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l i6 n a r d 方程和非共振d u f f in g 方程研究 中文摘要 本文由层结大气运动基本方程导出l i 6 n a r d 型方程，进而考虑l i 6 n a r d 及d u f f i n g 型方程周期解的存在性问题。对于这类非线性的二阶常微分方程，我们首先考虑其 一维的特殊的形式，运用先验估计，进而利用s c h a u d e r 不动点定理，证明了其两点 边值问题解的存在性，并给山具体方程的解作为例子，然后用m a t h e m a t i c a 作出数 值解的图。其次，我们推广上述方程为一般情形，得到周期解存在的充分条件。再 次，我们考虑n 维的带有阻尼项的d u m n g 型方程，运用同胚延拓及不动点方法，讨 论了非共振条件下周期解的存在性问题。虽后，我们给出有限维向囊空间中对称双 线性型非退化的简单条件。我们应用这个条件和傅立叶级数的基本性质证明了二阶 非线性常微系统周期解的唯一性定理。 关键词l i 6 n a r d 方程d u l l i n g 方程 周期解存在性不动点方法同胚延拓 整体反函数定理对称双线性型 ( 朋s ) 主题分类3 4 8 1 5 本文工作受国家科技部“9 7 3 ”项目( g 1 9 9 8 0 4 0 9 0 7 ) 和江苏省高校自然科学研究计 划( 0 2 k s b l 7 0 0 0 2 ) 资助。 s t u d y o nl i e n a r de q u a t i o na n dd u f f i n ge q u a t i o nu n d e r n o n r e s o n a n c ec o n d i t i o n a b s t r a c t l nt h i sp a p e r , al i n a 嘲t y p ee q u a t i o nl sd e d u c e df r o mt h eb a s i ce q u a o no f a t m o s p h e r i cm o t i o ni ns t r a t i f i e da t m o s p h e r e 。a n dt h e l lw ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c e o ft h ep e d o d i cs o l u t i o n sf o rl i 6 n a r da n dd u f f i n gt y p ee q u a t i o n s f o rt h ec l a s so f n o n l i n e a rs e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a f i o n s ( 0 d e s ) ，w ef i r s t l yc o n s i d e r o n eo ft h 融rs p e d a lo n m d i m e n s i o n e l 缅m s a n dt h e np r o v et h ee x i s t e n c eo 彳 s o l u t i o nt oi t st w o p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nt h el i g 嫩o fp r i o re s t i m a t ea n d s c h a u d e rf i x e dp o i n lt h e o r e m w ea l s os h o wt h ee x a c ts o l u t i o n sf o rt h es p e c i a l e q u a t i o n s a sa ne x a m p l ea n dp i e tt h en u m e r i c a is o l u u o n sb ym a t h e m a t i c a s e c o n d l y , w ee x t e n dt h ea b o v ee q u a t i o n t oa g e n e m lf 。r ma n do b t a i nt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u s o n t h i r d l y , w ec o n s i d e r t h en - d i m e n s i o n a l d u f f i n gt y p ee q u a t i o n w i t h d a m p i n gt e r m b y v i r t u e o f h o m e o m o r p h i s m ，e x t e n s i o na n df i x e dp o i n tm e t h o d 。w ed i s c u s sl h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o nu n d e rt h en o n r e s o n a n c ec o n d i t i o n f i n a l l y , w eg i v eas i m p l e c o n d i t i o nf o rn o n d e g e n e r a c yo fs y m m e t r i ob l l i n e a rf o r m so o 嘲n i t ed i m e n s i o n a l v e c t o rs p a c e s ，w ea p p l yt h i sc o n d i t i o na n de l e m e n t a r yp r o p e r t i e so ff o u r i e rs e r i e s t op r o v eau n i q u e n e s st h e o r e mt o rp e d o d i cs o l u t i o n so fac l a s so fs e c o n d0 r d e r n o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e m s k e yw o r d s l i 垂n a r de q u a t i o n s ，d u f f i n ge q u a t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n ，e x i s t e n c e ， f i x e dp o i n tm e h o d 。h o m e o m o r p h i s m 。g l o b a li n v e r s ef u n c t i o nt h e o r e m ，s y m m e t r i c b 4 l i n e a rf o r m s ( a m s ls u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n 3 4 8 15 2 邹兰篱b i e n a r d 方程柏非共振跏f f i a g 疗程研究 警一搴绪论 1 问题背景和翮内外研究进展 非线性微分方秘襁物理学、电学、天体力学、振动力学、流体力学、生 物学、生态学、金融缀济及社会科学构许雾领域祷着十分r 一泛钓成燃。骣线 蛙徽分方翟瓣熬存在整囊是个令a 无跟两经赞镶域，它踱l l 了聂数杰出豹 数学素、魏理学家、工程掌容帮经爨学塞的馨巍。 二淤菲凌毪徽努方程，祷聚是l i 4 n a r d 罄及l 沁f f i n g 方翟藏憝褥究的 热赢问题( 见 3 一i 3 ) 。 许多著名的方穗如v a nd e r p o l 方程+ ( x 2 一1 ) 量+ x 一0 ( 见【1 ，2 1 ) 也是属于l i 6 n a r d 獭方狸( 见【3 ，4 ) 。 研究这类方程的蒯题通常有动力系统方法( 见 1 4 ，g s a n o n ea n dr c o n t i ) ，代数方法，i # 线性分辑方法等，两嚣线性势橱方法又包括焚分尚临 器熹理论，不韵点方法，舞 囊翼瓷方法，上下甓乓孽疆迭我方法，镦分藏 坯穷法簿， 不动点方法逶常燕避过稳造一个先骚器，然箍褥到存在蛙籀论，偿这不 能得到唯一性结果。窝分理论通常是将原问磁的解转化为求泛函的1 黼羿点问 鼷一拓扑度方法虽然可以躐弱解存在的充分撩件，但它的使用也不能得划唯 一性且证明过程相当辍淞。在具体使用这方法时，般都要对方橼的解进 行兜验估计，在许多情况。f ，解的先验估诗怒问题鹪魁难所在。上。f 解方法 怒建立在链和半序酌攒忿上戆。蓉夫钧等对撼拎度霜上f 辫方法裔丁诲多教 研究( 冕【2 2 】) 。徽赞蠲j 蠹方法虽熬渗爱鞍多嚣线淫舅辑麓强误，橙霹魏褥 到簿抟难一瞧鳍粟，鼠证爨过程稳当鹤灌。 这类方捱t 。l 甜8 4 - g r a d g ( 群) 一漂自菲线眭攥动保守黎绕， 由牛顿类运动方程推得，这类方程质点受保守内力和周期外力怍用。 l a z e r 和s a n c h e z ( 5 + 1 9 6 9 ) 在条件( l o ) 下，利用b r o u w e r 不轴点定理 求得方捍( 1 1 ) 纳2 x 周期解的存在性。 0 + 实数鳓和声健缮2 t n # 。 ( v + 珐2 0 2 0 f 口、 帮茹嘻乏s 0 ；竺) 芦五霹薪育静露芒秽巍壹。 麟f 蕊# k a n n a n 和l o c k e f f 7 】，1 9 7 9 ) tm a w h i n ( 6 ，1 9 9 4 ) 在条件( l o ) f 给出了 ( 1 1 ) 周期解存在唯性的简单证明。 l a z e r ( 1 5 1 ，1 9 7 2 ) 撼予两个基本的抽象代数引理和f o u r i e r 级数的撼本性 臌，在条件( l ) f 诚螭了( 1 1 ) 至多存程一解。 ( l ) 夺在甄令常对髂转撑x 霏楚薄尘露嚣，使得封掰鸯熬本蠢”，鸯 孟2 ，：f 冉、 a 尝s 器，并燕霰蠡五s 盎鬟s 磊拳琏s & 兰基砖，势 i l 1 别是矩阵a 和厅的特征值，存在懿i ! f cn ，七= 1 , 2 ，蚪，使待 邹兰掣- l i 6 n a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 n 女2 o ，则问题( p 1 ) 的解有界， 且有估计式 七l l h l i ， 0 w l l - 一翟w 一蚤) 觏奶一 0 。 证明：因f ( w ) 连续且单调不减f ( o ) = 0 ，所以w f ( w ) 0 ，在引理2 1 的每个表达式中取兄= 0 ，即证。 引理2 2 设引理2 1 的条件( 1 ) 满足，则在f 列情形下 若( i ) 一罢 叩则问题( p 1 ) 的解有界且 i l w l l 兰丢伽+ d 州悱妥伽+ d 1 1l 。 吖 ( i i ) 2 印则问题( p 1 ) 的解有界且 l 1 w l l 丢陪d l l t h l l 州l 茎笔伽一d 厅忆 吖v 9 邹兰军- l i e n a r d 方糕靶非共振d u f f i n g 方程研究 其中笮= s u p | 蛾f 牡 f 0 ，7 莲疆：( 旗) 拭| w 8 镕丁x ( j i l l 2 d f ) 只，硫e o , 7 1 和引理2 1 ，引理2 , 2 ，我们可得如下推论 推论2 2 设在引理2 2 r ，( w ) = f 砖i 诎f 2 + y ( w ) ) d f 一( ( f ) ，w ) ，v w e 其中矿( w ) = 【f ( t ) d t 。 o ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 邹兰军l i s h a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 易证下面的变分原理。 引理2 3j 在e 中的临界点是问题( p 2 ) 的解。 引理2 4e 上的“2 范数等价于f 述模 = ( f j 叫2 出) ，v w e ( 2 2 0 ) 证明：对v w e ，( 2 1 0 ) 式成立 f 讳陋r ( 1 叫2 + d 吲1 + 等) m 2 如( 22 1 ) 结论即证。 引理2 5 “1 设( 1 ) f ( 呐c ( r ) 。h ( r ) 是r 上的以t 为周期的连续函 数且【厅( f f f = 0 ：( 2 ) v ( w ) m ，v w r ，m r ，则问题( p 2 ) 至 少有一个t 周期解w c 2 【o ，t 】。 且r ( r m = o ：( 2 ) i m n ff ( 。s ) = 胁一，2 + 兄r 2 o ：( 3 ) 矿( w ) = f f ( t ) d t m ， v w r ，m r ，( 4 ) 当2 0 咐( 1 + o e c 2 i o ，了1 】n e 为满足1 p 1 0 设i i o l i 。r 。由引理2 4 ，亦驯眺l o l r 】sr 或1 1 0 l l r r 。 对( 2 2 2 ) 式与w 。作内积，有 f l 谛。1 2 d f + 五f f w 口i2 d f f 【而( f ) + ( a o d ) 毋+ b o w 。d r ( 2 2 4 ) 从定理条件( 2 ) 我们有 键兰鬻l i 4 n a r d 方程翡棼冀撵o u f f i n g 方援番 究 嘉f 坩咖十五f 坩如 蔓翱 ( r ) i + l ( 爿口一0 ) 0 + 8 0 1 w 。炒 蔓剥蚓m 防芷m + 1 0 1 ) 1 w o 胁 ( 8 鬻，| 血( 舛+ 冱菇麟。) l l w 4 r 0 ， 健缀( r 韪转艮+ 函) ，或者 r 蔓捌| 。 去 l 矗取p 成立，其中当z 。时，芦= a 0 1 t t , = 焉小 或者当 这对条件( 4 ) 显然怒可能的，则有| | m 硼g r 。由； 理2 ，4 t 我们霄| | 嘞l s r 或* l l w , i i f - r ；m g l - 。， k = m a x i a + l d ，t b i 。则问题( p i ) 黧少有一个解w c 2 f o ，z 】。 证鞠：西y ( w ) 连续强单调不藏，f ( = 0 ，雯羹w f ( w ) o ，在定联2 ，1 证明 中鼗盖= o 帮证。 5 讨论和数值解 对下一般形式的l i 6 n a r d 方程量+ f ( x ) i + g ( x ) = p ( t ) 解的问题，我们 将在f 章中讨论。由于研究方法的不同，j 时f ( x ) ，g ( x ) 所需条件也不同。 本章考虑的是一炎较特殊的l i 6 n a r d 方程。因此方程存在解的祭件魄般性 条舞要弱。 铡：静+ ( a w 一扫) 存+ b w w = a s i n t c o $ t d c o s f + ( 霹一2 ) s i n t ， 0 b 0 。所以本例的结论不能由文献f 9 】申的定理所得。 舞了验谖上述缝论，我嚣】将拳魏+ 霸睡令方狴翦壤子谖疆： 势+ w 1 ) 诤一l ，2 ) w = s i n t c o s t c o s t 一绉1 2 ) s i n t ( 2 2 9 ) 劳+ ( w 1 ) 谛一( 1 t 2 ) w = 2 s i n 2 r c o s 2 r 一2 c o s 2 r 一( 9 2 ) s i n 2 r ( 2 3 0 ) 由本章定理可知，上述两方程对于两点边值问题w 【i ( o ) = w ( i ( 2 玎) ，i = 0 ，l 存在周期解。事实上，很显然，w = s i n f 和w = s i n 2 r 分别为上述两方程 的解。为了更直观，我们用m a t h e m a t i c a 软件作出它们数值解的图形 8 夺结 层结大气中的中尺度系统往往是非静力平衡的深厚系统，如飑线等，冈 此讨论重力惯性波问题应考虑非静力平衡的深对流模式。赵瑞星从她热无摩 擦的大气基本方穰出发，得到了l i f i n a r d 系娩的一系列近似解f “。然而，热 力的作用对于中尺艘系统是根重要的，所以我们在无辐散无摩擦的二：维运动 1 3 ； ， 节，、。、 、o、。 、 r l_=j。，rll 。 泌 吨 ，、 。，卜，、 ， i 7， 、，小，、。、。 mw00 、叫，：叫一 邹兰军l i 6 n a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 蕊零方程中考遵菲缀热熬热懿捧瑗，簌孛等穗l i 6 n a r d 方程，列霜s o b o l e v 空间范数，绘出了周期解的估计，进而利用s c h a u d e r 不动点定理。诫明了 周期解的存在性，这有利于描述非线性的重力惯性波的动力机制。 7 参考文献 【1 s u g i ej ，h e r a n o n - e x l s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n so f t h el i e n a r ds y s t e m j ， j o u m a t o f m a t h e m a f t c a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 9 l ， 5 9 ( t 1 ：2 2 4 - 2 3 6 【2 】l a z e ra c ，o ns c h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e ma n df o r c e ds e c o n do r d e r n o n l i n e a r o s c i l l a t i o n j ，jm a t h a h a l a p p l 。1 9 6 8 2 1 ：4 2 4 2 5 ( 3 】王克，强迫l i e n a r d 方程的概周期解p 】数学年f t ，1 9 9 5 ，1 6 a ( 4 ) ：4 1 7 4 2 3 【4 1 林发兴l i e n a r d 方程周期解、概周期解的存在性【j 1 ，数学学 撤，】9 9 6 ，3 9 ( 3 ) ：3 1 4 3 1 8 【5 】t a n jy ，w e nsl p e r i o d i c t r a v e l i n g w a v es o l u t i o nt oaf o r c e d t w o d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dk d v - b u r g e r s e q u a t i o n j ，j m a t h r e s e a r c h 盘e x p o s i t i o n ，2 0 0 l ，2 1 “) ：4 8 3 - 4 9 0 鹣赵磷星短缝大气书簸力馁瞧渡数 线搜髑期艇翻，气象魏学，1 9 9 0 。 4 8 ( 3 ) ：2 7 5 - 2 8 3 【7 】l a w r e n c ec e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n m 、a m e r i c a nm a t h e m a t i c a l s o c i e t y , 1 9 9 8 【8 m a w h i nj ，w i l l e mm c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dh a m i l t o n i a ns y s t e m s m n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l e g ，1 9 8 9 ：1 2 7 4 【9 】t _ y o s h i z a w a , s t a b i l i t yt h e o r ya n dt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sa n d a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s m ，s p r i n g e r - v e r l a g , n e wy o 咄、l 9 7 5 4 邸兰军k i 4 n a r d 方程嚣 癸强d u f f i n g 方程磺究 第三章般形式l i 6 n a r d 型方程周期解的存在性 上章中我们讨论了特殊彩式的l i 4 n a r d型方程 一谛一( a w d ) 协一b w + f ( w ) = h ( r ) ，水章中我们将继续深入遮一讨论， 考虑一般形式豹l i 6 n a r d 型方程i + 厂 ) i 十9 0 ) = & 0 ) 的周期解问题。 善l 言 l i e n a r d 型方稷周期解的存在槛是人 1 j 非常关注豹闯蹶，遮方面已有广 泛深入的研究1 1 - 5 1 。多种非线性分析的工凰和i 方法被应用在此类5 2 2 阶常微分 方程周期解的研究中主要有变分方法与临界点理论 1 ，2 j ，拓扑鹰同伦方法 3 , 4 1 ，上下解与单调迭代方法1 6 1 ，微分同胚方法 7 , s , 9 1 等。本章中，我们考 虑一般形式的l i 6 n a r d 型方程周期解问题( p 1 ) ； 安歹羔) 童+ g ( 鬈) 翟蠹0 ) ( 3 ，| ) x ( o = x o ( r ) ，i = 0 ，l( 3 2 ) 在文 1 0 1 中，( x ) 怒常数。而本章将考虑厂( x ) 为连续函数。首先制栩s o b d t e y 空间范数，给出了解的先验估计，然后利用变分方法，通过8 c h # n d e r 不动 点定理，证明了周期解的存在性。 2 艇的估计 嚣翻考虑魏下鸯孽l i 垂拜a r d 方程羯麓孵翘惩( 班，： 章i z ) 量+ g ( 硝；h ( o ( 3 1 ) x o ) ( o ) = 一7 ( r ) ，f = o ，l( 3 2 ) 不失一般性，设g ( o ) = 0 ，x ( o ) = x ( t ) = 0 。 考虑s o b o l e v 镦间矽1 1 2 ( o ，r ；月) 。 定义1 2 的予空间e = x w 1 2l x ( 0 ) = x u ) ( r 父f = o ，l ，以下篾 记糊f = 阳。 引理3 。 设( 1 ) g c ( 矗) ，f c ，工岂e 也即 邹兰军l i e n a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 m 2 出一菇。x = - f j h x d t ( 34 ) 由柯两不等式，有 坩d f 了t 2 坩出 ( 35 ) 从条件( 2 ) 及c a u c h y 不等式，( 3 4 ) 式化为 毒卅2 d r 曼聃2 出一k ( x ) a t 嗍l ( 胍) 1 2 a t ) “( 坩d 0 “ 我们可得 ( f 2 一五) 一1 ( 3 6 ) 另一方面，有 ( 吾一五) 坩西 州s u p 弘) 肌邮r 俐m | | 也即l 1 丁“( i 2 丁一五) 一、恻j 。，证毕。 推论3 1 在引理3 1 条件下若g ( x ) 单调不增，则问题( p 1 ) 的解 有界且 下2 i l x l l - 0 或 s u p f ( x ) = 叩 0 ，则问题( p 1 ) 的解有界且 个甲“ 蔓去p 。，苦p 。1 。 二v 二 下个 或i l x l l - 0 为例证明。 对( 3 1 ) 式两边与量作内积，得 6 燕兰篓：! ! ! ! ! ! ! 塑堡塑! ! 苎垂! ! 型! 坚查堡堡塞，。一一一一 函 所以 也即 f ，o ) i c 2 d t 十麝( 啦露；廖( 。融 暴( x ) s c d t = 焉孵溥砘 f ，譬2 d t = 肛触 ( 3 s ) p f i 2 a c t _ f ，( 善) i 2 盛( f 自| 2 d r ) 摧( f l 量| 2 a t ) 嗍s p - i 虫( 3 。5 ) 式，碟 谶去矿。黼 与引理3 1 证明凝似，我们谢 戮s 尹嚣p 。溅。 测量芸p - l l 蠢艮 对s u p f ( x ) = 柠o 情形同域可证。证毕。 r e s a i x ( t ) l t 蔓删2 旃姆坼必，鬈 和引理3 1 ，引缓3 2 ，我们可褥如、f 推论 推论3 2 设在引理3 , 2 条件f ，则问觑( p 1 ) 的解有界麒 t x ( t ) ls l r 酬- 壤 l l h t l 或l x ( o l 舞l r ( k 嘲( - v 一；，溉 l t h 。l l ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 。1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 + 3 ) | m i 珏溉万t 矿。 l l h l t 8 婶。b 。t i n k t “澈 l |n ，二嚣p “删 。 。诣，| 聪哪，去) 瓣 蚓辞9 _ m i n k t “孙) - i 州硎。 l“，二攀( 一叩) 。删i 。 推论3 4 在引理3 1 ，3 2 条件f ，慧a ( f ) s0 ，1 j i b i s ( p 1 ) 不存在非 警咒瘸勰鼹。 邹兰车l i 4 n a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 3 解的存在性 我们首先考虑问题( p 2 ) ： i + g ( x 、= h ( 0 x o ) ( o ) = x j ) ( r ) ，i = 0 , 1 定义泛函j ：e 斗r l ，( x ) = f ( 制2 一矿( x ) ) 出+ ( ，x ) ，v x e 其中y ( x ) = 【g ( s ) d s 。 易证下面的变分原理。 s i 理3 3j 在e 中的临界点是问题( p 2 ) 的解。 引理3 4e 上的“2 范数等价于下述模 = ( 肭2 d t ) “v x e ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 证明：对v z e ，( 3 5 ) 式成立 肭2 出2 埘) 出 ( 1 + ；) 出 ( 3 1 7 ) 结论即证。 定理3 1 设( 1 ) g c ) ，f c ( r ) ，女( r ) 是r 上的以t 为周期的连 续函数，且【h ( t ) d t = 0 ：( 2 ) v ( x ) m ，v x r ，则问题( p 2 ) 至少有 一个? - 周期解。 证明：由( 3 5 ) 式， 旧枞抄忪8 万t 由( 3 1 6 ) ( 3 1 8 ) 式， m ) 排卜去一m t ( 31 9 ) 当忙。忆= 0 量。| | o o 时，j ( x 。) 一。且在e 中，( x ) 下方有界，因此，由 正则性定理，极小解x ( 0 c 1 0 ，即是( p 2 ) 的解。 定理3 2 设( 1 ) g c ( r ) ，f c ( r ) ， ( f ) 是r 上的以t 为周期的连 续函数。且弘( f ) 加= o ：( 2 凹华= 五 0 ，设 l lw | i 。sr 。由引理3 m 亦即1 5 w b 。川r 或 l 叫l rs ra 对( 3 2 0 ) 式与x 。作内积，有 n 。1 2 出一蜃( x 。) x w d t = 丘，( w ) 伽一 ( f ) 】x 。d t ( 3 2 2 ) 从定理条件( 2 ) ( 3 ) 和( 4 ) ，我们有 吾r 卜。1 2 研一五r k ，1 2 西f f l h ( t l + i ，( w ) 谛l l k 陋 茎辩、ih(f)忡。厶f(1wl+1w1)lh陋te f o ，1 ” s ( p s u p ) i + 扼圳w 圳l x 4 p ( 3 2 3 ) t e l 0 ，- 1 因此 另一方面 即 i i x i i 番( 嘲i ii i 。+ 皿 当 0 时，由( 3 2 2 ) ，( 3 2 3 ) 和( 3 5 ) ，得 m 2 出印肌i ii i 。+ 扭i i 匀扎i i i i 量w l l r 兰击1 1 i i 。+ 皿) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 当a 0 时，有 1 1 量1 1 ，兰嘉( m i ii i 。+ 皿，) ( 3z e ) 由( 3 2 4 ) 一( 3 2 6 ) 和( 3 1 3 ) ，( 3 1 7 ) 式显然可知函数族 x 。) 等度连 续，而且，从( 3 1 3 ) ，( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 式得出 x 。 一致有界。据 a s c o l i a r z e l a 定理，扣。) 在c o ，t 是相对紧的，即映射f 是紧的。 1 9 辱 邹兰军l i n a r d 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 现在选择， 0 ， 使得z ( t 侧圳。+ 丑，) o ， 则问题( p 1 ) 至少有一个解x c 2 【o ，t 】。 证明：因g ( x ) 连续且单调不增，g ( o ) = 0 ，知x g ( x ) 0 ，在定理3 2 证明中 取五= 0 即证。 4 小结 本章较上章进行了推广通过s c h a u d e r 不动点定理，给出了一般形式的 l i 6 n a r d 方程膏+ f ( x ) 2 + g ( x ) = ( r ) 的周期解存在的充分条件。研究此类 问题经常使用的工具是不动点定理，通过构造一个先验界，然后得到存在性 结论，但这不能得到唯一性结果，因此，下章中我们将运用同胚和不动点相 结合的方法来考虑n 维d u f f i n g 型方程。 5 参考文献 【1 1m a w h i nj ，m i l l e mm ，m u l t i p l es o l u t i o n so ft h ep e r i o d i cb o u n d a r yv a i u e p r o b l e mf o rs o m ef o r c e dp e n d u l u m t v p ee q u a t i o n s j j d i f f e q u s 1 9 8 4 5 2 ：2 6 4 - 2 8 7 f 2 1l l a s s o u e d ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fas e c o n do r d e rs u p e r q u a d r a t i cs y s t e m s w i t hac h a n g e o f s i g ni nt h ep o t e n t i a l j ，j d i f f e q u s ，1 9 9 l ，9 3 ：1 1 8 【3 】g ew e i g a o ，o n t h ee x i s t e n c eo fh a r m o n i cs o l u t i o n so fl i e n a r d s y s t e m s j ，n o n l i n e a r a n a l ，1 9 9 1 ，1 6 ( 2 ) ：1 8 3 - 1 9 0 【4 】j p g o s s e z ，p0 m a r i ，p e r i o d i cs o l u t i o n so fas e c o n do r d e ro r d i n a r y d i f r e r e n t i a l e q u a t i o n ： a n e c e s s a r y a n ds u f i l c i e n lc o n d a i o nf o r n o n r e s o n a n c e j 1 9 9 1 9 4 ：6 7 - 8 2 5 】s u g i ej ，h a r at ，n o n - e x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l m i o n so f t h el i e n a r ds y s t e m ， j m a t h a n a l a p p l j ，1 9 9 1 ，1 5 9 ( i ) ：2 2 4 2 3 6 嘉 辱 邹兰掣l i 6 n a r d 方程和非熬扳d u f f i n g 方程研究 【6 1n i e t oj ，j 。，n o n l i n e a rs e c o n d - o r d e rp e r i o d i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s j ，j + m a t h 。a h a l ，a p p i ，1 9 8 8 ，1 3 0 ：2 2 - 2 9 【7 l s h e nz u h e ，m + a w o l f e ，o nt h ee x i s t e n c eo f p e r i o d i cs o l u t i o n so f p e r i o d i c a l l yp e r t u r b e dc o r l s e r e a l j v es y s t e m s j j m a t h a n a l a p p l ，1 9 9 0 ，1 5 3 ( 1 ) ：7 8 8 3 【8 】黄文华，沈袒和，d u f f i n g 戮方程组的边界值问题的解的存在性【j l ，殿 用数学和力学，2 0 0 0 ，2 1 ( 8 ) ：8 7 5 8 8 0 f 9 l 黄文华，营蔫生，洗穗秘+ 荧于棼线挂穗煮避器毽勰题 “8 + g ( t ，辫) = ，) ，“( 一“( 2 囝= 0 魏解豹存谯性和唯一性翻，藏矧数譬耩 力学，1 9 9 8 。1 9 ( 外：8 2 1 ，8 2 6 ( 1 0 l t a nj u n y u ，w e n s h i l i a n g ，p e r i o d i ct r a v e l i n gw a v e s o l u t i o nt oaf o r e 嘲 t w o - d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dk d v - b u r g e r se q u a t i o n j j m a t h r e s e a r c h e x p o s i t i o n 2 0 0 1 2 1 ( 4 ) ：4 8 3 4 9 0 邹羔军l i n a r d 方骥帮非共振d u f f i n g 方程研究 第四章带阻簏的n 维d u f f i n g 方程解的存在性 1 弓l言 本辇考虑荣毒疆楚磺懿d u f f i a g 嫠方程的边蕊潮蔻： f矗 “”) + 搿鼍v f ( f ) ) 十v g 国9 ) ) + ，( f ) = 0，。 e艘 k q l ， l u ( o ) = u ( 2 z ) ，“+ ( o ) = “( 2 z ) 冀中# 震4 ，f ，g c 2 ( 霆8 ，霞) ，f c ( r ，霆”) ，f ( t4 - 2 万) = f ) 。 肖“= 0 时方程( 4 ，1 ) 为标准的d u f f i n g 方程，其周期解的存在性和唯一 性一直是研究的热点，特别近二二十龟兰来该研究领域涌现出各种非线性方法 1 1 - 5 1 ，但对于带阻尼项( 方程( 4 1 ) 中。【= 1 ) 的t 作还不多见，尚然这类 方程也可班纳入l i n a r d 型方程的研究范嫡，礴炎方法就会有拜吁不髑扣“。 本零熬蠢豹在予运翻d u f f i n g 方程绽豹存在髓爨l 难一往来疆究带餐避趸瑗 方鹅周期解的存在拣。 2 预备知识 韬 x 。鬈【o ，2 石】； u ( t ) l 掰：【0 , 2 z 】r ，h ) = ( “。( ) ) 。l ，t , 。l 2 o ，2 z 定义内积：对魄，v 并 o ，v ) = “嫩v ( t ) ) d t = 宝f 毽( t ) d t ( 4 - 2 ) o ，v ) 。魏( ) ，2 j 。毽p ) ( 4 - 2 ) 范数：m ( ”，封) 则为h i l b e r t 空间。 发d = “j “( f ) c 2 ( f 0 ，2 1 t 1 ，段”) ，( o ) = u ( 2 z ) ，群( o ) = “( 2 彤) # f ) 筑慰连续，蕊瀵是f 嚣g ) 1 2d t 嘲 线骰簿子l ：d 寸并妇l u = 一甜定义，n l 是d 上稠定的自律麓掉子脚。 d 在圈范数9 t 是b a n a c h 空间，其中图范数9 i i i x 呻最定义为 猁= n i + i i l 4 1 ，v u d ( 4 。3 ) 聪矧w i r t i n g e t s 不镩式弦降”旷可懿证明豳范数与s o b o l e v 范数 f 蹦十胁+ 陋5 是等价的，据s o b o l e v 嵌入定理，d 可以紧战入列 f o ，2 筇】，其中c ，i ，【o ，2 z = 殛：r r “i 掰，巍【0 , 2 z 有连续靛一淤导 数 。 为了便于叙述，记( m f ) ( 如= v g ( f ) ) ，f 【0 ，2 厅1 邹兰半l i 6 n a ld 方程和非共振d u f f i n g 方程研究 ( m u ) ( t ) = 一厂( f ) + 专v f ( “( r ) ) ，f 【0 ，2 z 则方程( 4 1 ) 当取= 0 和0 【= 1 对应的边值问题分别为： l u + 啊】_ 厂( 4 4 ) l u ( o ) = u ( 2 n ) ，“( o ) = “( 2 z ) 上“+ m 2 州卅( 4 5 ) l ”( o ) = u ( 2 x ) ， ( o ) = 7 ( 2 刀) 设g m ) 有连续的二阶偏导数，于是是连续可微的，且有 ( ，( 。) ，) ( f ) ：一( 旦；! ! 嬖盟) 。o ) ，( 。，d ( 三) ，f 【o ，2 疗】) o x | 僦1 = 一q ( “( ，) ) v ( f ) 则q ( 日)