江西省鹰潭市2015届高三第二次模拟考试数学（理）试题含解析

1 江西省鹰潭市 2015届高三第二次模拟考试数学（理）试题 命题人：何卫中 贵溪一中 审题人：金俊颖 余江一中 试卷分第 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分， 满分 150 分，时间 120 分钟 第 卷 一、选择题：本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 已知集合 3l n 1 2 , = xM x y x N y y e x R 集 合R 则 C( ) A 1|2B |0 C 1|02D |0 2. 如图，按英文字母表 A、 B、 C、 D、 E、 F、 G、 H、 的顺序 有规律排列而成的鱼状图案中，字母 “O”出现的个数为 ( ) A 27 B 29 C 31 D 33 3 从随机编号为 0001， 000 2， 5000 的 5000 名参加这次鹰潭市模拟考试的学生中用系统抽样的方法抽取一个样 本进行成绩分析，已知样本中编号最小的两个编号分别为 0018， 0068，则样本中最大的编号应该是（ ） A 4966 B 4967 C 4968 D 4969 4 写出不大于 1000 的所有能被 7 整除的 正整数 ，下面是四位同学设计的程序框图， 其中正确的是（ ） A B C D 5 函数 x )31()(的零点所在区间为 （ ） A )31,0(B )21,31(C )1,21(D （ 1， 2） 6实数 a 使得复数1是纯虚数， 1 1 200,1b x d x c x d x 则 , 的大小关系是 （ ） A B B B C C C C C D D D D D D D 2 A B C b c a D 7 下列四种说法中，错误的个数有 （ ） 命题 “ x R，均有 2 320”的否定是： “ x R，使得 ” 方程 21 | 1 | ( 2 1 ) 0x y z 的解集为 1,1,2 “命题 p q 为真 ”是 “命题 p q 为真 ”的必要不充分条件； 集合 0,1A , 0 ,1, 2 , 3, 4B ,满足 A C B 的集合 C 的个数有 7 个 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 8 已知 3 4 2s i n , c o s ( ) ,5 5 2x x 则 （ ） A 39B 3|9m mC 1 5 9 先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有 1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 个点）两次，落在水平 桌面后，记正面朝上的点数分别为 x ,y ,设事件 A 为 “ 为偶数 ”， 事件 B 为 “x ,y 中有偶数且 ”，则概率 )|( 等于（ ） A31B21C61D4110 已知 0a ，若不等式31 6l o g l o g 5x n n 对任意 *恒成立，则实数 x 的取值范围是 ( ) A 1, ) B (0,1 C 3, ) D 1,3 11 已知 2( ) ( )x x x m 在 1x 处取得极小值，且函数 ()()( 5 ) 2 , ( 5 ) 3 , ( 5 ) 4 , ( 5 )f f m g g m ，则函数 ( ) 2() () 的图象在 5x 处的切线方程为（ ） A 3 2 1 3 0 B 3 2 1 3 0 或 2 3 0 C 2 3 0 D 2 3 0 或 2 3 13 0 12 已知函数 ( 1 )2 0 1 5 2 0 1 7( ) 2 0 1 5 s i 1 5 1x x 在 , x t t 上的最大值为 M ,最小值为 N ,则 的值为（ ） A 0 B 4032 C 4030 D 4034 第 卷 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 13若 是第二象限角，其终边上一点 ( , 5)且 2，则 3 14设 x， y 满足约束条件)0(14300 11yz x 的最小值为 2531()x x 的展开式的常数项的 140，则实数 a 的值为 15已知一个正三棱柱 ,一个体积为 43的球体与棱柱的所有面均相切 ,那么这个正三棱柱的表面 积是 16设双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy 的右焦点为 F ，过点 F 作与 x 轴垂直的直线 l 交两渐近线于A 、 B 两 点 ， 且 与 双 曲 线 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P ，设 O 为 坐 标 原 点 ， 若( , )O P O A O B R u u u r u 316 ，则该双曲线的离心率为 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 a，点1( , )在直线 1y 上，当 2n 时 ， 均有111 （ 1）求 （ 2）设 2 3,( 1) ! ab n求数列 n 项和本小题满分 12 分） 我市 “水稻良种研究所 ”对某水稻良种的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究。他们分别记 录了 3 月 21 日至 3 月 25 日的昼夜温差及每天 30 颗水稻种子 的发芽数，并得到如下资料 日期 3月 21日 3 月 22 日 3 月 23 日 3 月 24 日 3 月 25 日 温差 x（ 0C ） 10 11 13 12 9 发芽数 y(颗 ) 15 16 17 14 13 (1)请根据以上资料 ，求出 y 关于 x 的线性回归方程；据气象预报 3 月 26 日的昼夜温差为 140C ,请你预测 3 月 26 日浸泡的 30 颗水稻种子的发芽数（结果保留整数）。 (2)从 3 月 21 日至 3 月 25 日中任选 2 天，记种子发芽数超过 15 颗的天数为 X，求 X 的概率分布列，并求其数学期望 方差 (参考公式及参考数据 122y n x n x， a y ， 28 3 2 , 6 1 5i y x) 4 19. （本小题满分 12 分） 一个四棱椎的三视图如图所示： （ 1）请画出此四棱锥的直观图，并求证： （ 2）在线段 ，使二面角 平面角为 30o？若存在， 求 不存在，说明理由 20（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为 12，右焦点到右顶点的距离为 1 （ 1）求 椭圆 C 的标准方程； （ 2）是否存在与椭圆 C 交于 ,l ： ()y kx m k R，使得 22O A O B O A O B u u u ur u u u 存在，求出实数 m 的取值范围，若不存在，请说明由 . 21（本小题满分 12 分） 已知 3 2 2( ) 9 c o s 4 8 c o s 1 8 s i n ,f x x x x ( ) ( )g x f x ，且对任意的实数 t 均有 |(1 ) 0 , ( 3 s i n ) 0tg e g t ， （ 1）求 co s 2 co s 的值。 （ 2）若 321( ) 2 c o s c o x x x ，设 ( ) )h x x ，对于任意的 0,1x ，不等式( 1 ) ( 2 2 )h x m h x 恒成 立，求实数 m 的取值范围。 5 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。 22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图， A 、 B 是圆 O 上的两点， 120 C 是 的中点 （ 1）求证： 分 ； （ 2）延长 P 使得 ，连接 若圆 O 的半径 1R ，求 长 23. （本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方 程 在极坐标系中，直线 :与曲线 C: 相交于 A、 O 为极 点。 (1)求 （ 2）设把曲线 C 向左平移一个单位再经过伸缩变换 2得到曲线 C ，设 ( , )M x y 为曲线C 上任一点，求 2232x xy y的最小值，并 求相应点 M 的坐标 . 24（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 设函数 ( ) | 4 | | |f x x x a （ 1）若 () ，求 a 的值； （ 2）当 1a 时 , 若 21()( ) 2f x m 的定义域为 R ，求实数 m 的取值范围 6 参考答案 解析】本题考查集合的运算 . ， ，所以 所以，应选 A. 【备注】无 解析】本题考查等差数列的通项公式 , ， 5 个字母，所以 ，应选 B. 【备注】无 解析】本题考查系统抽样 题意可知 , ，所以 ，解得 ，所以 是最大的的编号，即 4968，应选 C. 【备注】无 解析】本题考查 程序框图 ，所以 A 错误，同理 ， D 第一个输出的是 14，所以应该选 B. 【备注】无 7 解析】本题考查零点存在性定理 . ， ， ， ，由零点存在性定理可知，零点应该在 内，应选 B. 【备注】无 解析】本题考查复数的运算以及定积分 . ，它为纯虚数，所以 ，d d ，表示单位圆的四分之一的面积为 ，所以 ，应选C. 【备注】无 解析】本题考查命题的否定，真假，以及集合的关系 . 中，全称命题的否定，变任意为存在，否定结论，所以 “ R，均有 0”的否定是： “ R，使得 ”，错误； 中，三个式子都是非负数， 所以要想让它们的和为 0，保证每一项为 0，所以解集就一个为 ，错误； p 至少有一个为真，不能得到 p 之成立，所以是必要不充分条件，正确； 中，这样的集合 ，正确，所以错误的有 2 个，应选 C. 【备注】无 解析】本题考查三角恒等变换 . 8 = = = = = = ， 又因为 ，所以 ， 解得 ，因为 ，所以 ， 所以 ，所以 ，应选 D. 【备注】无 解析】本题考查条件概率 . ， 为偶数有 ， ， , ， ， ， ， ， ， ， ，共有 18 种， 中有偶数且 有 6 种，所以 ， ，所以 ，应选 A. 【备注】无 解析】本题考查基本不等式，对数不等式的解法 所以当 时， 能取到最小值 5 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以当 时，满足题意，应选 A. 【备注】无 9 解析】本题考查导函数的几何意义 . = = = ，因为 在 处取得极小值 ，所以 ，所以 ， ，所以切线方程为 应选 C. 【备注】无 解析】本题考查函数的性质 = ，因为函数是增函数，所以 为减函数，所以当 时取得最大值，当 时取得最小值，是 奇函数，所以它在区间 上的最大值和最小值互为相反数，所以和为 0，所以= = = = ，应选 B. 【备注】无 13. 【解析】本题考查三角函数的定义 . ，解得 ，又因为 是第二象限角，所以 ，所以 . 【备注】无 10 【解析】本题考查线性规划和二项式定理 . 的展开式的通项公式为= = ，令 ，则 ，所以常数项为 ，所以最小值为 ，画出可行域，目标函数 表示点 与点 连线的斜率，在点 ，则 ，所以 斜率为 ，解得 【备注】无 15. 【解析】本题考查球与三棱柱内切的问题 以直径为三棱柱的高，球的半径为底面三角形的外接圆半径，因为 ，解得 ，所以底面三角形外接圆半径为 1= ，所以底面三角形的高为 ，底面边长为 ，所以底面面积为 ，所以表面积为【备注】无 16. 11 【解析】本题考查双曲线的简单几何性质以及平面向量基本定理 代入 = = ，可得 ，代入双曲线方程得 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以离心率为 【备注】 无 17.(1)点 在直线 上， 当 或 时 ,有 , 当 时 ,有 ， ， . 又 ， 因为 ，即 . (2) , 利用乘公比错位相减法求得 . 【解析】本题考查累加求通项以及错位相减法求和 特殊值得到 ，又有，得到 ，用累加法可得到 ，再用累乘法得到 ；第二问将第一问的结果代入后可一个差比数列，求和用错位相减法 . 【备注】无 12 18.(1)因为 所以 ,于是 , 故线性回归方程为 , 当 时 , ， 即 3 月 26 日浸泡的 30 颗水稻种子的发芽数 17 颗 . (2) 因为 X 0 1 2 P 所以 【解析】本题考查线性回归方程以及分布列和期望 而得到回归方程，再将 代入回归方程求出发芽数；第二问从表格中得到数据发芽数超过 15 颗的天数为 3，从 5 天中选 2 天，发芽数超过 15 颗的天的概率分别求出来，列出分布列，然后求期望 . 13 【备注】无 19.(1)由三视图可知 四棱锥，底面 连接 ，连接 B,D 为 以 平面 (2)由三视图可知， 2， 2 ，假设存在这样的点 Q， 因为 以 平面角， 在 2 ， ，则 60o， 在 ， 60o，且 P 所以 ， . 所以 . 【解析】本题考查三视图，线线垂直的证明，以及空间角 得到 以 平面 而得到结论；第二问因为 又二面角的定义可知， 可求的 利用相似可得比例关系 . 【备注】无 20.( )设椭圆 的方程为 ，半焦距为 . 依题意，由右焦点到右顶点的距离为 ，得 , 14 解得 ， 所以椭圆 的标准方程是 . ( )解：存在直线 ，使得 成立 由 得 . ，化简得 . 设 ，则 ， . 若 成立， 即 ，等价于 . 所以 . ， ， , 化简 得 . 将 代入 中， 得 ，解得 . 又由 ， ， 15 从而 ， 或 . 所以实数 的取值范围是 . 【解析】本题考查椭圆的标准方程以及直线与圆锥曲线的关系 得 到关于 的两个方程，求得 ，再通过 求得 ，可得到方程；第二问将直线和椭圆方程联立，得到两根之和与积，将条件 变形可得，转化为两根之和与两根之积，代入可得 再代入 中，可得到的取值范围 . 【备注】无 21.(1) , , 由题意知 在 恒成立 , 在 恒成立 , 故 .