高中数学第3章四种命题的关系全套课件新人教版选修2（精品打包）
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高中数学
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1 练习 题 求两点间的距离 课本例 3 引入 例 1的思考(3)再尝试 练习 3 立体几何中的向量方法 ( 四 ) 2008 向量法 解立体几何问题的优点 : 1. 思路容易找 , 甚至 可以公式化 ； 一般充分结合图形发现 向量关系或 者求出( 找出 ) 平面的法向量、直线的方向向量，利用这些向量借助向量运算就可以解决问题 . 2. 不需要添辅助线和进行困难的几何证明 ; 3. 若 坐标系容易建立 , 更是水到渠成 . 立体几何中的向量方法 ( 四 ) 3 用向量法解空间图形问题 课本第 114 页例 1 的 思考 (3) 的再尝试 : 已知平行六面体1 1 1 1A B C D A B C A A A B A D 且11 60B A D B A A D A A 求点1距离 . 1 1 A B C D 分析 : 有现成的1只要再找出平面 一个法向量即可 ! 怎么找 ? 注意到任一向 都可以用基向量1 、 、 A A A B A 可 考虑 用 待 定 系数 法 找 一 个 法 向 量 . 析 : 要求 长可以 转化为 求模的大小 . 课本例 2的学习 用向量法解空间图形问题 课本第 116页练习 2的思考 :(求两点间的距离向量法思路 ) 如图 ,60 的二面角的棱上有 A、 直线 且都垂直 知 4,8,求 B A C D 怎么求 ? 显然直接 求 不来 , 这时可以 结合图形发现 其他已知 向量来表示的关系 式 , 从而求 化为其他已知向量的运算使问题获解 . 由图可知 C D C A A B B D 有 了 ! 注 : 利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二面角的大小 . 例如课本第 115 页例 2 5 第 115页的思考解答 (由学生课外学习 ) 课本 例 处，乙站在水坝斜面上的点 A， （库底与水坝的交线）的距离 和 , la b c 如图， . ，化为向量问题 由图可知有向量关系 A B A C C D D B 进行向量运算尝试 2 2()A B A C C D D B 2 2 2 2 ( )A B C D B D A C C D A C D B C D D B A B C D 求解 目标 : 库底 与水坝所成的二面角的余弦值即 夹角的余弦值 . c o s , C A D B C A D D B D B , 只要求出 C A D B 即可 . 刚才的 式子把有关数据代入 就能求出 C A D B , 搞 定 ! 2 2 2 2 2d a c b C A D B 用向量法解空间图形问题 6 课本第 115页例 2的思考 (2) 如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析： 如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 1 1 A B C D ， 22211()d A C A B B C C C 2 2 2 2 ( ) c o sa c b a b b c a c )(2co s 2222 则 用向量法解空间图形问题 7 课本第 115页的思考 (3) 如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗？ a1 1 A B C D 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解： 如图，在平面 过 点 E， E F 在平面 作 F。 c o s s i n 1 ，则11 c o s c o s c o s E A F C A E C F ， ，11| | | |A E C C F 122( ) ( )s i A E C B B 2 2 2 2 222c o s c o s c o s ( ) c o s c o s ( ) c o ss i na a a co s 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 8 思考课本第 116 页例 3 如图 , 一块均匀的正三角形面的钢板的质量为500 它的顶点处分别受力1F、2F、3F，每个力与同它相邻的三 角 形 的 两 边 之 间 的 夹 角 都 是 60 ，且1 2 3 200F F F k g. 这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ 向量法 (坐标化 ) 不建坐标系怎么解 z x y 分析 : 钢板所受重力的大小为500 直向下作用在三角形的中心 O ，如果能将各顶点出所受的力1F、2F、3出其合力，就能判断钢板的运动状态 . 2 C B O 500 解： 如图， 以点 A 为原点 , 平面 x A y 坐标平面， 向为 y 轴正方向 , y 轴的单位长度，建立空间直角坐标系 A x y z , 则正三角形的顶点坐标分别为 设 1F 方向上的单位向量坐标为 ( , , )x y z ， 由于 1F 与 夹角均为 60 ， 1 3 1c o s 6 0 ( , , ) ( , , 0 )2 2 21c o s 6 0 ( , , ) ( 0 , 1 , 0 )2x y zx y z 又 2 2 2 1x y z 由可解得 112x , 12y , 23z . 1 1 1 22 0 0 ( , , )1 2 2 3F 同法可求得2 1 1 22 0 0 ( , , )1 2 2 3F ,3 122 0 0 ( , 0 , )33F ( 0 , 0 , 0 )A , ( 0 , 1 , 0 )B , 31( , , 0 )22C 合力 1 2 3F F F 1 1 2 1 1 2 1 22 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , 0 , )1 2 2 3 1 2 2 3 3 3 2 0 0 ( 0 , 0 , 6 ) 这说明，作用在钢板的合力方向向上 , 大小为 2 0 0 6 作用点为 O . 由于 2 0 0 6 5 0 0 , 所以钢板仍静止不动 要提起这块钢板 , 设1 2 3F F F= x , 则需 6 5 0 0x , 解得 5006x ， 因此 , 要提起这块钢板 , 1F 、 2F 、 3F 均要大于 5006 10 合力就是以1F、2F、3 如图所示 ) 3 1 3 A C B O 5001 2 11 1答案 2答案 : 三棱柱111A B C A B 90,1B C C A C C,、 1 1、A B A 求1 用向量法解空间图形问题 练习 2 : 如图 , 一直角梯形 ,90, 平面 S A A B B C =1, 12, 求平面 S C D 与平面 S B A 所成的 锐二面角的余弦值 . 作业 : 自学 课本 118P 例 4 12 点 直角坐标系 如图所示， 设 则 1 1( 1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) , )1,21,21(),1,0,21(11 ,21,21(,)1,0,21(11 10302345|141|111111c o s ,A F B D| | 所以 与 所成角的余弦值为 1 : 三棱柱111A B C A B 90 ,1B C C A C C, 、分别是棱1 1 1 1、A B A 求1 13 建 立 空 直 角 坐 系 A - x y z 如 所 示 ,),0,21,0(0,0,0), C (- 1,1,0), (0, 0,1)S)1,21,0(),0,21,1( ),0,21,0(1 A的法向量易知，面2 ( , , ) ,S C D n x y z的 法 向 量 22 ,n C D n S D由 得 ：设平面 0202,2,1(2 n解得： ,36|,c o 。是即所求二面角的余弦值36x y z 练习 2 : 如图 , 一 直 角 梯 形 ,90, 平面 S a A B B C =1, 12, 求平面 S C D 与平面 S B A 所成的锐二面角的余弦值 . 14 z x y A B C ,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,0,0(, 1y 解：如图建立坐标系 ),4,2,2(),0,1,1( 1 则的公垂线的方向向量为设 ).,(, 1 100n C B即 02 2 4 0y
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