2018合肥一模理数试题和答案

高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 6 页） 合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C B C C D D A C B B D 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13.1 14.3 15.（4，4） 16. 21 3 三、解答题： 17.（）根据正弦定理，由已知得： (sin 2sin )cos sin cos 0ABCCA ， 1 分 即 sin cos sin cos 2sin cosA CCA BC ， sin( ) 2sin cosA CBC ， AC BS ， sin( ) sin( ) sin 0AC B BS !， sin 2sin cosB BC ，从而 1 cos 2 C . 5 分 (0 )C S， 3 C S . 6 分 （）由（）和余弦定理得 222 1 cos 22 abc C ab ，即 22 12ab ab ， 7 分 2 2 ()1233 2 ab ab ab d ， 9 分 即 2 ()48abd（当且仅当 23ab 时等号成立） 所以， ABC 周长的最大值为 43 63c . 12 分 18.（）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件 M ， 则 3 3 3 6 119 ()=1 1 20 20 C PM C ， 所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 19 20 . 5 分 （）随机变量 X 的所有可能取值有 0 1 2 3， . 6 分 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 6 页） 因为 2 11 1 (=0)= = 54 80 PX u ， 2 1 2 41 1 131 (=1)= + 54 5 448 PX C uuuu ， 2 1 2 413133 (=2)= + = 5445480 PX C uuu u ， 2 43 9 (=3)= 54 20 PX u ， 10 分 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 80 1 8 33 80 9 20 所以 1103 36 ()=0 1 2 3 2.3 80 80 80 80 EX uuuu . 12 分 19.（）证明：连结 AC ，交 BD于点 N ， N 为 AC 的中点， /MNEC. MNEFCECEFC平面，平面， /MNEFC平面. 3 分 BFDE，都垂直底面 ABCD， /BFDE. BFDE ， BDEF 为平行四边形， /BDEF. BDEFCEFEC平面，平面， /BDEFC平面. 又 MNBDN ，平面 BDM 平面 EFC . 6 分 （）由已知， DE A平面 ABCD， ABCD是正方形 DA DC DE，两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 Dxyz . 设 2AB ， 则 4DE ， 从而 (2 2 0)B， (1 0 2)M， (2 0 0)A， (0 0 4)E， (2 2 0) (1 0 2)DB DM JJJG JJJJG ， 设平面 BDM 的一个法向量为 ( )nxyz G ， 由 0 0 nDB nDM JJJG G JJJJG G 得 220 20 xy xz . 令 2x ，则 21yz ，从而 (2, 2, 1)n G . 10 分 (2 0 4)AE JJJG ，设 AE 与平面 BDM 所成的角为 T ，则 11 分 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 6 页） 45 sin | cos | 15 nAET ! JJJG G ， 所以，直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 45 15 . 12 分 20.（）由已知可得，椭圆 E 的焦点在 x 轴上. 设椭圆 E 的标准方程为 22 22 1( 0) xy ab ab !，焦距为 2c，则 bc ， 222 2 2abc b ，椭圆 E 的标准方程为 22 22 1 2 xy bb . 又椭圆 E 过点 2 (1 ) 2 ， 22 1 1 2 1 2bb ，解得 2 1b . 椭圆 E 的标准方程为 2 2 1 2 x y . 5 分 （）由于点 (2 0)，在椭圆 E 外，所以直线 l的斜率存在. 设直线 l的斜率为 k ，则直线 :(2)ly kx ，设 11 2 2 () ( )M xy Nxy，. 由 2 2 (2) 1 2 ykx x y 消去 y 得, 22 2 2 (1 2 ) 8 8 2 0kx kx k . 由 0!得 2 1 0 2 kd，从而 2 12 2 8 12 k xx k ， 2 12 2 82 12 k xx k ， 2 22 12 22 24 121 (1 2 ) k MN k x x k k . 点 2 (1 0)F，到直线 l的距离 2 3| | 1 k d k ， 2 FMN 的面积为 22 22 1(4) 3 2(12 kk SMNd k . 9 分 令 2 12kt ，则 1 2)t， 2 2 22 2 (1)(2) 32 32 13 1 333132 48 tttt S tt ， 当 13 4t 即 4 3 t ( 4 1 2) 3 ，)时， S 有最大值， max 32 4 S ，此时 6 6 k r . 所以，当直线 l的斜率为 6 6 r 时，可使 2 FMN 的面积最大，其最大值为 32 4 . 12 分 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 6 页） 21.（） ()f x 的定义域为 1 2 f ， 2 22 22 () 21 (21) axaxa fx x xxx c . 1 分 2 210 0xx! !，. 令 2 () 2 2gx x ax a ，则 （1）若 0d，即当 02add时，对任意 1 2 x f ， () 0gxt 恒成立， 即当 1 2 x f ，时， () 0fxc t 恒成立（仅在孤立点处等号成立）. ()f x 在 1 2 f ，上单调递增. 3 分 （2）若 0!，即当 2a ! 或 0a 时， ()gx的对称轴为 2 a x . 当 0a 时， 0 2 a ，且 11 () 0 22 g ! . 如图 1，任意 1 2 x f ， () 0gx! 恒成立， 即任意 1 2 x f ，时， () 0fxc ! 恒成立， ()f x 在 1 2 f ，上单调递增. 当 2a ! 时， 1 2 a ! ，且 11 () 0 22 g ! . 如图 2，记 () 0gx 的两根为 2 1 1 (2) 2 x aa a ， 2 2 1 (2) 2 x aa a . 当 12 1 2 xxx f *，时， () 0gx! ； 当 12 x xx，时， () 0gx . 当 12 1 2 xxx f *，时， () 0fxc ! ， 当 12 x xx，时， () 0fxc . ()f x 在 1 1 2 x ，和 2 x f，上单调递增，在 12 x x，上单调递减. 综上，当 2a d 时， ()f x 在 1 2 f ，上单调递增； 高三数学试题（理科）答案 第 5 页（共 6 页） 当 2a ! 时， ()f x 在 2 11 ( 2) 22 aa a ，和 2 1 (2) 2 aa a f ，上单调递增， 在 22 11 (2) (2) 22 aa a aa a ，上单调递减. 6 分 （） ()f xaxd 恒成立等价于 1 2 x f ， () 0fx ax d 恒成立. 令 () () ln(2 1) a hx f x ax x ax x ，则 ()f xaxd 恒成立等价于 1 2 x f ， () 0 (1)hx hd （*）. 要满足（*）式，即 ()hx在 1x 时取得最大值. 32 2 2(2)2 () (2 1) ax a x ax a hx xx c . 8 分 由 (1) 0hc 解得 1a . 当 1a 时， 2 2 (1 )(2 1) () (2 1) xxx hx xx c ， 当 1 1 2 x ，时， () 0hxc ! ；当 1 x f，时， () 0hxc . 当 1a 时， ()hx 在 1 1 2 ，上单调递增，在 1 f，上单调递减，从而 () (1) 0hx hd ，符合题意. 所以， 1a . 12 分 22.（）由 2cos 0U T 得： 2 2cos 0UUT . 因为 222 cosx yxUU ， ，所以 22 20xy x ， 即曲线 2 C 的普通方程为 22 (1) 1xy 5 分 （）由（）可知，圆 2 C 的圆心为 2 C (1 0)，半径为 1. 设曲线 1 C 上的动点 (3cos 2sin )M T T， 由动点 N 在圆 2 C 上可得： min 2 min | |1MN MC . 6 分 22 2 2 |(3cos1)4sin 5cos6cos5MC TTTT 8 分 当 3 cos 5 T 时， 2min 45 | 5 MC ， min 2 min 45 | | | | 1 1 5 MN MC? . 10 分 23.（） 11 21211fx fx x xdd， 1 分 高三数学试题（理科）答案 第 6 页（共 6 页） 1 2 21211 x xx t d 或 11 22 12 2 11 x xx d 或 1 2 12 2 11 x xx