内容简介：: 1 第 7 讲解三角形应用举例一、选择题 1在某次测量中，在 A 处测得同一平面方向的 B 点的仰角是 50 ，且到 A 的距离为 2， 0 ，且到 A 的距离为 3，则 B、 C 间的距离为 ( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 解析因 120 ， 2， 3. 2 4 9 22320 19. 19. 答案 D 2如图所示，为了测量某障碍物两侧 A， B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定 A， ) A ， a， b B ，， a C a， b， D ，， b 解析选项 B 中由正弦定理可求 b，再由余弦定理可确定中可由余弦定理确定同 B 类似，故选 A. 答案 A 3 一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行， 30 分钟后到达 B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70 ，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65 ，那么 B， C 两点间的距离是 ( ) A 10 2海里 B 10 3海里 C 20 3海里 D 20 2海里解析如图所示，易知，在， 20 海里， 30 ， 45 ，根据正弦定理得 0 5 ，解得 10 2(海里 ) 2 答案 A 4. 如图，两座相距 60 m 的建筑物高度分别为 20 m、50 m，水平面，则从建筑物顶端 A 看建筑物 ( ) A 30 B 45 C 60 D 75 解析依题意可得 20 10(m)， 30 5(m)，又 50(m) ，所以在，由余弦定理得 5 2 10 2 502230 520 10 6 0006 000 222 ，又 0 80 ，所以 45 ，所以从顶端 A 看建筑物张角为 45. 答案 B 5如图，设 A、 B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出距离为 50 m， 45 ， 105 后，就可以计算出 A、 B 两点的距离为 ( ) A 50 2 m B 50 3 m C 25 2 m 2 m 解析由题意，得 B 30. 由正弦定理，得 AC 50 2212 50 2(m) 答案 A 6. 如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30 ，测得湖中之影的俯角为 45 ，则云距湖面的高度为 (精确到 0.1 m) ( ) A 2.7 m B 17.3 m C 37.3 m D 373 m 解析在， 0 10 100 (m) 3 在， 5 10 105 (m)， 100 105 ， 33 1 10(2 3)37.3(m) 答案 C 二、填空题 7如图，为测得河对岸塔高，先在河岸上选一点 C，使 C 在塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60 ，再由点 C 沿北偏东 15 方向走 10 米到位置 D，测得 45 ，则塔高是 _米解析在， 10， 45 ， 15 90 105 ， 30 ，5 0 ， 50 10 t ， 0 0 10 6(米 ) 答案 10 6 8如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发现一个生命迹象，然后向右转 105 ，进行 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它向右转 135 后继续前行回到出发点，那么 x _. 解析由题知， 75 ， 45 ， 180 75 45 60 ， 5 100 . x 10 63 m. 答案 10 63 m 9. 在 2012年 7 月 12日伦敦奥运会上举行升旗仪式如图， 4 在坡度为 15 的观礼台上，某一列座位所在直线旗杆所在直线面，在该列的第一个座位 A 和最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60 和 30 ，且座位 A，B 的距离为 10 6米，则旗杆的高度为 _米解析由题可知 105 ， 30 ，由正弦定理得 5 10 60 ，解得20 3(米 )，在， 20 3 0 30(米 )故旗杆的高度为 30 米答案 30 10. 如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东角，前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围 n 海里范围内 (包括边界 )有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在，根据正弦定理得，解得，要使该船没有触礁危险需满足 0 ) n，所以当与的关系满足 )时，该船没有触礁危险答案 ) 三、解答题 11如图所示，甲船由 5 的方向作匀速直线航行，速度为 15 2 n h，在甲船从 A 岛出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 n 的 B 岛出发，朝北偏东 12 的方向作匀速直线航行，速度为 m n h. (1)若两船能相遇，求 m. (2)当 m 10 5时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少 n 解 (1)设 t 小时后，两船在 M 处相遇，由 12，得 55 ， 2 55 ， 5 所以 5 ) 1010 . 由正弦定理， 40 2，同理得 40 5. t 40 215 2 83， m 40 583 15 5. (2)以 A 为原点，在直线为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在 t 时刻甲、乙两船分别在 P( Q(，则 | 15 2t， | 10 5t. 由任意角三角函数的定义，可得 15 2 15t，15 2 15t，即点 P 的坐标是 (15t,15t)， 10 5 10t，10 5 40 20t 40，即点 Q 的坐标是 (10t,20t 40)， | 5t 2 t 2 50400t 1600 t 2 80020 2，当且仅当 t 4 时， |得最小值 20 2，即两船出发 4 小时时，距离最近，最近距离为 20 2 n 12如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30 、相距 20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线往 B 处救援，求的值解如题图所示，在， 40 海里， 20 海里， 120 ，由余弦定理知， 2AC20 2 800，故 20 7(海里 ) 由正弦定理得所以 217 . 由 120 ，知锐角，则 2 77 . 易知 30 ，故 30) 0 0 2114 . 13如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点 A，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点 C，从 C 点可以观察到点 A， B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A，C；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B， C；并测量得到数据： 90 ， 60 ， 15 ， 105 ， 45 ， 1 百米 (1)求面积； (2)求 A， B 之间的距离解 (1)在， 360 90 15 105 150 ， S 12CE50 120 12 12 14(平方百米 ) (2)连接题意知，在， DC 10 3(百米 )，在， 180 180 105 45 30 ，由正弦定理 10 5 2(百米 ) 5 0 45) 05 05 12 22 32 22 6 24 ，在，由余弦定理 2BC 7 可得 ( 3)2 ( 2)2 2 3 2 6 24 2 3， 2 3百米 14某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里 /时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里 /时的航行速度匀速行驶，经过 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 /时，试设计航行方案 (即确定航行方向和航行速度的大小 )，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则 S 900400 230 t 900600t 400 900 t 13 2 300. 故当 t 13时， 10 3(海里 )，此时 v 10 313 30 3(海里 /时 ) 即小艇以 30 3海里 /时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小 (2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则 400 9002030 t0 30

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