内容简介：: 1 第 7 讲立体几何中的向量方法（一）一、选择题 1直线下列向量可能是这两条直线的方向向量的是 ( ) A (1,1,2)， (2， 1,0) B (0,1， 1)， (2,0,0) C (1,1,1)， (2,2， 2) D (1， 1,1)， ( 2,2， 2) 解析两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项 B 中的两个向量垂直答案 B 2已知 a 1， 32， 52 ， b 3，， 152 满足 ab ，则等于 ( ) C 92 D 23 解析由 1 3 32 52 152，可知 92. 答案 B 3平面经过三点 A( 1,0,1)， B(1,1,2)， C(2， 1,0)，则下列向量中与平面的法向量不垂直的是 ( ) A. 12， 1， 1 B (6， 2， 2) C (4,2,2) D ( 1,1,4) 解析设平面的法向量为 n，则 n ， n ， n ，所有与 (或、 )平行的向量或可用与线性表示的向量都与 n 垂直，故选 D. 答案 D 4已知正四棱柱 2， 2 2， E 为直线距离为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D 1 解析连接点 O，连接点 O 作，因为 2，所以 2 2，又 2 2，所以 25 1. 答案 D 2 5已知 a (2， 1,3)， b ( 1,4， 2)， c (7,5， )，若 a， b， c 三向量共面，则实数等于 ( ) 析由题意得 c b (2t ， t 4 ， 3t 2 )， 7 2t 5 t 4 ， 3t 2 t 337 177 657. 答案 D 6正方体 a，点 M 在 M 12， N 为中点，则 |为( ) A. 216 a B. 66 a C. 156 a D. 153 a 解析以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 D A(a,0,0)，， a， a)， N a， a，设 M(x， y， z)，点 M 在 M 12， (x a， y， z) 12( x， a y， a z) x 23a， y z 得 M 2 | a 23a 2 a 216 a. 答案 A 二、填空题 7若向量 a (1，， 2)， b (2， 1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 89，则 _. 解析由已知得 89 ab|a|b| 2 45 2 9， 3 8 5 2 3(6 )，解得 2 或 255. 答案 2 或 255 8在四面体，两垂直，设 a，则点 P 到平面距离为 _ 解析根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系 P P(0,0,0)， A(a， 0,0)， B(0， a,0)， C(0,0， a)过点 H 平面平面点 H，则长即为点 P 到平面距离 H 为外心又正三角形， H 为重心，可得 H 点的坐标为 0 0 0 33 a. 点 P 到平面距离为 33 a. 答案 33 a 9平面的一个法向量 n (0,1， 1)，如果直线 l 平面，则直线 l 的单位方向向量是 s _. 解析直线 l 的方向向量平行于平面的法向量，故直线 l 的单位方向向量是 s 0， 22 ， 22 . 答案 0， 22 ， 22 10在正方体 P 为正方形 O 为底面正方形中心， M， N 分别为中点，点 Q 为平面一点，线段相平分，则满足的实数的有 _个解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为 2，则 P(x，y,2)， O(1,1,0)，中点坐标为 x 12 ， y 12 ， 1 ， 4 又知 ,0,2)， Q(x 1， y 1,0)，而 Q 在， 3， x y 1，即点 P 坐标满足 x y 1. 有 2 个符合题意的点 P，即对应有 2 个 . 答案 2 三、解答题 11已知： a (x,4,1)， b ( 2， y， 1)， c (3， 2， z)， ab ， bc ，求： a， b， c. 解因为 ab ，所以 x 2 4y 1 1，解得 x 2， y 4，这时 a (2,4,1)， b ( 2， 4， 1) 又因为 bc ，所以 bc 0，即 6 8 z 0，解得 z 2，于是 c (3， 2,2) 12如图所示，已知正方形矩形在的平面互相垂直， 2， 1， M 是线段中点求证： (1)平面 (2)平面证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，设 N，连接则 N 22 ， 22 ， 0 ， E(0,0,1)， A( 2， 2， 0)， M 22 ， 22 ， 1 22 ， 22 ， 1 . 22 ， 22 ， 1 . 且共线又平面面平面 (2)由 (1)知 22 ， 22 ， 1 ， D( 2， 0,0)， F( 2， 2， 1)， (0， 2， 1) 0， 5 同理又 F，平面 13在四棱锥 P ，底面面正方形， E、 F 分别是 B 的中点 (1)求证： (2)在平面求一点 G，使平面证明你的结论 (1)证明如图，以在直线分别为 x 轴， y 轴、 a，则 D(0,0,0)、 A(a,0,0)、B(a， a,0)、 C(0， a,0)、 E a， 0 、 P(0,0， a)、 F 0， (0， a,0) 0，，即 (2)解设 G(x,0， z)，则 x z 若使平面由 x z ( a,0,0) a x 0，得 x 由 x z (0 ， a， a) a z 0，得 z 0. G 点坐标为 0， 0 ，即 G 点为中点 14如图，在四棱锥 P ，平面 4， 3，5， 90 ， E 是中点 (1)证明：平面 (2)若直线四棱锥 P 体积解如图，以 A 为坐标原点，在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系设 h，则相关各点的坐标为： A(0,0,0)， B(4,0,0)，C(4， 3,0)， D(0,5,0)， E(2,4,0)， P(0,0， h) 6 (1)易知 ( 4,2,0)， (2,4,0)， (0,0， h) 因为 8 8 0 0， 0，所以 P，平面以平面 (2)由题设和 (1)知，分别是平面面法向量而平面成的角和平面成的角相等，所以 |， | |， |，即 | | | |

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