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反应注射成型过程中熔体流动前沿的PETROV-GALERKIN有限元分析摘要: 在这篇论文里我们将描述一种在反应注射成型技术模具充模过程中用来分析熔体前沿的前进还有相关速度、压力、转化和温度的概率函数的数值分析方法。在反应注射成型过程中，能量方程式中的对流项是主要的影响因素。因此，这种数值分析法耦合利用PETROV-GALERKIN有限元分析法来消除伪振荡和提高计算的准确度。这种数值分析法的另一个特点是同时通过运用表面参数化方法分析一些主要变量来确定流动前沿的位置。数值分析的结果与实验报告的数据有很好的一致性。在熔体前沿区域，用这种数值分析法获得的准确度的提高对于预计在反应注射成型中纤维的走向和发泡的情况是有帮助的, 因为它们主要由熔体前沿区域决定。1、绪论 反应注射成型技术广泛应用于汽车工业制造外表仪表盘。在这种制法中,一种预聚的异氰酸酯和另一种多元醇/胺的混合物被混合在一起,被注射进模具,然后发生聚合反应。模具充模的阶段，在不断前进的熔体前沿区域，喷泉效应在测定液体成分的停留时间和最终产品中控制纤维走向方面扮演了重要角色1.有种准确模拟熔体流动前沿的方法,但是会产生一个具有挑战性的问题。不断转化的流体区域与不断前进的熔体前沿区域在每个时间段都需要更新数字网格和预计移动的边界。材料的低热传导率,在反应注射成型过程中高的流动速率和快速的放热反应构成了对流项占优的能量运输方程式,它需要特殊的数值处理。此外,内壁附近的移动接触线需要合适的边界条件，这种边界条件不会造成数值的不稳定。一种混合了反应注射成型过程中所有这些错综复杂特点的数值分析法对于熔体前沿区域的准确预测是必要的。先前的研究既没有使关于熔体前沿区域的设想简化2-4,也没有将他们的结果同实验相比较5，6。在这篇文章中,我们将详细介绍一种数值分析法,这种方法可以处理上面提到的错综复杂的问题；我们还将描述相关的成果，以数值分析法为重点(根据我们先前的工作成果7,主要是关于控制方程式和一些结果的详细讨论)。这种数值分析法无论是对流动前沿的模型还是对于在熔体区域的速率概率函数都没有做任何先验的假设。我们使用一种被称作自由表面参数化的方法，在这种方法中流动前沿的模型与其他领域的变量被同时考虑，比如压力、速率和转化率等，通过将流动前沿的表面运动边界条件合为一体作为控制方程式之一。众所周知，传统的Galerkin有限元方法在对流占优的传输问题上会产生数值的不稳定。虽然造成的伪振荡一般可以通过精制网格来消除，但是，对于这里所描述的瞬态问题，精制网格是种不切实际而且昂贵的方法。其他可供选择的方法包括各种各样的上风法9-12，特征法6,13,14，还有Galerkin/最小二乘法。虽然保守的方法，比如特征法和Galerkin/最小二乘法更准确，但是一种简单的Petrov-Galerkin上风法更易于实施也更有效，特别是针对这个研究中发现的瞬态的问题。因此，这种方法在这里是适用的，是继Adornato and Brown 9之后，可以消除数值的不稳定却不需要求助于特别的精制网格方法。控制方程式在第二部分将做简洁的陈述，数值方法将在第三部分做详细描述。在一个二维矩形模具里，在反应注射成型过程中充模阶段得到的典型的结果将在第四部分得到陈述。得到的结果还将和实验报告的数据、还有用传统的Galerkin有限元方法得到的数值结果做了比较。2、控制方程式反应注射成型过程中的聚合反应的总的运动速度表达式为在这里Ci表示异氰酸酯浓度，T表示温度，R表示法定气体常量，m表示反应的数量级，E表示反应的活化量，A表示比率常量。粘性取决于转化率和温度， Castro-Macosko粘度模型为2。在这个公式中X表示脂的转化率，表示凝胶点转化率，和 B为常量。对于恒定的热特性、反应混合物的密度以及可以忽略的分子扩散，无量纲的控制方程式为：连续性方程为动量守恒方程为分子平衡方程为能量守恒方程为在这里，表示速度矢量，表示剪切速率，t表示时间，p表示压力，表示无量纲的比率常量，定义式为指数函数。方程式是无量纲的，使用平均速率，模具厚度的一半H，温度，模具入口的粘性。所有的无量纲组和他们的定义在表1中列出。无量纲变量的边界条件为1在内壁：（无滑动），2在中间平面：3，在入口处：完全反应流体速度，4，在接触线：（完全滑动）5，在流动前沿上 ：（力平衡），（运动状态）表1，控制方程式中的无量纲组，为反应热，为绝热温度的上升，脂最初浓度 在这里，和表示速度矢量的分量，n表示单位法向向量，剪切应力，h表示熔体流动前沿的位置矢量，表示模具内壁无量纲温度。将边界条件考虑到在数值分析中的具体细节将在下一部分做详细解释。3、数值分析在有限元分析公式中未知的速度、温度、和转化扩展为四次基的函数，压力扩展为双线基的函数，流动前沿模型的高扩展为二次基函数：在这里，和为等参变量变换式的坐标值，定义为在等参变量域（）。在这里，和分别对应为速度值，压力值，自由表面结点数。变量的未知结点系数和每个结点的x坐标值取决于时间。值得注意的是四次-双线基成分（v，p）不满足著名的Brezzi-Babuska稳定性条件18，19，因此，这会造成整体的质量平衡，但是不能保证局部的元素水平的质量平衡。虽然一些符合Brezzi-Babuska稳定性条件的经过综合考虑的速度和压力因素的组合已经被发现20，21，但是，他们的插值法模型在有限元分析法中却是无效的。上述的四次基-双线性基成分（v，p）没有表现出伪压力模态22，23，并且被广泛使用在有限数值稳定性问题上。除此以外，Petrov-Galerkin方法有望增强数值的稳定性24。所有结点Y坐标值是固定的，而X坐标值与自由表面的位置成比例。熔体流动前沿是沿着X方向，流动前沿向前移动，然后流体膨胀。当沿着X方向成分的长度超过到预先确定的值时，通过在流动前沿方向上将每个成分分割成相同大小的两个成分，进而生成网格。结点变量的插值法是简单的，而且对于四次基的元素可以很快的计算。在传统的Galerkin有限元公式中，他们的基函数在计算流动前沿区域的残值控制方程时是作为加权函数。但是这种方法是不健全的。我们都知道当Galerkin公式用于解决对流占优的方程式时，会造成数值的不稳定和伪振荡。在反应注射成型过程中早期引入的能量方程式中对流占主导地位。一种可供选择的方法为用精制网格来消除伪振荡。但是，这种方法对于含有大量未知因素瞬态问题是不切实际的，比如此处已经解决的一个。其他可供选择的方法为修改加权函数，通过引进一个人为耗散系数。公式可以方便的改写为更高阶的方程式。加权函数公式为在这里，人为耗散系数通过公式引进，取决于局部速度区域和与各自的控制方程式相结合的恰当的扩散系数D。的函数形式以一维的对流-扩散问题为基础25，函数表达为在这里，表示局部元素的Peclet值，表示元素的大小，为三次多相式。指数与顶点结点数相一致，与元素的重心结点数相一致。标准的一维对流-扩散问题在结点处已经有精确的解决办法，例如25，9在一个二维问题中，方程式（10）和（11）中张量的乘积提供了在方程式（9）中描述过的加权函数中公式。局部Peclet值三个结点为一组计算，并且以二维元素的相关边界的平均速度为基础9。共有六个这样的组（三个在X方向，三个在Y方向），因此，有十二个上风法参数。Peclet值的计算包括线性距离，这种线性距离基本上忽略了元素曲线的边界。但是，它是个很好的粗略估计的方法，因为在我们研究的问题上使用此方法时流动前沿很少被损坏。扩散系数在能量方程式中为，在动量方程式中为。PETROV-GALERKIN加权残值方程式为，在这里，V是流动领域，S为流动边界。边界条件出现的能量和动量方程式中因为发散定理适用于较高阶方程式。残差和分别相当变量和。PETROV-GALERKIN加权函数仅用于动量和能量方程式，因为在这些方程式中有对流项的出现。在对上面的方程式用九点积分法求积分前，方程式被映射在等参变量域（详细的根据26），并且边界条件是适用的。在内壁的必要边界条件V，和T，模具入口的V，T和X，在中间平面（对称轴）的在方程式中替代边界条件是适用的。自然边界条件，即在中间平面的对称性条件，在接触点完全滑动（零摩擦）的情况下，在自由表面零作用力，在替换残值方程式中的边界条件是适用的。流动前沿的动态边界条件被包含在控制方程式中，目的是用来预计流动前沿的位置。能量方程式的弱形式通过求边界条件的值被扩展为流动前沿的边界，而不是强加任何未知的必要的或自然的边界条件27。 这种“自由边界条件”正如 预示的那样，至少对于各种各样类型的蠕动流，在全部可能的选择中，将起作用的能量减到最小，而且这些自由边界条件在一些应用中已经被成功使用，包括那些含有高雷诺数的应用。空间的离散化将由时间决定的方程式（12）（16）简化为普通的微分方程，在这里，表示所有结点未知量的矢量，比如压力，沿着X和Y方向的速度，温度，转化，和流动前沿的位置。矩阵M是质量矩阵，R表示残余矢量。对时间的导数用一种标准的一阶的方法离散。值得注意的是瞬态导数需要根据移动的网格调整，根据在这里，左边表示变量根据时间的局部变化，右边第一个表示变量根据时间的总的变化，同时右边的第二个变量表示由于移动有限元栅格所引起的传导性的变化。当方程式19替换进方程式18时，我们可以获得方程式的非线性的代数系统。这些方程式可以通过牛顿迭代法解决。因为在这些方程式中流动前沿的位置是未知量，我们在根据流动前沿位置获得残值方程式的导数的时候必须小心，因为等参变量映射的雅可比矩阵也取决于这些位置。直线方程式用直接的数值方法解决29。网格在每次迭代时都要用新发现的流动前沿的位置值来更新，这些位置值同时也由其他变量限定。在牛顿叠代法中，前一个时间段的结果是作为下一个时间段迭代的初始值。计算在一台IBM RISC/6000机器上进行。在所有的计算中，一个无量纲的时间段为0.05，同时沿着横向方向的七种成分（在内壁附近有更好的网格分布）对于给出不依赖精制网格和时间段大小的解法是足够的。沿着X方向的一种成分的最初长度为0.1。当成分的长度超过0.2时网格重新生成。4，结果流动前沿的顶端轴向速度应该与流动前沿的平均速度相等。在我们所有的计算中，无量纲的轴向速度等于1.000允许有0.1%的误差。在数值计算时，反应速率可以设定为零。如果模具温度与物质的温度相同，结果模拟的应该是等温注射成型过程。这个模拟中流动前沿的模型与早期报道的关于牛顿液体的注射成型研究的模型是相同的。通过将结果与矩形模具的入口处实验压力上升的数值2相比较，数值结果进一步被证实。和在他们的报告中描述了两种聚氨基甲酸脂注射成型系统的流动特性和热特性。根据他们的三个实验，这些实验包含了这些在不同的充模时间的注射成型系统，我们演示了三种数值实验（详细的根据-表二）。试验中数值运行时充模的时间是相同的，矩形模具的高宽比保持在25，以便于节约计算时间。当高宽比与平均速度成比例增加，同时保持充模时间为常数时，速度、温度和转化在数值结果上变化小于5%。预计压力上升数据根据实验调查研究选择适当的高宽比绘制在图中。在矩形模具入口处实际测量的压力上升值和预计的压力上升值的对比表示在图1中。值得注意的是开始的两个实验中粘性的上升是边缘的，因为充模的时间远小于凝胶时间。因此，模具入口处压力的上升是线性的且能代表模具充满的长度。但是，注射速度在第三个实验中慢的多。因此，在充模的过程中粘度的上升是充分的，而且压力上升的曲线也不是线性的。在所有的这些情况中，预计的结果和实验的数据都有了很好的一致性。实际上，预计值比实验#3中的值能更好使用我们的模型，因为在实验#3中，充模的过程发生了大范围的反应。这些较好的一致性或许是由于流动前沿的准确模拟，还有，在较厚的模型里热传输的模拟没有做任何的简化假定。表2：数值实验摘要，在这里，表示最大的转化率，表示最高温度，表示模具充模结束时的最低温度实验图1、用符号代表的实验数据与用直线代表的预计值的比较PETROV-GALERKIN的方法和传统的Galerkin方法准确性的比较在图2。在这张图中，当流动前沿到达模具底部时，沿着流动前沿方向在不同的横截位置，两个公式的温度特性被绘制在图中。当用传统的Galerkin公式获得温度特性时，在流动前沿附近所有的横截位置都发现了严重的伪振荡。当用PETROV-GALERKIN公式和完全相同的精制网格时，这些振荡消失。因此，在反应注射成型中流动前沿的计算准确性方面PETROV-GALERKIN方法更具有明显的优越性。图2、对于实验#3，在流动前沿的不同的横截位置，用Galerkin和PETROV-GALERKIN两个公式获得的温度特性的比较。最后，根据实验#1和#3，在充模结束时的熔体前沿代表性的结果用图表表示在图3中。当物料在模具里前进时，最高温度从内壁移到中间，由于反应中的热量的渐进，它不能被传导消除。转化率跟随温度特性变化。但是，粘性主要取决于转化过程，因为靠近内壁的温度的上升没有足够快到能够补偿由于更快反应造成的粘性上升。因此，在靠近内壁处流体存在更多的阻力。这种喷泉效应在实验#3熔体前沿的剖面处是明显的。同先前的猜想作对比2，4，这些流动前沿是不平整的，它们可以从实验观察资料中得到的1。图3，在实验#1和3中充模结束前的流动前沿模型的预计5，结论在反应注射成型过程中，熔体前沿区域的准确预计在纤维的走向和发泡情况预测方面起着主要作用。在这个模型中综合了以下三个重要特性，准确性从而得到了提高。1.无论是流动熔体前沿的模型还是在流动前