高中数学第3章四种命题的关系全套课件新人教版选修2（精品打包）
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高中数学
章四种
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例 2： 如图 3，甲站在水库底面上的点 站在水坝斜面上的点 A， （库底与水坝的交线）的距离 和 , 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 la b c 如图， . ，化为向量问题 根据向量的加法法则 进行向量运算 222 )( )(2222 2222 2222于是，得 22222 设向量 与 的夹角为 ， 就是库底与水坝所成的二面角。 B 因此 .c 222 A B C D 图 3 所以 o 回到图形问题 库底与水坝所成二面角的余弦值为 例 2： 如图 3，甲站在水库底面上的点 站在水坝斜面上的点 A， （库底与水坝的交线）的距离 和 , 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。 la b c （ 1）本题中如果夹角 可以测出，而 其他条件不变，可以计算出 A B C D 图 3 22 )( 由)(2222 分析： c o 可算出 长。 （ 2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？ 分析： 如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。 1 1 A B C D ， 22211 ( )d A C A B B C C C 则c o s)(2222 )(2co s 2222 （ 3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个面夹角的余弦值吗？ a1 1 A B C D 分析： 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 解： 如图，在平面 过 点 E， E F 在平面 作 F。 c o s s i n 1 ，则 c o s c o sc o s 11 ，| 11221s i n)()(2222222s i nc o s)c o s (c o s)c o s (c o sc o co s 可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。 练习： （ 1）如图 4， 60 的二面角的棱上有 A、 线 都垂直 知 4， 6， 8，求 B 图 4 A C D （ 2）三棱柱 面是边长为 2的正三角形， 45 ， 60 ，求二面角 1 A B C 1 5 如图 6，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱 上的动点，且 。 （ 1）求证： ； （ 2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。 a B C O C B A O A B C E F 图 6 ？时，才能提起这块钢板少动？这三个力最小为多力的作用下将会怎样运这块钢板在这些，且是角形的两边之间的角都每个力与同它相邻的三力，在它的顶点处分别受质量为角形面的钢板的如图，,50033213212 C B O 5001 3 A C B O 500kg z x y )1,23(),0,1,0(),0,0,0(,xy 向为平面，坐标为为原点，平面解：如图，以点2 C B O 500kg z x y ),0,1,0(),(2160c o ,(11 的数量积运算，得，利用向量的夹角均为与由于为方向上的单位向量坐标设力),0,21,23(),(2160co s21,121 2 C B O 500kg z x y 32,1222 此又因为)32,21,121(2 0 01 2,0,31(200)32,21,121(200322 C B O 500kg z x y )6,0,0(2 0 0)32,0,31()32,21,121()32,21,121(2 0 0321 它们的合力所以钢板仍静止不动。由于作用点为大小为的合力方向向上，这说明，作用在钢板上,5 0 062 0 0.,62 0 0 如图 3 - 5 ， 已知两条异面直线所成的角为 ， 在直线 a 、 b 上分别取 E 、 F ，已知 A E = m ， n ， l ，求公垂线 A A 的长 d . 解： ， )()(2 ,， = （或 ）， 22222 2 2 2 2 c o sm d n m n ， 当 E , F 在公垂线同一侧时取负号 当 d 等于 0 是即为“余弦定理” 2 2 22 c o sd l m n m n 例 4 如图，在四棱锥 面 棱 底面 C, . (1)求证： 平面 2)求证： 平面 3)求二面角 A B C D P E C D P E Z G 解：如图所示建立空间直角坐标系，点 (1)证明：连结 ,连结 1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) ,11( 0 , , )22 意 得)021,21( ，的坐标为故点是此正方形的中心，所以点是正方形，因为底面 C C D P E Z G )21,0,21(),1,0,1( ，即所以 E D 面且平面而 ,E D 面所以， /A B C D P E Z G )1,1,1(),0,1,1(2 明：依题意得（021210),21,21,0( 又所以,且由已知E F 面所以 A B C D P E Z G 的平面角。是二面角故）可知由（）解：已知（ ,2,3)1,(),( 的坐标为设点 因为( , , 1 ) ( 1 , 1 , 1 )( , , )x
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