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高中数学 指数函数 教案 打包 11 十一 新人 必修

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高中数学《指数函数》教案（打包11套） 新人教A版必修1,高中数学,指数函数,教案,打包,11,十一,新人,必修

内容简介：

用心 爱心 专心 1 ） 教学目标： 巩固指数函数的概念和性质 教学重点： 指数函数的概念和性质 教学过程： 本节课为习题课 ,可分以下几个方面加以练习 : 备选题如下 : 1、 关于定义域 （ 1）求函数 f(x)= 191 x 的定义域 （ 2）求函数 y=1151 （ 3）函数 f(x)=3 x 1 ( ) ，值域是 R ，值域是 (0， + ) ，值域是 ( 1， + ) （ 4）函数 y=1511 _ (5) 求函数 y= 1定义域 (其中 a 0且 a 1) 2、 关于值域 （ 1） 当 x 2,0时，函数 y=3x+1 2的值域是 _ （ 2） 求函数 y=4x+2x+1+1 的值域 . （ 3） 已知函数 y=4x 3 2x+3的值域为 7,43，试确定 (4)y=133值域是 ( ) A.(0， + ) B.( ,1) C.(0,1) D.(1,+ ) (5)函数 y=122 值域是 _,单调递增区间是 _. 3、 关于图像 （ 1） 要得到函数 y=8 2 需将函数 y=(21) ) 用心 爱心 专心 2 个单位 （ 2）函数 y=|2x 2|的图象是 ( ) （ 3）当 a 0时，函数 y=ax+b和 y= ) （ 4） 当 00且 a 1,的图象恒过定点 (1， 2)，则 b=_. （ 6） 已知函数 y=(21)|x+2|. 由图象指出函数的单调 区间并利用定义证明 . (7) 设 a、 的常数，下列命题不是真命题的是 ( ) A.y=y=a y B.若 y=y= 用心 爱心 专心 3 C.若 1,则 a1 D.若 a 2 b 2 ,则 ab 4、 关于单调性 （ 1） 若 10 且 a 1)的最值为 _. (6)已知 y=(21) 22 1，求其单调区间并说明在每一单调区间上是增函数还是减函数 . (7) 比较 5 122x 与 5 22x 的大小 5、关于奇偶性 （ 1）已知函数 f(x)=1122奇函数，则 _ （ 1）如果 821 2 =4，则 x=_ 6阶段检测题 : 可以作为课后作业 : y=ax(a0,a 1)的图象与函数 y=bx(b0,b 1)的图象关于 有 用心 爱心 专心 4 A.ab 当 a1时，任取 x axa x y=( 3 ) y=2|x|的最小值为 1 在同一坐标系中， y=2x与 y=2 A. B. C. D. 域是 (0,+ )的共有 y= 13 x y=(31)x y= x)31(1 y=3 f(x)=x(a0,a 1)，当 x1时恒有 f(x)0,a 1)的图象不经过第四象限的充要条件是 _. 2，41)既在函数 y=2ax+b 的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_,b=_. =x| 22x +x (41)x 2,x R，则函数 y=2_. 三、解答题 (共 30 分 ) 11.(9分 )设 A=am+a m， B=an+a n(m n 0， a 0且 a 1)，判断 A， 12.(10分 )已知函数 f(x)=a122x(a R)，求证：对任何 a R,f(x)为增函数 . 13.(11分 )设 0 x 2，求函数 y= 1224221 aa 最大值和最小值 . 课堂练习： （略） 小结 ： 课后作业 ：（略） 用心 爱心 专心 - 1 - 数函数的图像与性质 (二 ) 一、教学内容分析 教材地位 :指数函数是中学教材中的一个基本内容，是最重要的初等函数之一；它在反函数概念及对数函数概念的引入和学习中起关键作用；是高中教材中应用于实际最广泛的数学模型。对培养学生的数学能力、特别是形成正确的数学观念有非常积极的作用 . 教学重点 :指数函数的应用 . 教学难点 :指数函数模型的建立 . 二、教学目标设计 理解指数函数的意义，能描绘指数函数的图像，掌握指数函数的基本性质；通过实际应用，使学生获得实际问题数学化的过程体验，增强数学应用意识和能力，体会指数函 数的应用价值 . 三、教学流程设计 设置情境导入 引导探索研究 适时练习巩固 归纳总结提炼 布置课外活动 组织评价回馈 四、教学过程设计 回忆指数函数的概念、图像及性质。 指数函数 ， ， ， 的图像，请按从小到大的次序排列 0， 1 六个数 . 对指数函数图像的整体再 认识 . 揭示指数函数图像特征与底数的依赖关系 . 提供生活中符合指数函数关系的丰富背景。 y=1 1 0 y 底数 底数 1 0 y 用心 爱心 专心 - 2 - 研究以下问题 第 88 页例 4 放射性物质的残留量问题 . 研究以下问题 第 88 页例 5 存、贷款利率问题 . 研究以下问题 第 89 页例 6 人口增长问题 . 第 90 页练习 2）（进行简单分析，得到数学模型即可） . 说明 : 可以将练习问题分别搭配在例 1,例 2,例 3 上以此完成 ,起到减低难度 ,逐步提高的目的 . 可以让学生充分列举生活中遵循指数函数规律的其 他现象和事实 . 应用的领域 应用的方法、步骤 模型的计算技巧 五、教学评价设计 继续完成课内没有完成的练习 . 习题 A 组第 7 题； B 组 . 六、教学设计说明 设置恰当的问题情境是引起“探究”的逻辑起点，问题情境应具有足够的吸引力 活动的控制要有张有弛，做到高潮迭起，否则会使课堂“有效思维”量减少 由于书上现成的结论对学生的探究 会造成实质性干扰，所以探究性教学需不需要预习呢？（可能的结论是：概念性、初始性的课不预习有利于探究，其他悉听尊便） 在指数函数的性质探究过程中，学生归纳出了大量的结论，很多是课本上没有的，有些可以说是真知灼见，也颇有用处，该给这样的结论以什么样的地位或“身份”呢？（我的办法是给它们命名 就用发现者的名字 如指数函数的“马小可性质”等） 探究性教学设计不宜写详案，但“故事”发展的情节和脉络一定要勾画清楚，对探究活动可能的发展趋向要有预见性 探究性教学的价值显而易见，但其慢节奏将以牺牲进度为代价，而后 者往往是不可调和的，咋办？（这说明，探究学习只能有选择地在部分内容中施行，而要其成为主流教学方式，还有待进一步的努力！） 用心 爱心 专心 - 1 - 指数函数及其性质 教学任务： （ 1）使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； （ 2）理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （ 3）在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等 教学重点： 指数函数的的概念和性质 教学难点： 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质 教学过程： 一、 引入课题 （备选引例） 1 （合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界 关注世界人口 2000年大约是 60亿，而且以每年 增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到 100 多亿，大有“人口爆炸”的趋势为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的 7月 11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长为了控制人口过快增长，许多国家都实行了计划生育 我国人口问题更为突出，在耕地面积只占世界 7%的国土上，却养育着 22%的世界人口因此，中国的人口问题是公认的社会问题 2000 年第五次人口普查，中国人口已达到 13 亿，年增长率约为 1%为了有效地控制人口过快增长，实行 计划生育成为我国一项基本国策 1 按照上述材料中的 1%的增长率，从 2000年起， 000年的多少倍？ 2 到 2050 年我国的人口将达到多少？ 3 你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ 2 上一节中 y=x N*， x 20）能否构成函数？ 3 一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的 84%，那么以时间 留 量 4 上面的几个函数有什么共同特征？ 二、 新课教学 （一）指数函数的概念 一般地，函数 )1a,0a(ay x 且 叫做 指数函数 （ 其中 数的定义域为 R 注意： 1 指数函数的定义是一个形式定义，要引导学生辨析； 2 注意指数函数的底数的取值范围，引导学生分析底数为什么不能是负数、零和1 巩固练习： 利用指数函数的定义解决（教材 、 3） （二）指数函数 的图象和性质 问题： 你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法： 画出函数的图象，结合图象研究函数的性质 用心 爱心 专心 - 2 - 研究内容： 定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性 探索研究： 1 在同一坐标系中画出下列函数的图象： （ 1） x)31(y（ 2） x)21(y（ 3） （ 4） （ 5） 2从画出的图象中你能发现函数 的图象和函数 x)21(y的图象有什么关系？可否利用 的图象画出 x)21(y的图象？ 3从画出的图象（ 、 和 ）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？ 4你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？ 图象特征 函数性质 1a 1 1a 1 向 x、 y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 图象关于原点和 非奇非偶函数 函数图象都在 函数的值域为 R+ 函数图象都过定点（ 0， 1） 1 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 1a,0x x 1a,0x x 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 1a,0x x 1a,0x x 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速 度较慢； 5 利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （ 1）在 a， b上， )1a)x(f x 且值域是 )b(f),a(f 或 )a(f),b(f ； （ 2）若 0x ，则 1)x(f ； )x(f 取遍所有正数当且仅当 ； （ 3）对于指数函数 )1a)x(f x 且， 总有 a)1(f ； 用心 爱心 专心 - 3 - （ 4）当 1a 时，若 21 ，则 )x(f)x(f 21 ； （三）典型例题 例 1（教材 ） 解：（略） 问题： 你能根据本例说出确定一个指数函数需要几个条件吗？ 例 2（教材 ） 解：（略） 问题： 你能根据本例说明怎样利用指数函数的性质判断两个幂的大小？ 说明： 规范利用指数函数的性质判断两个幂的大小方法、步骤与格式 巩固练习： （教材 组第 7题） 三、 归纳小结，强化思想 本节主要学习了指数函数的图象，及利用图象研究函数性质的方法 四、 作业布置 1 必做题：教材 1（ 第 5、 6、 8、 12题 2 选做题：教材 1（ 第 1题 用心 爱心 专心 1 教学目标： 图象和性质 . (1)能根据定义判断形如什么样的函数是指数函数 ,了解对底数的限制条件的合理性 ,明确指数函数的定义域 . (2)能在基本性质的指导下 ,用列表描点法画出指数函数的图象 ,能从数形两方面认识指数函数的性质 . 2. 通过对指数函数的概念图象性质的学习 ,培养学生观察 ,分析归纳的能力 ,进一步体会数形结合的思想方法 . 教学重点： 指数函数的图象、性质。指数函数的图象性质与底数 教学过程： （ 1）通过问题：某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2个， 2个分裂成 4个 1个这样的细胞分裂 到的细胞个数 y与 y=2x 引出指数函数的概念：一般地，函数 y=ax(a0且 a 1)叫做指数函数，其中 数定义域是 R. （ 2）指数函数的图像和性质： 通过描点画函数图像： 首先我们来画 y=2 列出 x,描点法画出图象： x 2 1 3 y=2x 8 再来研究 01 0a1 图 象 性 质 (1)定义域： R （ 2）值域：（ 0， +） （ 3）过点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1 （ 4）在 （ 4）在 （ 3）例子 1、 比较下列各组数的大小 : (1) 和 ; (2) 和 ; (3) 和 ; (4) 和 , 用心 爱心 专心 3 2、 (1)指数函数 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 分析 :此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性 ,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线 . 解 :由 可知 应为两条递减的曲线 ,故只可能是 或 ,进而再判断 与 和 的对应关系 ,此时判断的方法很多 ,不妨选特殊点法 ,令 , 对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 . (2)曲线 分别是指数函数 , 和 的图 象 ,则 与 1的大小关系是 ( ). 用心 爱心 专心 4 分析 :首先可以根据指数函数单调性 ,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为 ,故应选 . 说明 :这种类型题目是比较典型的数形结合的题目 ,第 (1)题是由数到形的转化 ,第 (2)题则是由图到数的翻译 ,它的主要目的是提高学生识图 ,用图的意识 . 课 堂练习： 第 99页练习 A, 第 100页练习 B 小结 ：本节学习了 根式、分数指数幂的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算 课后作业 ：第 100页习题 3、 3、 4题 用心 爱心 专心 1 指数函数 一、教学目标 1、知识与技能：了解指数函数模型的实际背景，掌握指数函数的概念和意义， 掌握指数函数的图象和性质 。 2、过程与方法： 通过对指数函数的概念图象性质的学习 ,培养学生观察、分析、归纳猜想的能力 ,进一步体会数形结合的思想方法 . 3、情感、态度和价值观：通过对指数函数的研究 ,让学生 体验从特殊到一般的学习规律， 认识数学的应用价值 ,激发学生学习数学的兴趣， 培养学生的创新意识。 二、教学重点、难点 重点：指数函数的图像和性质。 难点： 指数函数的图象性质与底数 突破难点的关键：寻找新知 识 生 长点，建立新旧知识的联系，在理解概念的基础上充分结合图象，利用数形结合来扫清障碍。 三、教学方法与手段 本节课采用自主探究、合作交流的教学方法， 借助 多媒体，引导学生观察、分析、归纳、概括，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。 四、教学过程 (一 )创设情境 问问 题题 一一 、 某某 种种 细细 胞胞 分分 裂裂 时时 ， 每每 次次 每每 个个 细细 胞胞 分分 裂裂 为为 2个个 ， 则则 1个个 这这 样样 的的 细细 胞胞 第第 一一 次次 分分 裂裂 后后 变变 为为细细 胞胞 2个个 ， 第第 2次次 分分 裂裂 后后 就就 得得 到到 4个个 细细 胞胞 ， 第第 3次次 分分 裂裂 后就得到 8个细胞， 分裂次数通过学生观察 细胞分裂的过程，探究分裂次数与细胞个数的关系，归纳猜想得到 y=2x (x N) 问题二、一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约为原来的 84%。求出这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系。 分析：最初的质量为 1，时间变量用 留量用 经过 1年， y= 经过 2年， y= 2 3 4 用心 爱心 专心 2 经过 3年， y= 经过 y=x N*) (二 ) 引入概念 引导学生从结构式、底数、指数三个方面观察 y=2x y= 得到这类函数的特点是底数为常数，指数为 自变量 指数函数的定义： 一般地，函数 y=ax(a0,a 1,x R)叫做指数函数。 如：函数 y=2x y=(1/2)x y=10x 都是指数函数，它们的定义域都是实数集 R， 提醒学生指数函数的定义是 形式定义 ,如 y=3 2x y=10x+5不是指数函数 讨论： y= 在 x R 的前提下，为什么规定 a0,a 1 (1）若 ， ; x 0时， (3)若 a=1,则对于任意 x R,为常量。 练习 若函数 y=()是指数函数 ,则 a= 2 （三）、图像与性质 1、作出函数 y=2x, y=(1/2)x 的图象 列出 x、 x 2 1 2 3 2x 8141211 2 4 8 (1/2)x 8 4 2 1 214181 指导学生做出 y=2x y=(1/2)x 的图象 用心 爱心 专心 3 观察两个函数图像的特点，借助几何画板直观展示底数不 同的指数函数的图像，让学生观察底数的变化对于图像的影响。 2、图像与性质 01 图 象 图 像 特 征 图像分布在一、二象限，在 ，过点（ 0， 1） 当 x 逐渐增大时，曲线从 x 轴的上方逐渐逼近轴 当 x 逐渐减小时，曲线从 x 轴的上方逐渐逼近轴 性 质 定义域 R 值域： （ 0， +） 单调性 在 R 上 是减函数 在 函数值的变化规律 当 x=0时， y=1 x0 时， 00 时， y1; 3、指数函数性质的口诀： 指数函数象束花，（ 0,1)这点把它扎 ， 撇增捺减无例外 ， 底互倒数纵轴夹 ， X=1为判底线 ， 交点 重视数形结合法，横轴上面图象察。 4、 练习 （ 1）指数函数 y= y= y= y=底数 a、 b、 c、 1共五个数，从大到小的顺序是 b0,a 1）的图像恒过定点 (2009,2009) 3、已知函数 F(x)=0，则 00 （ 3）若 f(f(则 比较 a、 解：函数 y=(0.8) x y 0 1 心 爱心 专心 5 因为 以 a 1）比较 m、 答案： (1) 当 a1时， m 解：原不等式可转化为 23x+12为 y=2所以 3x+1 解得 x以，满足条件的取值集合是 练习求满足下列条件的 （ 1） 4x 23 （ 2） )1,0(321 22 (五 )总结巩固： 1、指数函数的概念 2、指数函数的图像与性质 3、数学思想和方法 （六）思考： 1、 比较 a 2x+1与 （ a0 且 a 1）的大小 2、 A 先生从今天开始每天给你 10万元，而你第一天给 元，第二天给 元，第三天给 4元，第四天给 8元 依此类推。 （ 1） 5 天的合同，你同意吗？ （ 2） 0 天的合同，你同意吗？ 五 板书设计 指数函数 一、 指数函数的定义 二、图像与性质 三、例题 14),1( 用心 爱心 专心 1 指数函数 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1指数函数的定义 2指数函数的图象和性质 （二）能力训练点 1理解并掌握指数函数的图象及其性质 2会应用指数函数的性质比较表示成指数形式的两个数的大小 （三）德育渗透点 1通过细胞分裂问题引入指数函数的概念，使学生明确指数函数的概念来自实践，进而培养学生实践第一的观点 2通过指数函数的图象研究其性质，增强学生数形结合的意识 二、教学重点与难点 1教学重点：指数函数的定义及其图象和性质 2教学难点：底数 三、教学过程设计 （一）指数函数的概念 初中我们学习了零指数、负指数、分数指数幂的意义及其运算，现在回忆一下这些知识 接下来我们研究下面的问题： 某种细胞分裂时，由 1个分裂成 2个， 2个分裂 4个 ，一个这样的细胞分裂 到的细胞的个数 y与 关系式是： y=2x 在这个函数里，自变量 底数 2是一个大于零且不等于 1的常数 一般地，函数 y=a 0且 a1 ， xR ），叫做指数函数 为什么定义域为 R？因为在底数 a 0情况下，指数概念已扩充到有理数和无理数， 为什么规定底数 a 0且 a1 呢？ 若 a=0，当 x 0时， ，当 a0 时， 意义 若 a=1， y=1x=1是一个常量，没有研究的必要 为了避免出现上述情况，故规定 a 0且 a1 （二）指数函数 y=图象和性质 用心 爱心 专心 2 师：作函数图象的一般步骤是什么？ 生：列表、描点、连点 一般地，指数函数 y=a 1及 0 a 1这两种情况下的图象和性质如下表所示： （教师事先在幻灯片上画好下表，结合图一边总结一边映出，未总结到的先遮住） （三）例题 用心 爱心 专心 3 例 1 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是后来的 84，画出这种物质的剩留是随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩留量是原来的一半（结果保留一个有效数字） 画出 的图象 1 52 从图上看出 y=须且只需 x4 答：约经过 4年，剩留量是原来的一半 例 2 比较下列各题中两个值的大小： （ 1） （ 2） 解（ 1）考察指数函数 1， 3， （ 2）考察指数函数 0 1， 考察指数 2 1， 评析：（ 3）的关键是化成同底 （四）课堂练习 用心 爱心 专心 4 求下列函数的定义域和值域： 解：（ 1）由 4-|x|0 得函数的定义域 -4xx 函数的值域是 1， 9 （ 2）函数的定义域是 x0 函数的值域是（ 0， 1） （ 1， + ） （五）总结 指数函数 y=a 0，且 a1 ）的图象性质，要考虑 a 1和 0 a 1两种情况，可以结合图象熟练记住它的性质性质表中（ 1）（ 2）是它们的共性（ 3）（ 4）是它们的个性，情况恰好相反 四、作业 P 70中习题七 1 4 五、板书设计 1函数 叫做指数函数，其中 a 0且 a1 ， xR 2 （ a 0， a1 ）的图象和性质 用心 爱心 专心 1 2 6 指数函数 【 要点导学 】 1、指数函数的定义 形如 )10( x 且 的函数 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是R. 指数函数的解析式 )10( x 且 的结构特征是： 系数是 1，且指数是 x . 有些函数貌似指数函数，实际上却不是，例如 ),10( 且；有些函数看起来不像指 数函数，实际上却是，例如 )10( x 且 ，这是因为它的解析式可以等价化为 )10()1( x 且. 2、指数函数 )10( x 且 的图象和性质 a 1 01； 0 32)23( 31)23( = 31)32( . 同理可得 21)52(0， a 1，问 x 为何值时有 （ 1） 21 ？（ 2） 21 ？ 12、 求函数 |1|21 定义域、值域、单调区间，并作出其图象 . 13、 求下列函数的单调区间： （ 1） 34260 ； （ 2） 12121 14、已知函数 3234 值域为 7， 43，试确定 x 的取值范围 . 15、若 0442 5424 求 z 的取值范围 . 【 素质提高 】 16、若函数13 1 1 ,求实数 m 的取值范围 . 17、 画出函数 |21)21(| | 利用图象回答： k 为何值时，方程 |21)21(| | 无解？有一解？有两解？ 18、已知 , 都是正整数 , ,当 m 取怎样的值时 ,长分别为 , 的三线段能 构成三角形 ? 数函数 1、 C 2、 C 3、 A 4、 B 5、 B 6、 （，） 7、1a 8、 3a 9、 ),1( 10、 33 11、 （ 1）31 ；（ 2）当 0 1时， x 3 12、定义域 x R , 值域 10 y ,增区间 1,( ,减区间 ),1 ,图象略 13、（ 1） 增区间 ),2 ， 减区间 2,( ； （ 2）增区间 21,(， 减区间 ),21 14、 2， 3 15、 213 z 16、 0m 17、 当 解；当 21程有唯一解 (x = 0) ；当 k = 0时，方程有两解 (x = 1) ；当 210 爱心 专心 7 时，方程有四个不同解 18、 1m ， 用心 爱心 专心 1 数函数（一） 教学目标 并能根据定义判断一个函数是否为指数函数 . 并根据图象给出指数函数的性质 . 教学重点 指数函数的定义、图象、性质 教学难点 指数函数的描绘及性质 教学过程 一 问题 由 1个分裂成 2个 ,2个分裂成 4个 , ,一个这样的细胞分裂 得到的细胞个数 y 与 x 有怎样的关系 . 问题 米长的绳子 ,第一次剪去绳长的一半 ,第二次再剪去剩余绳子的一半 , ,剪去 x 次后绳子剩余的长度为 y 米 ,试写出 y 与 x 之间的关系 . 二 ,2 给出 y 与 x 的函数关系 ? , 12与函数 2的区别 . , 12与 的相同特点 . 三 投影 仪，把两个例子展示到黑板上） 师 :通过问题 1,2 的分析同学们得出 y 与 x 之间有怎样的关系 ? 生 1:分裂一次得到 2 个细胞 ,分裂两次得到 4 ( 22 )个细胞 ,分裂三次得到 8 ( 32 ),所以分裂 x 次以后得到的细胞为 2x 个 ,即 y 与 x 之间为 y 2x . 生 2:第一次剩下绳子的 12,第二次剩下绳子的 14(212 ),第三次剩下绳子的 18 (312 ),那么剪了 x 次以后剩下的绳长为 12所以绳长 y 与 x 之间的关系为 12. （学生说 完后在屏幕上展示这两个式子） 师 :这两个关系式能否都构成函数呢 ? 生 :每一个 x 都有唯一的 y 与之对应 ,因此按照函数的定义这两个关系都可以构成函用心 爱心 专心 2 数 . 师 :（接着把 2打出来）既然这两个都是函数 ,那么同学们观察我们得到的这两个函数 y 2x , 12在形式上与函数 2有什么区别 .(引导学生从自变量的位置观察 ). 生 :前两个函数的自变量都在指数的位置上 ,而 2的自变量在底上 . 师 :那么再观察一下 y 2x , 12与函数 有什么相同点 ? 生 :他们的自变量都在指数的位置 ,而且他们的底都是常数 . 师 :由此我们可以抽象出一个数学模型 就是我们今天要讲的指数函数 .（在屏幕上给出定义） 定义 :一般地 ,函数 ( 0, 1) 叫做 指数函数 ,它的定义域是 R . 概念解 析 1: 师 :同学们思考一下为什么 中规定 0, 1?(引导学生从定义域为 R 的角度考虑 ).（先把 0a ， 0a ， 1a 显示出来，学生每分析一个就显示出一个结果） 生 :若 0a ,则当 0x 时 , 00 没有意义 . 若 0a ,则当 x 取分母为偶数的分数时 ,没有意义 12( 2) 2 . 若 1a ,则 1 ,这时函数就为一个常数 1 没有研究的价值了 . 所以 ,我们规定指数函数的底 0, 1. 师 :很好 ,请坐 那么看这样一个问题 : 问题已知函数 (3 2) 为指数函数，求 a 的取值范围（屏幕上给出问题） 生 :由于 32a 作为指数函数的底因此必须满足： 23 2 033 2 10a aa a 即 2|03a a a且概念解析 : 师 :我们知道形如 （ 0, 1）的函数称为指数函数通过观察我们发现： 用心 爱心 专心 3 没有系数，或者说系数为既 1 ； 指数上只有唯一的自变量 x ； 底是一个常数且必须满足： 0, 1 那么，根据分析同学们判断下列表达式是否为指数函数？（在屏幕上给出问题） 问题 2 (0.2) ， ( 2) ， ， 1()3 1， 23 ， 3 ， 22 生 :（答）为指数函数不是 生 : 我不同意，应该是指数函数，因为 133 师 :很好，我们发现有些函数表面上不是指数函数，其实经过化简以后就变成了指数函数所以不要仅从表面上观察，要抓住事物的本质 师 :上面我们分析了指数函数的定义，那么下面我们就根据解析式来研究它的图象和性质 根据解析式我们要作出函数图象一般有哪几个步骤？ 生 :（共同回答）列表，描点，连线 师 ：好，下面我请两个同学到黑板上分别作出 2， 12和 3， 13的函数图象（等学生作好图并点评完以后，再把这四个图用几何画板在屏幕上展示出来） 师 :那么我们下面就作出函数： 2， 12， 3， 13的图象 x 2 1 2x 181412 2x 1214183x 1271913 27 3x 27 1319127师 :通过这四个指数函数的图象，你能观察出指数函数具有哪些性质？（先把表格在屏幕上打出来，中间要填的地方先空起来，根据学生的分析一步步展示出来） 生 :函数的 定义域都是一切实数 R ，而且函数的图象都位于 x 轴上方 师 :函数的图象都位于 x 轴上方与 x 有没有交点？随着自变量 x 的取值函数值的图象与 x 轴是什么关系？ 生 :没有随着自变量 x 的取值函数的图象与 x 轴无限靠近 用心 爱心 专心 4 师 :即函数的值域是： (0, ) 那么还有没有别的性质？ 生 :函数 12、 13是减函数，函数 2、 3是减函数 师 :同学们觉的他这种说法有 没有问题啊？（有）函数的单调性是在某个区间上的，因此有说明是在哪个范围内又 110 , 123， 1 2,3 那么上述的结论可以归纳为： 生 :当 01a时，函数 在 R 上是减函数，当 1a 时，函数 在 R 上是增函数 师 :很好，请做！（提问生）你观察我们在作图时的取值，能发现什么性质？ 生 :当自变量取值为时，所对的函数值为一般地指数函数 当自变量 数值恒等于 师 :也就是说指数函数恒过点 (0,1) ，和底 a 的取值没有关系那么你能否结合函数的单调性观察函数值和自变量 x 之间有什么关系？ 生 3:由图象可以发现： 当 01a时，若 0x ，则 0 ( ) 1；若 0x ，则 1 ( ). 当 1a 时，若 0x ，则 ( ) 1；若 0x ，则 0 ( ) 1. 师 :刚才是我们通过每个函数的图象得到共同的性质 ,那么同学们在观察函数图象之间有没有什么联系 ? 生 4: 函数 2与 12的图象关于 y 轴对称 ,函数 3与 13的图象关于 y 轴对称 ,所以是偶函数 .(? ? ? ?) 师 :前面的结论是正确的 ,同学们说后面那句话对吗 ? 生 :(共同回答 )不对 ,因为函数的奇偶性是对一个函数的 ,所以没有这个性质 . 师 :由此我们得到一般的结论 , 函数 与 的图象关于 y 轴对称 . 师 :很好 ,那么我们把同学们刚才归纳的指数函数的性质综合起来 ,放到一张表格内 . 01a 1a 图 象 用心 爱心 专心 5 性 质 定义域 R R 值域 0, 0, 定点 0,1 0,1 单调性 在 , 上是减函数 在 , 上是增函数 取值 情况 若 0x ，则 0 ( ) 1 若 0x ，则 1 ( ) 若 0x ，则 ( ) 1 若 0x ，则 0 ( ) 1 对称性 函数 与 的图象关于 y 轴对称 巩固与练习 根据指数函数的性质，利用不等号填空（在屏幕上给出练习，让学生口答） 345 0 ， 15 0， 07 0， 42 49 0 ， 223 1 ， 479 1， 1210 1， 36 1 四 例 , , , 解 : 考虑指数函数 ( ) 所以 ( ) 在 R 上是增函数 所以 考虑指数函数 ( ) 0 所以 ( ) 在 R 上是减函数 所以 1 5 0 用心 爱心 专心 6 由指数函数的性质知 0 1 ，而 1 0 所以 例 2 已知 ，求实数 x 的取值范围； 已知 5x ，求实数 x 的取值范 围 解：因为 31 ， 所以指数函数 ( ) 3在 R 上是增函数 由 ，可得 ，即 x 的取值范围为 因为 0 所以指数函数 ( ) 在 R 上是减函数，因为 2212 5 0 所以 由此可得 2x ，即 x 的取值范围为 2, 五 （ 0, 1）， ）要能根据概念判断一个函数是否为指数函数 指数函数的性质（定义域、值域、定点、单调性） 利用函数图象研究函数的性质是一种直观而形象的方法，因此记忆指数函数性质时可以联想它的图象 六 课本52， 用心 爱心 专心 1 第二节 指数与指数函数 热点考点题型探析 一、复习目标 : 1、理解和掌握 有理指数幂的 定义及性质， 指数函数的 概念、 图像与性质 ； 2、综合运用 指数函数的图像与性质 解决问题。 二、重难点： 重点： 有理指数幂的 定义及性质， 指数函数的 概念、 图像与性质 。 难点：综合运用 指数函数的图像与性质 解决问题。 三、教学方法： 讲练结合，探析归纳。 四、教学过程 （一）、热点考点题型探析 考点 1 指数幂的运算 例 1、（ 1）计算：120 0 . 2 5 63433721 . 5 ( ) 8 2 ( 2 3 ) ( )63 解题思路 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。 解析 原式1 1 11 1 1363 3 34 4 222( ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 3 ) ( ) 2 4 2 7 1 1 033 （ 2）复资 1】中（ 2） 反思归纳 根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比如与二项展开式结合就比较常见。 考点 2 指数函数的图象及性质的应用 题型 1：由指数函数的图象判断底数的大小 例 2 、下图是指数函数（ 1） y= （ 2） y= （ 3） y= （ 4） y= 图像，则 a、 b、 c、 的大小关系是（ ） A 1 ; B 1 ； C 1 ； D 1 解题思路 显然 ,作为直线 x=1即可发现 a、 b、 c、 的大小关系 解析 B;令 x=1，由图知 1111 1 ,即 1 反思归纳 由指数函数的图象确定底数的大小关系 ,关键要从具体图象进行分析。 题型 2：指数函数的性质及其应用 例 3、 已知 函数 21( ) 3 42 ，（ 1）求函数的定义域、值域； (2)求函数的单调区间。 解题思路 求函数 的值域 应利用考虑其单调性，注意复合函数研究单调性的方 法运用。 解析 （ 1）由不等式 2 3 4 0 4 1 得；令 2 3 4 , ( 4 1 )u x 作图得 2 5 2 0 , , , 1 48。（ 2）减区间为 3 4, 2，增区间为 3 ,12。 用心 爱心 专心 2 反思归纳 利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现