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跳扩散模型下两种奇异期权的定价研究 摘要 未定权益的定价是金融数学研究的核心问题之一，它涉及现代金融学的资 产定价理论、投资组合理论以及现代数学中的随机分析、随机控制、优化理论 等学科。要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的估价， 如何确定金融衍生证券的公平价格是它们合理存在与健康发展的关键。近年来， 国际金融衍生市场除了人们熟知的欧式期权和美式期权之外，还涌现出了大量 由标准期权变化、组合、派生出的新品种。本学位论文主要致力于金融学中两 种期权定价问题的研究，运用鞅论、随机分析等数学工具建立跳一扩散过程的期 权定价数学模型，推导出了股票连续履约价期权、障碍期权跳一扩散定价。、 第四章运用期权的风险中性定价理论，在标的资产价格服从p o i s s o n 跳扩 散模型，且跳跃高度为常数的条件下，利用g i r s a n o v 定理，获得唯一的等价鞅测 度，利用期权定价的鞅方法得到跳扩散模型下的连续履约价期权定价的解析式 第五章运用期权的风险中性定价理论，在标的资产价格服从跳扩散模型，预 期收益率，波动率和无风险利率均为常数以及风险资产支付红利的假设下，运 用g i r s a n o v 定理获得了价格过程的等价鞅测度，用期权定价的鞅方法得出障碍 期权的定价公式。 关键词：跳一扩散过程；障碍期权；连续履约价期权；期权定价：鞅测度 a s t u d yo nt w o e x o t i co p t i o n sp r i c i n gu n d e r j u m p d i f f u s i o nm o d e l a b s t r a c t f i n a n c i a lm a t h e m a t i c si san e wd e v e l o p i n gb r a n c ho fs c i e n c e ，i ti sn o w b e i n g p a i d c l o s ea t t e n t i o nt oi nt h ed o m a i no fi n t e r n a t i o n a lf i n a n c ea n da p p l i e d m a t h e m a t i c s u n c e r t a i n1 ) f i c i n gi so n ec o r eo ff i n a n c i a lm a t h e m a t i c ss t u d y , i t i n v o l v e st h et h e o r i e so fm o d e mf l n a l l c es u c ha sa s s e tp r i c i n gt h e o r y ，i n v e s t m e n t c o m b i n a t i o nt h e o r ya n di ti n v o l v e st h e o r i e so fm o d e mm a t h e m a t i c ss u c ha s s t o c h a s t i ca n a l y z i n ga n do p t i m i z i n gt h e o r yt o o e f f e c t i v em a n a g e m e n to fr i s k o c c u p i e st h er i g h te v a l u a t i o no fd e r i v a t i v es e c u r i t i e s t h ec r i t i c a lt h i n gi st h a tt h e f i n a n c i a ld e r i v a t i v es e c u r i t i e se x i s tr e a s o n a b l ya n dd e v e l o pp r o p e r l yi sh o wt ov a l u e i t sf a i rp r i c e r e c e n t l y ，i na d d i t i o nt ok n o w ne u r o p e a no p t i o n sa n d a m e r i c a no p t i o n s ，t h e r ea p p e a r m a n yn e wv a r i e t yw h i c ha r ec h a n g e d ， c o m p o s e d ，d e r i v e db yv a n i l l ao p t i o n si ni n t e r n a t i o n a l f i n a n c i a lm a r k e t t h i s d i s s e r t a t i o ni si n t e n d e dt os t u d yo p t i o np r i c i n gp r o b l e m s ，s oa st oe s t a b l i s ht h e m a t h e m a t i cm o d e lo fo p t i o np r i c i n gw i t hj u m p - d i f f u s i o np r o c e s sb ym e a n so t m a t h e m a t i c a lt o o l ss u c ha sm a r t i n g a l et h e o r ya n ds t o c h a s t i ca n a l y s i s ，t od e d u c e c o n t i n u o u s 触c a l lo p t i o n s 、b a r r i e r so p t i o n sp r i c i n gw h e ns t o c k ：c ed r i v e n 姆 j u m p - 衄u s ep r o c e s s t h ec h a p t e r4i sb a s e do nt h et h e o r yo ft h er i s k - n e u t r a l u n d e rt h es t o c k s p r o c e s si sd r i v e nb yp o i s s o nj u m p - d i f f u s i o n , a n dt h ej u m p h e i g h ti sc o n s t a n t , u s i n g g i r s a n o vt h e o r e m ，t h eo n l ye q u i v a l e n tm a r t i n g a l em e a s u r ei so b t a i n e d ，a n dt h e p r i c i n go fc o n t i n u o u s s t r i k eo p t i o n so nj u m p - d i f f u s i o nm o d e la 托o b t a i n e db y m a r t i n g a l em e t h o di nac o m p l e t em a r k e t t h ec h a p t e r5i sb a s e do nt h et h e o r yo ft h er i s k - n e u t r a l u n d e rt h es t o c k s p r o c e s si sd r i v e nb yp o i s s o nj u m p d i f f u s i o n , a n dt h er a t eo fe x p e c t e ds t o c k - r e t u r n s ， f l u c t u a t i n gr a t ea n d r i s k 1 e s sr a t ea l ef u n c t i o no ft i m ea r ec o n s t a n t , u s i n g 洳a n o v t h e o r e m , t h ep r i c i n go fe u r o p e a no p t i o n so nj u m p - d i f f u s i o nm o d e lw e r eg i v e n k e yw o r d s ：j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ；j u m p - d i f f u s i o n ；c o n t i n u o u s s t r i k eo p t i o n ； o p t i o np r i c i n g ；m a r t i n g a l em e a s u r e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 金避工些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 砂药 j 签字日期：翻岁年白形日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 起王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：d 牢6 曼莉 ， f 只l 掘 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 怫恤 签：孚日飘。枷。警军易窍f 易b 电话： 邮编： 致谢 本文是我的硕士研究生学位论文，也是我硕士学习成果的一次总结，在我 的硕士学习期间和论文写作期间，得到了许多老师、同学和好友的帮助，他们 的悉心指导和热情帮助令我终生难忘。 本论文是在我的导师杜雪樵教授的悉心指导下完成的，老师的严谨求实的 治学态度、广博的学识和朴素的作风给我留下了深刻的印象，为我树立了学习 的榜样，这些将使我终生受益。 真诚的感谢导师杜雪樵教授在我整个研究生学习阶段悉心的关怀和指导， 感谢他的言传身教和谆谆教导。衷心的感谢凌能祥老师、惠军老师等老师的辛 勤培养和教诲，是他们的教育使我顺利的完成硕士学习。 最后，感谢并祝福所有帮助和曾经帮助过我的人! 作者：王莉 2 0 0 8 4 1 1 期权的发展历史 第一章前言 期权( o p t i o n s ) 是一种特殊的金融衍生产品，是风险管理的核心工具，是 一种客观的选择权，它可以给期权的购买者一种在规定期限内按交易双方约定 的价格( 敲定价) 购买或出售一定数量的某种金融资产的权利。按照所赋予的 权利不同，期权可分为看涨期权( c a l lo p t i o n s ) 和看跌期权( p u to p t i o n s ) ； 按照执行时间的不同，期权可分为欧式期权和美式期权。随着金融市场的不断 发展与完善，又有了许多新型期权的出现，如两值期权、障碍期权、亚式期权、 回望期权、彩红期权、一篮子期权连续履约价期权等，这些新型期权的出现既 繁荣了衍生证券市场，又促进了期权定价理论的发展与完善 期权定价理论对金融市场具有巨大的现实意义，是现代金融理论最为重要 的成果之一，它在股票期权激励、金融风险管理及公司财务管理中有着广泛的 应用现代期权定价理论的历史，开始于1 9 0 0 年，法国数学家路易斯巴舍利 耶( l o u i sb a c h e l i e r ) 在他的投机理论中最早提到期权定价模型，这一理 论认为股票价格服从布郎运动，巴舍利耶的投机理论被认为是资产定价理论诞 生的标志。但是他的公式是建立在一些不现实的假设之上的，如利率为零，股 票价格可以为负等。著名经济学家萨缪尔逊( p a u ls a m u e l s o n ) 在1 9 6 4 年对 巴歇里埃的模型进行了修改，以股票的回报代替原模型中的股票价格，这个修 改克服了原模型中股票价格可能出现负值的情况，但他提出的定价公式中有两 个量依赖于投资人的个人偏好，在实际交易中很难得到应用直到1 9 7 3 年布莱 克( f i s c h e rb l a c k ) 和斯科尔斯( m y r o ns c h o l e s ) 在他们的期权与公司财务的 定价中提出了著名的b - s 模型，期权定价理论才有了重大的突破他们利用套 利推理和随机分析中的i t o 公式证明了股票期权价格过程可表示成股票价格和 时间t 的函数v ( s ，t ) ，其中v 一满足偏微分方程，并由此导出了一个期权定价 公式，即著名的b l a c k - s c h o l e s 公式。这个公式的创新之处在于不依赖于投资 人的偏好，它把所有投资人引向一个风险中性世界。随后，m e r t o n 在合理的 期权定价理论 一文中对b l a c k - s c h o l e s 模型和定价公式进行了推广和完善， 并将他们利用期权来估价公司负债的思想发展成为所谓的“未定权益分析一。由 他们三人共同开创的期权定价理论给整个现代金融市场的理论带来了一场革 命，被誉为“华尔街的第二次革命 此后，期权定价理论得到了飞速发展，到 目前为止，已经发展成拥有数千种不同形式的衍生证券，产生了许多新型期权。 十八世纪后期的美国和欧洲市场出现了期权交易，但由于制度不健全等因 素影响，期权交易的发展一直受到抑制。直到1 9 7 3 年4 月2 6 日芝加哥期权交 易所( o b o e ) 开张，进行统一化和标准化的期权合约买卖，期权交易才规范化 并迅速发展壮大起来现在，期权交易已经遍布全世界。中国的金融市场起步 较晚，目前我国期权交易处于试行阶段，但自从1 9 9 5 年郑州商品交易所被接纳为 国内唯一的“国际期权市场协会 会员开始，中国期权市场发展已经历1 0 年， 1 0 年来，中国期权市场研究从三方面迈出了坚实步伐，即期权制度体系建设， 期权市场需求开发和期权技术系统设计。中国期权市场研究发展的速度越来越 快，期权研究将成为2 1 世纪中国期货业改革和创新的主旋律。 期权定价的研究工作主要归纳为如下几个方面： ( 1 ) 将b l a c k s c h o l e s 模型推广到带跳的扩散过程和随机波幅情形，以便解 释从实际期权市场中观察到的用b l a c k - s c h o l e s 模型无法解释的现象： ( 2 ) 研究依赖价格变化路径的奇异期权的定价和它的数值计算方法： ( 3 ) 研究不完全市场( 主要是带跳的随机过程或一般的半较过程模型) 中的 期权定价、套期保值或对冲以及最优消费投资组合问题： ( 4 ) 研究带“摩擦 的金融市场中的期权套期保值或对冲，这里所指的摩擦 包括交易费、税收、买卖价差和各种约束条件； ( 5 ) 带违约风险的期权定价问题； ( 6 ) 不对称信息下的市场交易。 1 2 本文主要内容 本文首先介绍了期权概念及相关知识，随机过程的一些内容，和欧式期权的 跳扩散定价模型，并在前人的基础上继续研究了连续履约价期权及欧式障碍期 权的的跳扩散定价模型即 ( 1 ) 在标的资产价格服从p o i s s o n 跳扩散模型，且跳跃高度为常数的条件 下，利用g i r s a n o v 定理，获得唯一的等价鞅测度，利用期权定价的鞅方法得到跳 扩散模型下的连续履约价期权定价的解析式 ( 2 ) 运用期权的风险中性定价理论，在标的资产价格服从跳扩散模型，预期 收益率，波动率和无风险利率均为常数以及风险资产支付红利的假设下，运用 g i r s a n o v 定理获得了价格过程的等价鞅测度，用期权定价的鞅方法得出障碍期 权的定价公式。 2 2 1 随机过程相关知识 2 1 1 泊松过程 第二章预备知识 定义l 一计数过程 ( f ) ，t 0 称为强度参数是z ( 旯 0 ) 的齐次泊松过 程，若满足【3 】： ( 1 ) ( o ) = 0 ； ( 2 ) o ) 是齐次独立增量过程， ( 3 ) 对任意0 s 0 ，有p i n ( t + 功一( ，) = 1 】= 五( f ) 办+ d ( 办) ， p n ( t + h ) - n ( t ) 2 】_ 吠功。 2 1 2 鞅 定义3 设 x ( f ) ，t n 为随机过程，如果【5 】 ( 1 ) 耳i x o ) i 】 o o ，t t ( 2 ) 对t 中的任意参数f l f 2 o ，x o + f ) 一x ( s 卜n ( o ，盯2 t ) ，即石0 + f ) 一x o ) 是期望为0 ， 方差为仃2 t 的正态分布； ( 3 ) x ( f ) 关于，是连续函数。 则称 x ( f ) ，t o 是布朗运动或维纳过程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 当仃= 1 时，称 x 0 ) ，t 2 0 为标准布朗运动，此时若x ( o ) = 0 ， 石( f ) ( o ，d 。记标准布朗为 矿( ) ，t o ，它在，时刻的概率密度函数为： 1 一 f a x ) = 去p 卫。 上兀 标准布朗运动具用下述性质： ( 1 ) ( 正态增量) w ( t ) - w ( s ) 州( o ，t - s ) ，即形( ，) 一形o ) 服从均值为o ， 方差为t s 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) w ( t ) - w ( s ) 州( o ，t s ) ，独立于过程过去的状态 形 ) ，0 甜j ； ( 3 ) ( 轨道连续) 对v 国q 形( f ) 是t 的连续函数。 2 1 4g i r s a n o v 定理q 定理2 2 ( g i r s a n o v 定理) 设形，o t s 丁为标准b r o w n 运动，令 z | ( 柳= c x p h a w 一j 1f 皿2 凼) ( 2 8 ) 假定磁( 日) = 1 ，对w 再，令q ( 彳) = 乙( 日) 卯及 形。= 形一f 皿凼，o t 一1 ) 为股票价格发生跳跃时相对 跳跃高度，h = e ( u ) ，其中e 为期望算子。假定u ，z f ，m 相互独立，螂+ u ) 服从正态分布( 坂1 + 妨一去秒2 ，矽2 ) 。 z 根据等价鞅测度存在定理，存在一个与尸等价的鞅测度p ( 风险中性测度) ， 形为测度，下的标准b r o w n 运动于是( 3 1 5 ) 式可写为 姆= s t ( r - q - a h ) d t + o d w t + u d n t 】 ( 3 1 6 ) s d e ( 3 1 6 ) 的d o l e a n s e - - d a d e 指数解为 r。 品= se x p ( ，一g 一砌一去矿2 ) 盯一，) + 盯( 孵一形) + h 1 + u ) ) ( 3 1 7 ) trio 其中q ( q 一1 ) 为股票价格发生跳跃时的相对跳跃高度，且弘是与u 独立 同分布的随机变量。 3 2 2 跳扩散模型下的欧式期权定价公式 到期日为f ，执行价为k 的欧式买人劂权在判别目的收盈为 c ( r ，品) = ( 品- k ) + 定理3 1 在跳一扩散模型( 3 1 5 ) 中，到期日为r 。执行价格为k 的欧式 买入期权在时刻，( o s fs t ) 的价格是 c o ，s ) = 驴m 急 a ( 1 + h x t - t 靠) ! r e - a 0 + h x r 叫) - ( 西) 一k 妻巡型譬竺e - c r - o n ( d z ) ( 3 1 8 ) 。n - o t t1 1 0 其中磊：i n st(l+h)+(r-q丽-ah)霸(t-t葡)+lcr2(t一-t)+n仃j2， 、仃( = f 一d + ，幻0 畋= 西一后可丽 证：令f = t r ，由期权定价的鞅方法得： c ( t ，墨) = e ，【口一“r q ( 岛一k ) + i 丐】 = e ，一斤岛昂拭，ly , - x e ，一疗昂丛 l 巧】 = i i i _ i a x = o - ( w , 一形) ，y - h l ( 1 + 配) ，则对固定的刀， x + 】，一n ( 1 n ( 1 州”一三2 ，卉+ 2 ) ( 3 1 9 ) i 【墨e x p - ( q + 砌+ 爷嘏吲+ 善h 嘲卜乳睁州m 】 = 墨姜垡学删争吖m 出卜峥，】 磊 刀! i j r + y 曲i 吾一( ，1 一舶一手) r 。 引强姜学i 争，m ) _ ( 匾) ：s p 一哇掣矿硼帅 ) 各 n ! 一7 = 肛，【e 1 o ( w r 哪啪扣q a h 一 一嵫卜芝。1 n ( 1 + 珥皿l l i 詈一( ，j 弦 = k 羔n f f i 0 哮州中k 千呜1 - 以! z 小k r ( h 一肭 ) f ) 。 = k 艺幽竽矿川吐) 备 刀! 一7 将( 3 2 0 ) 式与( 3 2 1 ) 式代入( 3 1 9 ) 式即证得定理3 1 i l ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 第四章跳一扩散模型下连续履约价期权的定价 4 1 连续履约价看涨期权 连续履约价期权是有h a r t 及r o s s ( 1 9 9 4 ) 所介绍我们以连续履约价看涨 期权为例连续履约价看涨期权是指某履约价从某一单点k 起，以上的价格都是 履约价比如说，若k = 5 0 ，则连续履约价是从5 0 开始以上的价格都是履约价 在到期时再根据到期标的股价计算收益 为方便说明，我们以间断价格( 5 0 ，6 1 ，6 2 ，) 做范例若k = 5 0 ，连续履 约价为5 0 ，5 l ，5 2 ，5 3 ，连续履约价看涨期权可由一系列的单一看涨期权组合 而成每一期权的履约价可表示为k + ( f 一1 ) a k ，f = l ，2 ，塍= l ，也就是，第一看 涨期权的履约价为k = 5 0 ，第二看涨期权的履约价为k = 5 0 + 1 = 5 1 ，第三看涨期 权的履约价为k + 2 a k = 5 0 + 2 = 5 2 ，等等在到期时，该连续履约价看涨期权收 益可经由下列表格计算： 看涨期权i ( k = 5 0 ) 0 00l23456 看涨期权0 000l2345 2 ( k = 5 1 ) 看涨期权3 ( k = 5 2 ) 0 0000 l2 34 看涨期权4 ( k = 5 3 ) 0 0000 01 23 看涨期权5 ( k = 5 4 ) 0 000000i2 看涨期权6 ( k = 5 5 ) 0 0 0 00 000l 看涨期权7 ( k = 5 6 ) 0 0000 0000 !；!； 买权组合的到期收益0 001 381 01 52 1 组合内每一看涨期权的到期收益为： q = m a x 【爵- ( k + ( i - 1 ) t d o a k ，0 ) q = l ，2 ，“) 现在我们取必；垒丛，则q ：【品一( k + o 1 ) 垒二墨) 】墨兰，品 k 此时，到期收益为 f ( s r ) = 睁荤晦邓+ f 学) 】学 1 2 = ( 品一k ) 2 络争= ( 品一啪一警】 令a k 哼0 即刀专，则 厂( 品) = 巧一n 一= l 。i m ( s , i m , z c , i m ( s , 一k ) 2 【l 一等铲】 厂( 品) = l = 一k ) 【l 一掣】 一一，i = ( 品一k 厂l 。i m 1 一警】= 互i 旷s k ) 2 = f ( 品一x ) d x 因此，在连续履约价下，c s c 的到期收益结构可以表示如下： c s c r ：f ( s t ) ： 吉( s t ) 2 s r k 1 0s t k 4 2 跳扩散模型下连续履约价看涨期权的定价 4 2 1 模型假设 假设在一个连续的金融市场中有两种可交易的资产，一种是无风险资产如债 券，其价旦满足下面的微分方程： d b 。 丑d t ，岛= l ( 1 ) 其中为无风险利率，是时间t 的确定性函数 另一种是风险资产，如股票，在概率空间( q ，f ，p ) 中满足下面的随机微分方 程： 衄t = s t 【( a - x h ) d t + o 。d w t + h d n t 】 ( 2 ) 其中以为股票的期望收益率，吼为股票价格无跳时的波动率，w 为测度p 下 的标准b r o w n 运动，常数h 为股票价格跳跃的相对高度n 是参数为五的 p o i s s o n 过程且n 。与w 相互独立 1 9 7 9 年h a r r i s o n j m 和k r e p s 提出用等价鞅测度对期权进行定价和保 值，1 9 8 1 年h a r r i s o n j m 和p l i s k a 证明了如果市场是完备的无套利的，则市场 中必然存在与实际测度p 等价的唯一鞅测度p ，满足： 吾一口警昕三r 警灿) 若矿嘶仨f 哮2 a s 卜，则由测度交换的g i r s a n o v 定理知 1 3 磁5 以_ r ! 丛o - t d t 是，下的标准| b r o w n 运动，因此( 2 ) 变为： d s t = & 【( r t a h ) d t + o t d w t + h d nt 】 由d o l e a n s e d a d e 指数公式，( 3 ) 的解为： 母= 8 0 ( 1 州 e x p r ( 铂一三砰渺+ r 吼d 形， 4 2 2 连续履约价看涨期权的定价公式鲫 ( 3 ) 续履约价看涨期权( 简记c s c ) 从某单点价格k 开始，以上价格都是履约价格 ( 即都是期权的执行价格) ，在到期时再根据到期时的标的股票价格计算其现金 流量连续履约价看涨期权的现金流量为： 隅：f ( s t ) ： 壶( s t ) 2 s t k 【0 s t k 定理1 连续履约价格和股票价格分别满足( 1 ) 和( 2 ) ，则到期日为t ，执行价格 在k 以上的连续履约价看涨期权在当前时刻( t = 0 ) 的价格为 c s q = 茎鼍 扣州2 n e 2 t h t + r ( r t + 0 2 ) d t n ( d l ， - k s o ( 1 + h ) n c - 舳r ( d 2 卜娶e 卜n ( d ，) 】 ( 5 ) 其中 d l = d 2 = ，d ，= a ：、f , t 五2 g 产去e d x 为标准正态分布积累概率函数 证明：由期权定价的鞅方法可知： 哦钮，【e j c l r , a 互1 ( 品一k ) 2 k 置) 】 = 三e ，【e 知品2 k 副一碰p 【e r 气矗品k 副+ 丢k 2 e ：【e 卜 s t 堋】 ( 6 ) 令参= 唧 j c r 2 吼职- 三r ( 2 吼) 2 d t 卜吩町- j c r 2 吼a t 为q 下标准咖n 运 动 于是 e ，【e r a 品2 k r 】钮，【e 。r 啦爵( 1 + 妨巩e x p 2 r ( 一舳一圭砰渺+ 2 r q d 形 缸州 h 南r c 。，矗 1 = 姜华e 州t 碑一p t 州, j o * t o ：, 2 协 h 嘉c 。刮 2 姜牛( 1 + h ) 五e 嘶矗，抛矗仙h 拱删1 = 蒌华m ) 2 n e 驰n m 俨屹胁h 南似酬1 = 委毕( 1 + h ) 纽严m 叩酽枷 喃州叫1 = 挚攀( 1 时严扣扣萨即喃r 烨酬1 1 5 n f f i o 其中 d l = 毕：( 1 + h ) 净e - 2 x h r + r ( r , + 吼札n ( d 。) n ! ( 7 ) 令矿d r = e 印 r q d 町一三r 吼2 d t ) 则哌r = 盯- j c r q d t 为r 下的标准b r 。w n 运动 于是 e ，【e r 讪墨蹄置) 】钮， e r 啦哥( 1 + 厅) 川e x p ；( r t 一肭一三砰 r q 哪协枷丽k r 。，m 】 + ( 1 埘一气胁喃州，一 华o ( 1 岍肿r 忙+ 凶h 南州，m 1 n = o 其中 d 2 2 塑卑。( 1 + h ) n e j t h r n ( d 2 ) n ! ( 8 ) 脚 f 出昂淘沙矿牝 喃r 刮 = 妻毕。卜n ( d 3 ) - n = 0 n ! 其中 d 3 = d 2 一 ( 9 ) 由( 6 ) 一( 9 ) 式定理得证 将0 时刻改为t 时刻，用类似的方法可以得到下面定理： 定理2设连续履约价格和股票价格分别满足( 1 ) 和( 2 ) ，则到期日t ，执行价格 在k 以上的连续履约价看涨期权在当前时刻t 的价格为 c s c t = 委华扣+ h ) 抽e 测脚r ”枷啪 - k s 。( 1 + h ) n e ，饿r 帕( d ：卜要e r 讪( ) 】 其中 d d 2 = ，d ；= d 2 腼 户去e 号出为标准正态分布积累概率函数 说明：在定理1 中，当a = 0 , h - 0 ，= 常数，盯= 常数时，即为文献 2 9 中的连 续履约价期权在留= 0 时的定价公式 1 7 5 1 引言 第五章跳一扩散模型下障碍期权的定价 障碍期权是指在其生效过程中受到一定限制的期权。其报酬依赖于标的资 产的价值在一段时间内是否达到了一个特定的水平。一种类型叫敲出期权，当 标的资产的价格达到一个特定的障碍h 时，该期权作废；另一类叫做敲入期权， 当标的资产的价格达到某障碍时，期权才生效。其目的是把投资者的收益或损 失控制在一定范围之内。每种敲出或敲入期权依赖障碍h 与敲定价格k 的大小 关系分为上升、下降两种：当h k 时称为上升：又依赖 未定权益的不同分为看涨、看跌两种。因此我们有8 种障碍期权： 上升敲入看涨期权：( 品- g ) + ，。玎) ，h k ： 上升敲入看跌期权：( k 一品) + 哳玎) ，h k ： 上升敲出看涨期权：( s t k ) + & 川，h k ： 上升敲出看跌期权：( k s t ) + 护n ，h k ： 下降敲入看涨期权：( 昌一k ) + 玎) ，h k ， 其中r n - i n f t o ，s = h 本章讨论的是标的资产价格服从跳扩散过程的障碍期权的定价问题。 5 2 跳扩散模型下障碍期权的定价秘1 5 2 1 风险资产模型 考虑一个具有两个资产( 尽，s ) 的金融市场，e 为无风险债券，价格过程满足 码= 嘎出，常数，为无风险利率。s 为风险资产，其价格满足下面的随机方程： 1 8 譬：姐一2 h ) d t + 仃川+ h d r ! ， ( 1 ) 式中，常数和盯分别为s 的期望收益率、波动率，h ( 常数) 为风险资产价 格的相对跳跃高度：( 彬) 脚是定义在概率空间( c 2 ，f ，尸) 上的标准布朗运动。 f s 是由( 彬) ，卸生成的自然仃一代数。( 川) ，卸是强度为a 的即细刀过程。h - 1 ( 否 则会出现负的价格) 。( 形) ，卸、( | ) ，卸相互独立。这是一个不完备的市场，等价 鞅测度的选取决定了未定权益的定价，不失一般性，我们一下都假定p 本身为 一个等价鞅测度，即市场中任何风险资产的价格关于无风险资产忍的贴现过程 在p 中均为鞅。 令 z t * - - x p - 孚形 ( 学2 f ) ，器珥。己on r 其中，7 ：一砌，由g i r s a n o v 定理可知，形= 形+ 里! ，是p 下的标准布朗运 o 2 动。再令z f = e x p 口彬一三口2 ， 其中口= y 仃1 r = i 0 - 2 - - 2 r ，万d q = 乙。 由 g i r s a n o v 定理可知，形q = 形一a t 是q 标准布朗运动。此时，原生资产的价格 过程为 s = & ( 1 + j 1 ) 坼c x p 盯晔 。 记舻= s u p o g 盯形q ，则有 引理跚哗与m 罗的联合分布密度厂( x ，y ) 为 八毛力2 怍警0 慧倒y 肚x 。 i ，x ，或y 0 ，墨= h ) 。 定理l 原生资产价格服从随机过程鲁= ( p - 2 h ) 衍+ 仃d 形+ 翮m 的上 升敲, h f a 跌障碍期权的定价公式为 e p u t u p 加= j ( 台等l n 妄一( ，+ a ) r 疗：。刀：2 a n 坂l + h ) n ( d 1 ) 却掣l n 扣五一0 2 - 2 a o 沙薹丛半华 巩) 其中 d 1 ：! l ( 1 n 立k - nl n ( 1 + h ) ) - ；2 ( 1 n 立h - n ln一(1+h)+ar f i f l l 盯( 1 n6 k - - 。- - nl n ( 1 + h ) ) - - 三盯2 ( 1 n t t - n l n ( 1 + h ) ) + ( a - a ) t d ，：d 1 - 仃t 4 f - i - t ：二j l 毒k 一 二 r c 加= e - r t e ，( ( k 一品) + 锄s r ) ) = e q ( ( k f 口昭小号矿一s o ( 1 + 办) r ，口可) 呼 ， ) r ) + 厶钿s n ) ( 2 ) 因为丁聊日，则( 2 ) 式等价于 = p - ( , + - 譬2 ) r e o k e - 口呼- 墨( 1 + 协n r e - ( o - - d , ) j 0 2 昭 吉( 1 i l 妄一坼坂1 + 砌， 舻吉( h i h n r i n ( 1 圳) 】 i 似缸哆昭 三o n n 墨s o 一坼蚺吼舻吉( 1 n 要一坼蚺蚴卜 口。7 矿俨嗡( 1 + j 1 1 ) r p - ( 孵：哗 吉( 1 i l 专一n ti n ( 1 + ) ) ，舻l 仃( m _ u 一坼m l + 坳】 o s n o 芯n = g ，争( 彳一曰) 其中 彳= 薹导e 讲謦扣圳站州，胪脚，蚴 怠刀! l 。 号( 1 n 蚤啼h l 柏) 。、“7 7 丝! p 一灯 刀! e ( i n 7 嘞x - n l n o + h ) 胪c 昏吣 ，后等p 掣咖 型p 一灯弦，胪士e 掣 刀! k 2 万丁 盟2 一盯拖2 仃a ( i n 嘞h 州m r r l ! 一阮i 2 a h i h + 萼叫 = 膨口而2 b =丝兰p 棚 n ! ! 型p 坩 刀! n l n ( 1 + h ) ) 1 p 孕警n l n ( 1 + h ) ( l ( i nk ：- - n l a ( 1 + h 寺) 2 ( 1 n h - n l n ( 一l + h ) ) + a t ) 刀! 、 2 7 ( 3 ) 扣圳乒扣桫州n e - ( a - 口) x m 螂 弦吣”删n 巾训，c 睁吣 ，后字t 2 p 掣咖进 孕p 瞰1 州一謦 州m ) p 巾劬 刀!一 ：艺望孚p t 孚卅r 掣m 矿h 删瓯( 1 + 而y 一n = o n ! 一 。 p 妻州l + 的击p 枷枷 佃脚 掣 垒 佃脚 脚p 佃脚 坚 坂叫1 旦岛一 垫 叩 击 佃脚 佃脚 ：最e t 掣唧掣h 姜萝盟e 挚 ” 篙力! 叶矽弦蚺”南e 一出 = & 尸卅r 掣l n 姜薹一) 定理2 原生资产价格服从随机过程鲁= ( 一肭) d t + c r d 彬+ 烈的上升敲 mi n 一警1 1 1 簧一( ，+ 兄) 丁佃ra n 刀2 a 行m 1 + 协 c u p 湎啦盯 、 7 董丝当矿行m 1 + 价【( d 1 ) 一1 】 埒一竿h 扣扣t r 2 - z 2 a o ) r 三哔f 2 ( a - o ) n i n ( 1 + h ) m ( d 2 二 其中 呼吁仃厉= 盖竺害一 证明：因为( 岛- f ) + - - ( k - 品) + = s t - k ，则 c c a l l t u p , i n u p , 加= e - 盯e “墨一k ) 屯们) 】 一p - ( ， ) r e o 峨( 1 + 功j v r e - ( a - 口孵一尺矿口曙：舻吉( h 要一坼l i l ( 1 + 砌】 i ，饥哪州i v r e - ( a - o ) 昭矽吉( h 簧一仙( 1 + 蚴】 _ e - ( r + 譬2 ) r e q 峨舻吉( h 簧一仙( 1 + 蚴】 仃 j = p - ( ，+ 钒c 一。) 其中 c = 手n = o 鲤n p 埘e 睡，肿删7 ( 口可h m 蚴 孕p & ( 1 + j f z ) 疗亡矿( 口- 咖 ，z ! h 【华卅丁so e z 2 ( a - o - )l i l 旦 岛 - 4 - 0 0 n = o 一【吾m 蚤一刀l n ( 1 + ) ) 一x 1 2 e 2 t 出 坠垒型：2 竿删圳 。= 薹导p 坩亡辟蚺的胪讹y ，蚴 = 薹等p 一盯亡胪c 吐矿s o 吣 ，后等p 掣咖皿 = 薹警e 一盯亡矿丽1 p 竿2 h _ l + h ) ) - x f 出 一【一i n ：f 一” = 膨一2 仃a l n 岛h “譬卅r 萝蟛删圳 怠刀! 由定理l 知 佃脚 踹，切= 胎2 仃a h h 名) r s q e 所以 2 ( a - o ) 譬细( d 1 )刀! 、7 h 扣+ 名上等，r 单掣n l n ( 1 + h ) n ( d ，) 刀! 二 c u p 血= 尸u p 皿+ p - ( ， ) r & p 1 气生印一半l n 妥 c u p ，m = 尸u p ，m + p 一( ，+ 了沙 鼠p 丁 j - _ _ i 一物争要+ ( t 4 2 一五一k eo 氏 一勋一警h 和埘 = 膨仃 一s 二宁i n 旦- ( ，+ 名 一0 e 口 s o 其中 o - 2 2 a o 2 ) ( d 1 ) 一1 】 坠丝) 型：p 等盟岬圳 单掣州【1 一n ( d ，) 】 玎! 二 d 2 = d 1 一盯再 定理得证 又因为 一证一一i i l = ，r 溉尸一哼c m m 一一m = 广掣蕊；丁叫了“葛 s o 一卜 口z打h 、 ) 佃脚 佃脚 栅脚 掌节 脚佃枷 佃枷 栅脚 = g 七+ 钒氐j 譬机卅j i i 渤一2 ( a - o ) l n 安一 恐2 矿a l n h 品辱州m = “尘孚m 州+ 厅) - 2 a - o 砸等立惟s o k e 一警h 扣氘脚”r= & e z叮 一 仃 所以有 定理3 跳扩散模型下上升敲入看跌障碍期权与上升敲入看涨障碍期权的 平价关系为 c u p ，i n p u p ，i n = & j 孚m 州廿 声砸掣睢h 一于2 a h s o k e s o 氘刎r s 震 2o o 说明：在定理1 中，当旯= 0 ，h = 0 时，即为b l a c k s c h o l e s 市场模型下的上 升敲入看跌障碍期权的定价公式 = 2 叮a 拦s o 川( 兰挲m p 一2 ( - , ，- 0 ) h 要1 卑f 拦葶竺) 与文献 3 0 结论一致 结束语 自从1 9 7 6 年莫顿首次引入跳一扩散，期权的跳一扩散定价问题就成为众多学 者关注的问题。尽管基于b r o w n 运动和正态分布的b l a c k - s c h o l e s 公式在金融衍 生物的定价上已经取得极大的成功。但是由于许多金融资产的经验分布曲线表 现出的偏斜性和肥尾现象，这与资产的价格服从几何布朗运动有着较大的偏差， 而这个偏差也就影响这各种期权的定价。由于在b l a c k - s c h o l e s 公式中，各种参 数为常数，这一点也与事实不完全相符。本文是在假设股票价格的跳跃过程为 p o i s s o n 过程