可以作为 _平行的判定方法，也提供了一种作 _的方法 一、填空题 1已知直线 l 平面 ，直线 m ，则直线 l 和 m 的位置关系是 _ 2若不在同一条直线上的三点 A、 B、 C 到平面 的距离相等，且 A、 B、 ，则面 面 的位置关系为 _ 3若直线 m 不平行于平面 ，且 m ，则下列结论成立的是 _(填序号 ) 内的所有直线与 m 异面； 内不存在与 m 平行的直线； 内存在唯一的直线与 m 平行； 内的直线与 m 都相交 4如图所示，长方体 E、 F 分别是棱 平面别交 G、 H，则 位置关系是 _ 5直线 a 平面 ， 内有 n 条直线交于一点，则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线条数为 _ 6如图所示，平面 l1l 2，下列说法正确的是_(填序号 ) l 1平行于 l 1平行于 l 1不平行于 l 1不平行于 7设 m、 n 是平面 外的两条直线，给出三个论断： mn ； m ； n 以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题： _ (用序号表示 ) 8如图所示， a 的正方体， M、 N 分别是下底面的棱 的中点， P 是上底面的棱 的一点， P， M， N 的平面交上底面于 Q 在 _ 9如图所示，在空间四边形 ， E、 F、 G、 H 分别是四边上的点，它们共面，并且 平面 平面 m， n，当四边形 菱形时， B _ 二、解答题 10 平行四边形，点 P 是平面 一点， M 是 中点，在 取一点 G，过 G 和 平面交平面 证： H 11如图所示，三棱锥 A 一平面所截，截面为平行四边形 求证： 平面 能力提升 12如图所示，在透明塑料制成的长方体 固定容器底面一边 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题： 水的形 3 状成棱柱形； 水面 面积不变； A 1行其中正确的命题序号是_ 13如图所示， P 为平行四边形 在平面外一点， M、 N 分别为 中点，平面 平面 l (1)求证： BCl ； (2)平面 否平行？试证明你的结论 直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去可有如下示意图： 线线平行 在平面内作或找一直线 线面平行 经过直线作或找平面与平面相交的交线 线线平行 第 2 课时 直线与平面平行的性质 答案 知识梳理 平行 相交 平行 aa bab 直线和直线 平行线 作业设计 1平行或异面 2平行或相交 3 4 4平行 解析 E 、 F 分别是 B 又 面 面 平面 又 面 平面 平面 H 5 0 或 1 解析 设这 n 条直线的交点 为 P，则点 P 不在直线 a 上，那么直线 a 和点 P 确定一个平面 ，则点 P 既在平面 内又在平面 内，则平面 与平面 相交，设交线为直线 b，则直线 b 过点 P又直线 a 平面 ，则 ab 很明显这样作出的直线 b 有且只有一条，那么直线 b 可能在这 n 条直线中，也可能不在，即这 n 条直线中与直线 a 平行的直线至多有一条 6 解析 l 1l 2， ， ， l 1 又 ， l 1l 3 l 1l 3l 2 7 ( 或 ) 解析 设过 m 的平面 与 交于 l m ， ml ， m n， nl ， n ， l ， n 8 2 23 a 解析 平面 面 平面 Q ，易知 2 故 22 2 9 mn 解析 平面 C ， C ， m 理 n 菱形， m n B mn 10证明 如图所示，连结 O，连结 平行四边形， O 是 点， 又 M 是 中点， M 根据直线和平面平行的判定定理， 则有 平面 平面 平面 5 根据直线和平面平行的性质定理， H 11证明 四边形 平行四边形， H 又 面 面 平面 而平面 平面 面 D 而 面 面 平面 12 13 (1)证明 因为 D ， 面 面 以 平面 又平面 平面 l， 面 所以 BCl (2)解 平面 证明如下： 如图所示，取 中点 Q 连结 因为 N 为 点， 所以 D 因为 面 面 以 平面 理 平面 又 面 面 Q Q，所以平面 平面 所以 平面 1 第 3 课时 直线与平面垂直的判定 【课时目标】 1理解直线与平面垂直的定义 2掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用 1如果直线 a 与平面 内的 _，我们就说直线 a 与平面 互相垂直，记作： _ 图形如图所示 2从平面外一点引平面的垂线，这个点和 _间的距离，叫做这个点到这个平面的距离 3直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线 和一个平面内的两条 _直线垂直，那么这条直线 _于这个平面 图形表示： 用 符 号 表 示 为 ：_ 一、选择题 1下列命题中正
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