高中数学第3章四种命题的关系全套课件新人教版选修2(精品打包)
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高中数学
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综合问题 例 1 如图,直四棱柱,底面是边长为 4 且 0的菱形,D=O, 11, E 是中点 . 求点 E 到平面 距离 . 17 解法一 在 , 中位线, 面 线 过 O 作 H,则 点 O 到面 距离, E 到面 距离等于 1) 面 建立如图所示的空间直角坐标系(如图) 底面 边长为 4, 0的菱形, 3 , , 则 A( 2 3 , 0, 0), B( 0, 2, 0), C( 2 3 , 0, 0), 0, 0, 3) 设平面 法向量为1n=( x, y, z), E 1 C B A 1n1n1 2 3 02 3 3 0 ,则 z=2,则 x= 3 , y=3, 1n=( 3 , 3, 2) , 设点 E 到平面 距离为 d, E 是 中点,1 3 , 0, 32),则 d=2323)3(|)2,3,3()23,0,3(|22211 n 点 E 到面 距离等于 32. 例 2. 如图,四边形 矩形,且 4 , 2A D A B ,P A A B C D 平面 , E 为 的动点 . (1) 当 E 为 中点时,求证: P E D E ; (2) 设 1,在线段 存在这样的点 E,使得二面角 P E D A 的大小为4 . 试 确定点 E 的位置 . 19. 方法一 : (2) 证明:当 E 为 点时, 1D,从而 等腰直角三角形,则 45,同理可得 45, 90,于是 E , 2分 又 P A A B C D 平面 ,且 D E A B C D 平面 , E , D E 平面 ,又 平面 , E . (也可以利用三垂线定理证明,但必需指明三垂线定理) (2) 如图过 A 作 E 于 Q ,连 ,Q ,则E , 为二面角 P 的平面角 . 8 分 第 19 题图 C D B A P E E x ,则 2CE x . , , 1 t P A Q P Q A A Q P 在中 2, 1 , , ,R t A B E A E x R t A Q E E Q x 在 中 在 中 3,R t A Q D D Q在中 于是 3DE x 中,有 22( 3 ) ( 2 ) 1 解之得 23x 。 点 E 在线段 点的 32 处 . 方法二 、向量方法 为原点, ,D 在直线为 ,轴,建立空间直角坐标系,如图 . 1分 ( 1)不妨设 AP a ,则 ( 0 , 0 , ) , ( 1 , 1 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 )P a E D, 从而 (1 , 1 , ) , (1 , 1 , 0 )P E a D E , 4分 于是 (1 , 1 , ) (1 , 1 , 0 ) 1 1 0P E D E a , 所以 ,E 所以 E ( 2)设 BE x ,则 ( 0 , 0 , 1 ) , ( 1 , , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 )P E x D, 则 (1 , , 1 ) , (1 , 2 , 0 )P E x D E x . 易知向量 (0, 0,1)为平面 一个法向量 . 设平面 法向量为( , , )n a b c ,则应有 0,0,n E 即 0( 2 ) 0a bx ca b x 解之得 2,令 1,b 则 2c , 2 , 从而 ( 2 ,1, 2 ) , 依题意 2c o P ,即2222( 2 ) 5x ,解之得1 23x (舍去),1 23x ,所以点 E 在线段 距 B 点的 32 处 . 例 3如图,在四棱锥 P ,侧面 正三角形,底面 正方形,侧面 面M 为底面 的一个动点,且满足 C,则点 M 在正方形 的轨迹为 ( ) 15. P 是二面角 棱 的一点 ,分别 , 在内引射线 N,如果4 5 , 6 0B P M B P N M P N ,则二 面角 的大小是 . 15. 90 20( 07 浙江文) 在如图所示的几何体中, 平面 平面 C ,且 2A C B C B D A E , M 是 中点 ( 1)求证: M ; ( 2)求 平面 成的角的正切值 20 方法一: ( 1)证明:因为 C , M 是 中点, E D C M A B 所以 B 又因为 平面 所以 M ( 2)解:连结 设 AE a ,则 2B D B C A C a , 在直角梯形 , 22AB a , M 是 中点, 所以 3DE a , 3EM a , 6MD a ,因此 M 因为 平面 所以 M ,因此 平面 故 是直线 平面 成的角 在 中, 6MD a , 3EM a , t a n 2 方法二: 如图,以点 C 为坐标原点,以 x 轴和 y 轴,过点 C 作与平面 直的直线为 z 轴,建立直角坐标系C ,设 EA a ,则 (2 ), , , (0 2 0), ,(2 0 )E a a, , (0 2 2 )D a a, , , ( 0)M a a, , ( 1)证明:因为 ()E M a a a , , , ( 0 )C M a a , , , 所以 0M ,故 M ( 2)解:设向量001 , ,n=与平面 直,则 EMn , CMn , 即 0EMn , 0CMn 因为 ()E M a a a , , , ( 0 )C M a a , , , 所以0 1y ,0 2x ,即 1 1 2 , ,n= ,因为 ( 2 2 )D E a a a , , 6c o ,平面 成的角 是 n 与 角的余角, 所以 17. 如图,在棱长为 2 的正方体 E、 F 分别为 中点, ( 1)求证: ( 2)求二面角 E A 的大小; ( 3) 求三棱锥 体积 . 17 解:( 1)连结 D C M A B x 平面 射影,并且 垂线定理) . 又在 , E、 F 分别为 ( 2)以 A 为原点, 别为 x、 y、 z 轴,建立空间直角坐标系,则易知各点的坐标分别为: A( 0, 0, 0) E( 1, 1, 0) F( 2, 0, 1) 0, 1, 2) )2,2,0(),1,0,2(),0,1,1( 1 面 是平面 法向量 . 设平面 法向量 n=( x, y, z),则 022)2,2,0(),(02)1,0,2(),(1 令 x=1 得 z= 2, y=2 即 n=( 1, 2, 22.c o s 面角 E A 的平面角为锐角, 二面角 E A 的大小为 45 ( 3)由( 1)知, 显然 面 是三棱锥 F 高,又 面 三棱锥 F 易求得 6.,2,3. 122 三棱锥 体积 1. E 一个多面体的直观图及三视图如图所示:(其中 M、 N 分别是 中点) . ( I)求证: 面 ( 二面角 D 20解:由三视图可知,该多面体是底面为直角三角形的直三棱住 且 C=, F=2 1)取 点 G,连 M、 F、 中点可得, 平面 面 面 ( 2)建立空间直角坐标系,如图, 则 A( 0, 0, 0), B( 2, 0, 0), D( 0,0, 2), F( 2, 2, 0) M( 1, 1, 0), C( 2, 0, 2), N( 2, 0, 1), ),2,1,1( )1,0,0( ),1,1,1( 设平面 ,1( 则 0,0 则,2,3,01,021)2,3,1(m ; 设平面 ,1( 11 ,00 则 )0,1,1(001111 设二面角 D ,则 |c o s| 二面角 D 772 变式: 如图, 面 D 为 中点 ,C=1,2 ,求二面角 A 解: 变式 :解 :向量 夹角的大小就是二面角 A C 的大小,如图建立空间直角坐标系 C A( 1, 0, 0), B(
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