高中数学第3章四种命题的关系全套课件新人教版选修2（精品打包）
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高中数学
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空间“角度”问题 A 平面的法向量： 如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做 平面 的 法向量 . nnn 和一个向量 ,那么过点 A,以向量 为法向量的平面是完全确定的 . 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 0问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？),()1( 设出平面的法向量为),(),()2(222111 向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,)3(得法向量。解方程组，取其中的一)4( 2 , 2 , 1 ) , ( 4 , 5 , 3 ) ,A B A C A B C例 2 ： 已 知 求 平 面 的单 位 法 向 量 。n x y z解 ： 设 平 面 的 法 向 量 为 （ ， ， ） ，( 2 , 2 , 1 ) 0 ( 4 , 5 , 3 ) 0 ,n A B n A Cx y z x y z 则 ，（ ， ， ） ， （ ， ， ）2 2 0,4 5 3 0x y zx y z 即11 21 取 ， 得1( , 1 , 1 ) ,2n 3|2n 1 2 2 ( 3求 平 面 的 单 位 法 向 量 为 ， ， ）1 设直线 ,方向向量分别为 ,l am l am b 若两直线 所成的角为 , 则 , 0 )2 c o 复习引入 方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （ 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 ）的夹角 。 如图 （ 2） ， 设二面角 的大小为 其中 l , ,c o sc o s D C L B A 2、二面角 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 L 二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 。如图 ， 向量 ， 则二面角 的大小 ， l , 2、二面角 若二面角 的大小为 , 则 l( 0 ) c o s 法向量法 21 2 )0,20( 21 A B n 221 213. 线面角 设 的法向量，直线 所成的角为 ，向量 与 ， 则 1 n 而利用 可求 ， 从而再求出 212c o s 3. 线面角 uaul a设直线 ， 平面 的法向量为 ， 且直线 与平面 所成的角为 ( ),则 a 02 s i 2、如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是 a=（ 1， 0， 1）， b=（ 0， 1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 _ . 3、已知两平面的法向量分别 m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为 _ . 基础训练 : 1、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),则平面_ . 350 1N |s in|解：如图建立坐标系 (0 , 0 , 0 ) ,A )6,2,6(51 3,4,0(N),0(),6,2,6( 由的法向量设平面 ),( 000340626在长方体 中， A D A N 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 ： 1 1 1 1A B C D A B C D1 1 1 2,M B C B M 为 上 的 一 点 , 且 1N A 线 段 上 ，1 5,61 ,6 1N )34,1,1( n得,34343)34(118|0810|222( 0 , 8 , 0 ) ,又 A D A N 面 所 成 角 的 正 弦 值 是34343|s in| 在长方体 中， A D A N 平 面 所 成 的 角 的 正 弦 值 ： 1 1 1 1A B C D A B C D1 1 1 2,M B C B M 为 上 的 一 点 , 且 1N A 线 段 上 ，1 5,61 ,6 、如图，在四棱锥 面 面 底面 知 ， ， B= . (1)求证 (2)求直线 04522 B CS A B C D O x y z 【 典例剖析 】 例 3 如图 ,在四棱锥 P 面 棱 底面 B=1, ，在线段 ,使 50? 若存在，确定点 不存在说明理由。 【 典例剖析 】 3D B A C E P x z y ( 0 , 0 , 1 ) , ( 3 , 0 , 1 ) , ( 3 , 1 , 0 )A P D P D E m ( , , ) ,3 0 , 3 ,( 3 ) 0 , ( 3 ) ,P D E n x y P n D Ex z z xm x y y m x 设平面 的法向量为则解得1 , (1 , 3 , 3 ) ,x n m 令得234 5 s i n 4 5 ,4 ( 3 )P A P D 与平面 所成角的大小为3 2 3 23 2 4 5 P A P D E 解得 或 （舍），因此，当 时， 与平面 所成角的大小为 。解：以 轴、 立空间直角坐标系， ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( , 1 , 0 ) ,A P D E E=m，则 例 4、 (2004，天津 )如图所示，在四棱锥 面 棱 底面 C， (1)证明： 平面 (2)求 【 典例剖析 】 A B C D P E G x y z 【 巩固练习 】 1 三棱锥 A A=C, ,则 _ . 2 直三棱柱 , C=1, 则 角的余弦值
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