2015高中数学课件（全册打包12套）新人教A版选修1-2
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2015高中数学课件（全册打包12套）新人教A版选修1-2,高中数学,课件,打包,12,十二,新人,选修
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通过对必修的学习，我们知道，变量之间存在关系时，有两种关系： 确 定 性 关 系 非确定性关系 函数关系 相关关系 函数关系是非常明确的关系，相关关系却是一种变化的，通过 数学 3 的学习我们知道，回归分析 (相关关系的一种分析方法，它是对具有相关关系的两个变量进行统计分析一般步骤为： 散点图 求回归方程 利用回归方程预报 下面我们通过实际案例。进一步学习回归分析的基本思想及其应用 例 名女大学生。其身高和体重数据如表所示： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 65 165 157 170 175 165 155 170 体重 8 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名172 解 利用前面的知识我们首先作身高 40455055606570150 155 160 165 170 175 180从图可以看出，样本点的分布有比较好的线性关系，因此可以用线性回归来刻画它们之间的关系 . 会求它们的方程吗 ? 事实上 ,从散点图可以看出 ,样本点并不是分布在这条直线上 ,而是分布在它的两边 ,所以严格来说： y=bx+a 不是真正的表示它们之间的关系，这时我们把身高和体重的关系做一下调整来模拟回归关系： Y=bx+a+e 其中 a和 机误差 如何产生的？ 身高 X(体重 y(饮食习惯 运动习惯 质量误差 线性回归模型 y=bx+a+e， 解释变量 x 预报变量 y 随机误差 e a, ,1,111其中 称为样本的中心 40455055606570150 155 160 165 170 175 180y=过 数学 3 的学习我们知道，它们之间是正相关的，我们用它们的 相关系数 在上面的例子中我们假设体重与身高没有关系即：体重都为： ，她们身高体重的散点图应该在一条水平直线上： 40455055606570150 155 160 165 170 175 180事实上，并非如此，它们和 时我们就引入随机误差，利用随机误差和解释变量共同来预报变量 y 21)(体偏差平方和 合并成一个数 总体偏差平方和 解释变量 随机误差 ？ ？ 我们现在要弄清楚这个总的效应中，有多少来自解释变量，有多少来自随机误差，即：哪一个效应起决定性作用？ 根据我们在数学3总的知识，我们知道：每个点与回归方程的差异我们可以用来表示，记作： (残差(它刚好可以表示随机误差的效应。 e为了回归的准确和计算的方便我们引入 残差平方和 (of 代表随机误差的效应 21)(们就比较容易得到解释变量的效应了。同学们知道怎样求吗？ 解释变量的效应 总体偏差平方和 残差平方和 回归平方和 (of 你会计算上面的 总体偏差平方和 、 残差平方和 、 回归平方和 吗？ 354 了这些评估效应的方法，我们就可以利用它们来刻画总体效应，事实上，为了将我们的计算简化，我们又引入相关指数 )(1残差平方和 总体偏差平方和 显然，当 明残差所占的比例越小，回归效果约好；反之 ,回归效果越差。一般的，当 ,说明解释变量和预报变量之间的相关性越强 ,如果同一个问题 ,采用不同的回归方法分析 ,我们可以通过 选择 一般方法： 残差分析 ) 利用 残差图 来分析数据，对 可疑数据 (残差较大的数据 )进行重新调查，有错误就更正，然后重新利用回归模型拟合，如果没有错误，则需要找其他原因。 残差图： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 65 165 157 170 175 165 155 170 体重 8 57 50 54 64 61 43 59 残差 8 4 6 8 10问题数据 越窄越好 说明 据的改变，可能会导致回归方程的变化 不同的回归方程，也适合不同的回归总体， 不是精确值 建立回归方程的一般步骤： 察是否相关 线性回归、指数回归、对数回归等 ) 例 2一只红蛉虫的产卵数 收集了 7组数据，请建立 y与 温度 x 21 23 25 27 29 32 35 产卵数 y/个 7 11 21 24 66 115 325 解 05010015020025030035020 22 24 26 28 30 32 34 36样本点不能直接利用线性回归 ,根据我们的函数知识 ,它应该是一个指数模型 :y= 二次函数模型 ,根据对数回归知识我们知道 :令 z=z=a+bx x 21 23 25 27 29 32 35 z 123456720 22 24 26 28 30 32 34 36温度产卵数的对数z= :y=y=，令 t y=t 441 529 625 729 841 1024 1225 y 7 11 21 24 66 115 325 050100150200250300350400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300温度的平方产卵数y=适合利用线性回归 为什么这样说？ X 21 23 25 27 29 32 35 合计 (残差平方和 ) 7 11 21 24 66 115 329 e(1) e(2) 图的对比可以看出，指数模拟 优于 线性模拟 回归分析基本思想及其初步应用 基本思想 实际应用 回归分析 相关性方法分析 回归优劣分析 总偏差平方和 残差平方和 回归平方和 前面我们讨论了两个变量之间的关系 回归分析 ，以及对分析了解释变量和随机误差对预报变量的影响的强弱分析 相关指数 事实上，对于同一个总体而言，通过对比更能得出哪一种方法或哪个变量对总体效果有较大的影响， 分类变量 间的关系就是我们今天要研究的 变量属于不同的类别 例 肿瘤研究院随机的调查了 9965人，得到如下结果： 不患肺癌 患肺癌 总计 比例 不吸烟 7775 42 7817 吸烟 2099 49 2148 总计 9874 91 9965 问：吸烟是否对患肺癌有影响？ 解 从图表的比例可以看出：吸烟与不吸烟可能对患肺癌的 可能存在差异 ，我们再通过等高条形图来分析 等高条形图 0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%100%吸烟不患肺癌 患肺癌不吸烟 上面我们通过图形的分析，初步判断吸烟与患肺癌有关系。那么，事实是否如此呢？我们需要用统计的观点来考察这个问题 我们首先设基本事件为： 烟与患肺癌没有关系 我们下面就一般关系做一个推断 不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a b a+b 吸烟 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 如果吸烟与患肺癌没有关系，则： a(c+d)c(a+b) 因此， 越小，说明吸烟与患肺炎之间没有关系。 为了使样本空间有一定的代表性，我们引入一个随机变量 )()()()( 22（ n=a+b+c+d(样本容量 )） 若， (吸烟与患肺癌无关 )则 过计算我们可以得到 k 计的四项 说明：根据统计学家的分析： P(K2k) k 1k有 90的把握认为 之间存在关系 有统计规律可以看出： 似于 就是说，在 ，即 9 ，因此我们认为吸烟与患肺癌有关 上面的利用 两个变量有关系” 的方法成为： 独立性检验 说明： 两个变量 独立性检验的一般方法： x1,列频数关联表 y1 计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 与 2 例 665名男性心脏和 772名其他病人做了研究，如图所示： 患心脏病 不患心脏病 总计 秃顶 214 175 389 不秃顶 451 597 1048 总计 665 772 1437 智慧的闪光! 0200400600秃头患心脏病患其他病患心脏病 患其他病不秃头 2 犯错误概率不超过 认为秃头与心脏病有关 . 研究人员表示，掉头发在很大程度上是由日渐增大的工作压力、不能充分休息、不正确饮食和睡眠不足等因素引起的。在接受调查的人群中，有41%的受秃头威胁的人表示，他们一日睡觉时间不足 4小时 秃顶心脏病 ？ 析男生与女生的成绩，在多大程度上认为男生的数学成绩优于女生的数学成绩？为什么？ 多大程度上可以认为男生比女生喜欢理科课程？为什么？ 归纳推理 歌德巴赫猜想 : “任何一个不小于 6的偶数都等于两个奇质数之和 ” 即 :偶数奇质数奇质数 哥德巴赫猜想 (世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于 1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。 1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于 6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如 6 3 3， 12 5 7等等。 公元 1742年 6月 7日哥德巴赫 (信给当时的大数学家欧拉 (提出了以下的猜想 : (a) 任何一个 =6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个 =9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。 这就是着名的哥德巴赫猜想。欧拉在 6月 30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如 : 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对 33 108以内且大过 6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想 (a)都成立。但验格的数学证明尚待数学家的努力。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。 200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 “ 明珠 ” 。到了 20世纪 20年代，才有人开始向它靠近。 1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（ 99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（ 9十 9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了 “ 哥德巴赫 ”。 哥德巴赫猜想 (目前最佳的结果是中国数学家陈景润於 1966年证明的，称为陈氏定理 (s ? “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。 ” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “ 1 + 2 ”的形式。 哥德巴赫猜想 (在陈景润之前，关於偶数可表示为 与 简称 “ s + t ”问题 )之进展情况如下 : 1920年，挪威的布朗 (明了 “ 9 + 9 ”。 1924年，德国的拉特马赫 (明了 “ 7 + 7 ”。 1932年，英国的埃斯特曼 (明了 “ 6 + 6 ”。 1937年，意大利的蕾西 (後证明了 “ 5 + 7 ”, “4 + 9 ”, “3 + 15 ”和 “ 2 + 366 ”。 1938年，苏联的布赫 夕太勃 (明了 “ 5 + 5 ”。 1940年，苏联的布赫 夕太勃 (明了 “ 4 + 4 ”。 1948年，匈牙利的瑞尼 (明了 “ 1 + c ”，其中 数。 1956年，中国的王元证明了 “ 3 + 4 ”。 1957年，中国的王元先後证明了 “ 3 + 3 ”和 “ 2 + 3 ”。 1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩 (明了 “ 1 + 5 ”， 中国的王元证明了 “ 1 + 4 ”。 1965年，苏联的布赫 夕太勃 (小维诺格拉多夫 (及 意大利的朋比利 (明了 “ 1 + 3 ”。 1966年，中国的陈景润证明了 “ 1 + 2 ”。 最终会由谁攻克 “ 1 + 1 ”这个难题呢？现在还没法预测。 歌德巴赫猜想的提出过程： 3 7 10， 3 17 20， 13 17 30， 歌德巴赫猜想 : “任何一个不小于 6的偶数都等于两个奇奇数之和 ” 即 :偶数奇质数奇质数 改写为 :10 3 7， 20 3 17， 30 13 17 6 3+3， 1000 29+971， 8 3+5， 1002=139+863, 10 5+5, 12 5+7， 14 7+7， 16 5+11, 18 =7+11, ， 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 ,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理 ,或者由个别事实概栝出一般结论的推理 ,称为 归纳推理 .(简称归纳 ) 归纳推理的几个特点 ; 因而 ,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围 . 有穷尽的现象推断尚属未知的现象 ,因而结论具有猜测性 . 因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 . 归纳是立足于观察、经验 、 实验和对有限资料分析的基础上 需证明 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。 归纳推理的一般步骤： 例 1 观察图 ,可以发现 由上述具体事实能得出怎样结论 解 :将上述事实分别叙述如下 : 1等于 1的平方 ; 前 2个正奇数的和等于 2的平方 ; 前 3个正奇数的和等于 3的平方 ; 前 4个正奇数的和等于 4的平方 ; 前 5个正奇数的和等于 5的平方 ; 222221 1 ,1 3 4 2 ,1 3 5 9 3 ,1 3 5 7 1 6 4 ,1 3 5 7 9 2 5 5 ,. 由此猜想：前 个连续正奇数的和等于 时的平方，即 *()n n Nn 21 3 2 1 例 2:已知数列 第 1项 且 (n=1,2,3 ),试归纳出这个数列的通项公式 . 1 + ;112;1 1 21123 , ;13121134,1413 12当 时 ,当 时 ,当 时当 时观察可得，数列的前 4项都等于相应序号的倒数。由此猜想，这个数列通项公式为 1na n* 1练 习 ： f ( n ) = 1 + + + + ( n N ) 计 算 得2 3 2 ) = , f ( 4 ) 2 , f ( 8 ) , f ( 1 6 ) 3 ,22推 测 当 n 2 时 , 有7( 3 2 )2,LL类比推理 发明了锯 发明了潜水艇 . 发现火星与地球有许多类似的特征 ; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星 ; 2)有大气层 ,在一年中也有季节变更 ; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存 ,等等 . 科学家 猜想 ;火星上也可能有生命存在 . 4)利用平面向量的本定理类比 得到 空间向量的基本定理 . 在两类不同事物之间进行对比 ,找出若干相同或相似点之后 ,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式 , 称为 类比推理 .(简称 ;类比 ) 类比推理的几个特点 ; 推测正在研究的事物的属性 ,是以旧有的认识为基础 ,类比出新的结果 . 单它却有发现的功能 . 圆的概念和性质 球的概念和性质 与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等 ,距圆心较近的弦较长 以点 (x0,圆心 , +( = 心与弦 (非直径 )中点的连线垂直于弦 球心与不过球心的截面 (圆面 )的圆点的连线垂直于截面 与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积不相等 ,距球心较近的面积较大 以点 (x0,y0,球心 , +(+( = 用圆的性质类比得出求的性质 球的体积 34V = 2S = 4 S = 22S =：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想 a b c o A B C s1 s2 s3 c2=a2+2 2 2 想 : 例 2:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片 . 按下列规则 ,把金属片从一根针上全部移到另一根针上 . 个金属片 ; 试推测 ;把 号针移到 3号针 ,最少需要移动多少次 ? 解 ;设 当 n=1时 , 当 n=2时 ,3 1 2 3 当 n=1时 , 当 n=2时 ,3 解 ;设 当 n=3时 ,7 当 n=4时 ,15 猜想 2n 2 3 例 3:(2001年上海 )已知两个圆 x2+:与 =1,则由 式减去 式可得上述两圆的对称轴方程 即要求得到一个更一般的命题 ,而已知命题应成为所推广命题的一个特例 ,推广的命题为 (+(= (+(=ac 或 设圆的方程为 bd), 则由 式减去式可得上述两圆的对称轴 方程 . 复习 :合情推理 归纳推理 类比推理 从具体问题出发 观察 、 分析 比较 、 联想 提出猜想 归纳 、 类比 类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。 复习 :合情推理 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； 提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。 归纳推理的一般步骤： 观察与是思考 整除 , 所以铜能够导电 . 因为铜是金属 , 所以 (2100+1)不能被 2整除 . 因为 (2100+1)是奇数 , 所以是 周期函数 因为 三角函数 , 那么三角形 1 如果三角形 1 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为 演绎推理 注： 演绎推理是由 一般 到 特殊 的推理； “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式；包括 大前提 小前提 结论 特殊情况做出的判断 “ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式；包括 大前提 小前提 结论 特殊情况做出的判断 用集合的观点来理解 : 若集合 ,的一个子集 ,那么 . M S a 那么三角形 1 如果三角形 1 那么三角形 1 如果三角形 1 想一想 ? 例 在锐角三角形 D,求证 到 D, A D E C M B (1)因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形 , 在 C, 即 00 所以 同理 (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 , t 所以 2同理 2所以 前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论 证明 : 例 :证明函数 f(x)=- ,1上是增函数 . 满足对于任意 x1,D,若 因为 x1,1所以 x1+ , f ( x ) = + 是 R 上 的 偶 函 数a 求 a 的 值 ；2 ） 证 明 f ( x ) 在 ( 0 , + ) 上 是 增 函 数 。【 思考下列问题 】 如图所示：已知 , 于 求证：, B 由已知开始，结合定理推理，得出结论 综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、 公理等，经过一系列的推理论证，最后推导 出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。 条件 结论 数学推理 条件 定理 公理 定义 【 例 1】 在 个内角 A , B , 分别是 a , b , c ，且 A , B , C 成等差数列， a , b , c 成等比数列。 求证： 【 分析 】 条件是什么？ A , B , C 成等差数列 2B = A + C a , b , c 成等比数列 a c 【 例 2】 设 a 0， 是 （ 1）求 a 的值； （ 2） 证明 f(x) 在（ 0， ）上是增函数 )(【 巩固练习 】 s i nt a n,s i nt a ss i （：求证已知、求证：8)11)(11)(111,3证：、已知的值。求两点。、与抛物线交于过焦点的弦、已知抛物线212122112),(),(,)0(24【 作业 】 1、 2 1 【 温故知新 】 已知 a、 b、 求证：求证：若【 探究 】 B C，求证： B C D E 目标： C 为 为 C B C 【 分析法 】 为 为 C B C 目标： C 为 为 C B C 【 分析法 】 从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。 要证： 只要证： 只需证： 显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立 要证： 所以 结论成立 格 式 【 例 2】 设 a , b , c 为一个三角形的三边长。 ,2,)(21 2 求证：且【 例 1】 求证：当一个圆与一个正方形的周长 相等时，圆面积比正方形面积大。 【 例 3】 如图： 过 足为 E，过 C 的垂线，垂足为 F。 求证： ,平面A S B C E F 【 练习 】 1、证明： 2、求证： 5273 2121,022 若),(3212212【 作业 】 同步导学 4、 8 4231,4证：已知补充题：【 探究 2】 已知 a 0 , 关于 x 的方程 a x = b 有解吗？ 【 探究 1】 将 9个球分别染成红色或白色 无论怎样染色，至少有 5个球 一 定是同色的。正确吗？ 反 证 法 解唯一吗？ 用反证法证题的一般步骤 （ 1）假设命题的结论不成立，即假设 结论的反面成立； （ 2）从这个假设出发，经过推理论证 , 得出矛盾； （ 3）由矛盾判定假设不成立，从而肯 定命题的结论正确。 适宜使用反证法的情况 （ 1）结论以否定形式出现 （ 2）结论以“至多 ，“至少 形式出现 （ 3）唯一性、存在性问题 （ 4） 结论的反面比原结论更具体更容易 研究的命题。 【 例 1】 给定实数 设函数 求证：经过函数图像上任 意两个不同点的直线 不平行于 10, )1,(11)(常见否定用语 是 不是 有 没有 等 不等 成立 不成立 都是 不都是，即至少有一个不是 都有 不都有，即至少有一个没有 都不是 部分或全部是，即至少有一个是 唯一 至少有两个 至少有一个有（是） 全部没有（不是） 至少有一个不 全部都 41)1(,)1(,)1(,)1,0(,2不能同时大于求证：已知】【例恒成立。使得在整个定义域内，找不到正数对于函数】【例|)(|,1)(3【 方法总结 】 推出矛盾，可通过特殊 值进行说明。 1、如果一条直线经过平面内一点，又经过平 面外一点，则此直线与平面相交。 【 试一试 】 2、证明： 132 则若3、已知方程 2x = 3 ，求证方程有且只有一根 【 作业 】 练习 1、 2 3 数系的扩充 创设情景，探究问题 自然数 整数 有理数 实数 ？ 因度量的需要 N Z Q R C A 1 D B x 1 A B C D 1 1 E F A B C F D 222 2 设 古老 的问题 :“正方形的对角线是个奇怪的数” 则可用反证法证明 在有理数集 中 无解 022 1=0在实数集范围内无解 12 得它在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ 思考？ 12 合情推理，类比扩充 现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： （ 1） 1； （ 2） 实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率 (包括交换率、结合率和分配率 )仍然成立。 引入新数，完善数系 复数 Z=a+a R， b R )把实数 a， 复数的实部和虚部 。 1、 定义 :形如 a+a R， b R）的数叫复数 ,其中 数单位 。 全体复数所组成的集合叫复数集，记作 C。 注意 : 复数通常用字母 复数 a+ （ a R， b R)可记作 :z =a+ a R， b R），把这一表示形式叫做复数的代数形式 。 复数有关概念 实部 ),( 虚部 其中 称为虚数单位。 讨论 观察复数的代数形式 当 a= 0 且 b= 0 时，则 z=0 当 b= 0 时，则 当 b 0 时，则 当 a= 0 且 b 0时，则 2、复数 a+)0 0 )0)0 0 ) 实 数 (纯 虚 数 ( ，虚 数 (非 纯 虚 数 ( ，数集，实数集，纯虚数集之间的关系？ 思 考？ 复数集 虚数集 实数集 纯虚数集 复数的分类 1、说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。 72 618.0 31 +8 0 2、判断下列命题是否正确： （ 1）若 a、 z=a+（ 2）若 z=（ 3）若 z= a 一定不是虚数 即时训练，巩固新知 i 典例讲解，变式拓展 例 1:当 数 是 （ 1）实数 （ 2）虚数 （ 3）纯虚数 1(2 22 变式 1:复数 当实数 m= 时 当实数 m= 时 。 1(12 22变式练习 : 实数 数 z=m+1+(i 是（ 1）实数？ （ 2）虚数？ （ 3）纯虚数？ 解 :（ 1） 当 0 ，即 m=1 时，复数 z 是实数 （ 2） 当 ，即 m1 时，复数 z 是虚数 （ 3） 当 1010即 时，复数 z 是 纯虚数 1m 复数相等的定义 根据两个复数相等的定义 ， 设 a, b, c, d R， 两个复数a+c+等规定 为 a+= c+ 如果两个复数的实部和虚部分别相等 ,我们就说这两个复数相等 . 两个复数不能比较大小 ， 只能由定义判断它们相 等或不相等 。 例 2 已知 ，其中 求 x与 y? 3()12( ,1、若 x， 求 x， y 222 解题思考： 复数相等的问题 转化 求方程组的解的问题 一种重要的数学思想： 转化思想 变式 2、已知两个复数 y+1)+(x,变式 3、已知实数 2i=y,求 x,y。 ),( 复数的代数形式 : 复数的实部 、虚部 复数相等 复数的分类 你能否找到用来表示复数的 几何模型 呢？ x o 1 实数可以用 数轴 上的点来表示。 一一对应 规定了 正方向， 直线 数轴 原点， 单位长度 实数 数轴 上的点 (形 ) (数 ) (几何模型 ) 复数 z=a+序实数对 (a,b) 直角坐标系中的点 Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 （数） （形） (简称 复平面 ) 一一对应 z=a+念辨析 例题 平面向量 何意义 : 能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ X O A a | a | = | 实数 到原点 x O z=a+bi y | z | = |复数的绝对值 (复数的模 ) Z (a,b) 0)(a 0)(a 复数 z=a+(a,b)到原点的距离。 例 3 求下列复数的模： (1)5i (2)3+4i (3)3)满足 |z|=5(zC) 的 思考： (2)满足 |z|=5(zR) 的 (4)+mi(m R) (5)a0) (1)复数的模能否比较大小？ 这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 图示 关于无理数的发现 古希腊的 毕达哥拉斯学派 认为 , 世间任何数都可以用整数或分数表示 ,并将此作为他们的一条信条 这个学派中的一个成员 希伯斯 突然发现边长为 1的正方形的对角线是个奇怪的数 ,于是努力研究 ,终于证明出它不能用整数或分数表示 于是毕达哥拉斯命令他不许外传 毕达哥拉斯大怒 ,要将他处死 然而还是被抓住了 ,被扔入了大海 ,为科学的发展献出了宝贵的生命 被称为 无理数 导致了第一次数学危机 ,为数学的发展做出了重大贡献 . 数系的扩充 创设情景，探究问题 自然数 整数 有理数 实数 ？ 因计数的需要 因不够减的需要，引入负数 因测量、分配中的等分问题引入分数 (分数集 有理数集 循环小数集 ) 实数集 小数集 不循环小数循环小数因度量的需要 提出问题： 根据前面数系扩充的资料你能设想一种方法，使方程 1 =0有解吗 ? 提示 :每一次数的扩充都是在遇到了用原有的数系不能表示所要解决的问题时，引入新数来表示新的问题的。 合情推理，类比扩充 前面我们学习了复数的概念及其几何意义： O z:a + r=|z| z=a+示向量： )0(|22 下面我们就来进一步讨论复数的运算性质 规定 1：复数的加法规则： z1=a+bi,z2=c+么 (a+(c+(a+c)+(b+d)i 因此，两个复数的和仍然是一个确定的复数 复数的加法满足交换律和结合律吗？ ， z1,z2,R，有： z1+z2=z2+z1+z3=z2+(交换律 ) (结合律 ) 2加法的 几何意义 ： z1=a+bi,z2=c+di x y o z1=a+bi z2=c+ 如何理解复数的减法？ z=a+bi,z1=c+ z1+z2=z,则 z2=x+z1+z2=z (c+x)+(d+y)i=a+bi x=y= x y o (i z1=c+ 5(3+4i) 解 原式 (5(i =定 2:复数的乘法法则： 因此，两个复数的乘积仍然是一个确定的复数， 它和多项式的运算规则一致 复数的乘法是否满足 交换律 、 结合律 以及对加法的 分配律 ？ 复数的乘法法则： 设 ， 是任意两个复数，那么它们的积 1 2c )()( 2我们比较容易证明这些性质： z1z 2=z2z 1 (z1z 2) z3=(z2z 3) z1(z2+ 2 计算 )2)(43)(21( 解： )(211()2)(43)(21(例 3 求 )( 解： 2222222 )()(两个 共轭复数 的积是一个实数，这个实数等于每个复数的模的平方，即 22 | 个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数复数 z若 z a bi(a， bR) ，则 z a 共轭复数所对应的点关于实轴对称容易证明有以下特点： nn 21211. 2. 3. 4. 2121 nn 21212121 () 例 4 设 ，求证： （ 1） ；（ 2） 21 01 2 证明： （ 1） 22 )2 321()2 321(11 ;04323412321 23(23212)21(2321 33 )2321( i)2 321()2 321( 2 )2 321)(2 321( 22 )23()21( i14341 (2) 复数的乘方： 对任何 及 ，有 21 , )(121 )( 12 23 134 1特殊的有： 一般地，如果 ，有 3424144 ,1,1 实数的除法是其乘法的 逆运算 ，而向量是 没有除法运算 的，那么复数的除法运算情况怎样的呢？ 复数的除法法则为： )0()()()()(2222例 4 计算 （ 1 ） （ 2 ） 分析：可按复数乘、除法运算法则进行计算 解：（ 1 ） （ 2 ） 例 5 计 算 分析：复数的运算顺序也与实数的运算顺序一样，是先进行高级运算（乘方、开方），再进行次级运算（乘、除），最后进行低级运算（加、减）。如 的幂运算，先利用 的害虫的周期性 ，将其次数降低，然后再进行四则运算。 解：原式 例 6 计算 。 解法 1 ：原式 解法 2 ：原式 小结：一定要熟记 ， ， ， 等 练习 1 计算 分析：对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速简捷少出错的效果。比如， ， ， ， ， 等等。 解：原式 练习 2 当 时， 的值等于（ ） A 1 B 1 C D （ 199 3 年全国高考试题 ） 分析：将已知式两端平方有 。将 代入被求式求 。 解： ， 应选 D 。 注意：在熟悉 的基础上，由 变形为 ，即化简了已知条件，同时又便于代入被求式求值。 练习 3 复数 等于（ ） A B C D 分析： 可利用 ； 与 形式非常接近，可考虑 ，利用 的性质去简化计算。 解： 在必修 3我们学习了算法的程序框图，在本章中，我们将继续学习利用流程图来刻画数学问题以及其他问题的解决过程。 流程
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