2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(八)含答案

第 1 页，共 12 页 2016 年高考模拟试卷 (8) 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1 函数 ( ) 3 s i n c o sf x x x 的最小正周期为 . 2 已知复数 (2 )z i i，其中 i 是虚数单位，则复数 z 在复平面上对应的点位于第 象限 . 3双曲线 22 12的离心 率为 . 4在一次满分为 160 分的数学考试中，某班 40 名学生的考试成绩分布如下： 成绩（分） 80 分以下 80， 100） 100， 120） 120， 140） 140， 160 人数 8 8 12 10 2 在该班随机抽取一名学生，则该生在这次考试中成绩在 120 分以上的概率为 5 函数 2l n ( 2 ) 1y x x 的定义域为 . 6 如图，在平 行 四边形 ， D 相交于点 O， E 为线段 中点，若 （ R, ），则 . 7右图是一个算法流程图，则输出的 x 的值为 . 8 用长度为 24m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为 m . 9四棱锥 P 底面 底面 矩形 ， 2， 3， 3， 点 D 上一点 ， 则三棱锥 E 体积为 . 10 已知 函数 2()| | 2x ， ，则 2( 2 ) ( 3 4 )f x x f x 的解集是 . 11记 等差数列 n 项和为 已知1 3a，且数列 11a= . 12 在平面直角坐标系 ， 已知圆 C： 22( 3) 2 ，点 A 是 x 轴上的一个动点， 别切圆 C 于 P， Q 两点，则线段 的取值范围为 . 题图结束 开始 n 1 ， x 1 x y 2y 1 输出 x N （第 7 题） n 5 Y n n 1 第 2 页，共 12 页 13 已知 0， 且 2 ，则 413x y x y的最小值为 . 14 已知函数2( ) ( ) ( ) ( 0 )f x x a x b b ，不等式 ( ) ( )f x m x f x 对 恒成立，则 2m a b . 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定区域 内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 14 分 ） 在 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 ,. (1)若 92A求 的面积； (2)设向量 ( 2 s i n , 3 )2r ， ( c o s , c o s )2 且 求 )的值 . 16（本小题满分 14 分） 如图，四边形11边形11平面11平面11， E 分别为边11 （ 1）求证：1面1 （ 2）求证： 面1 17（本小题满分 14 分） 已知椭圆 1(ab0)的离心率 e22 ，一条准线方程为 x = 2过椭圆的上顶点 A 作一条与 x 轴、 y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点 P， P 关于 x 轴的对称点为 Q （ 1）求椭圆的方程； （ 2）若直线 x 轴 交点的横坐标分别为 m， n，求证： 常数，并求出此常数 C 1B 1A 1（ 第 16 题 ）x y O n m P Q A （第 18 题图） 第 3 页，共 12 页 O E D C B A 18（本小题满分 16分） 如图所示，某镇有一块空地 ，其中 3OA ， 33O B ， 90 . 当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖 ，其中 , 30M O N ，挖出的泥土堆放在 地带上形成假山，剩下的 地带开设儿童游乐场 . 为安全起见，需在 的一周安装防护网 . （ 1）当 32AM ，求防护网的总长度； （ 2）为节省投入资金，人工湖 的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使 的面积最小？ 最小面积是多少？ 19 （本小题满分 16 分） 已知函数 f(x) 1x a x b(a， b， 为实常数 ) (1)若 1， a 1 当 b 1 时，求函数 f(x)的图象在点 ( 2， f( 2)处的切线方程； 当 b 0 时，求函数 f(x)在 13， 12上的最大值 (2)若 1， b a，求证：不等式 f(x) 1 的解集构成的区间长度 D 为定值 20（本小题满分 16分） 已知数列 数列 ) ( ) ( )n n n n n S S n S S n N （ 1）若数列 且 0求数列 （ 2）若1 1a，2 3a ，且数列 21， 2 为公比的等比数列，求满足不等式2 2 1的所有正整数 n 的集合 第卷（附加题，共 40 分） 21 【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 共 4 小题， 请选定其中两小题 ， 并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A （选修：几何证明选讲） 如图， 圆 O 的切线， A 为切点， C 为线段 中点，过 C 作圆O 的割线 E 在 C， D 之间），求证： O A B M N 第 4 页，共 12 页 B （选修：矩阵与变换） 已知矩阵 03， A 的逆矩阵10311(1)求 a,b 的值； （ 2）求 A 的特征值 . C （选修：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系 ，已知曲线 C：2），直线 l：1210 ()3410 为 参 与直线 l 交于 A， B 两点，求线段 长度 . D （选修：不等式选讲） 已知 x,y,z 都是正数且 ,求证： (2+x)(2+y)(2+z)64. 【必 做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在 答题卡指定区域内作答 ，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22 (本小题满分 10 分 ) 在某次 活动中，有 5 名幸运之星这 5 名幸运之星可获得 A 、 B 两种奖品中的一种，并规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品 (骰子的六个面上 的点数分别为 1 点、 2 点、 3 点、 4 点、 5 点、 6 点），抛掷点数小于 3 的获得 A 奖品，抛掷点数不小于 3 的获得 B 奖品 （ 1）求这 5 名幸运之星中获得 A 奖品的人数大于获得 B 奖品的人数的概率； （ 2）设 X 、 Y 分别为获得 A 、 B 两种奖品的人数，并记 ，求随机变量 的分布列及数学期望 23 （ 本小题满分 10 分 ） 在平面直角坐标系 ，已知抛物 2 2 ( 0 )y p x p的准线方程为 1,4x 过点 M(0,抛物线的切线 点为 A（异于点 O) 与抛物线交于两点 B,C，与直线 . (1)求抛物线的方程 ; (2)试问 : C的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由 . 第 5 页，共 12 页 2016 年高考模拟试卷 (8) 参考答案 南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共 160 分） 一、填空题 1 . 2二 . 3 3 . 4 5 ( , 2) . 6. 34.【解析】由 1 1 1()2 4 2B E B O B A B D B A u u ur u u ur u u u ur u 得 34. 7 16. 8 3 .【解析】设隔墙的长度为 则矩形的面积为 2( 1 2 2 ) 2 1 2S x x x x ，可知当 x=3积最大 . 9 3 .【解析】 1 1 1 2 3 3 33 3 2 A D . 10（ 1,2） .【解析】10() 42 ，由 22202 3 4x x 得 1x2. 11 63 .【解析】可设2 , n B n a n b 平方比较系数得， B=b=0,故知 n ，结合 113，所以 23，则1 1 1 1 1 0 63a S S . 12 2 14 , 2 2 )3.【解析】设 CA=x,则 22 2 1 ( 3 , ) ) , 据此可得 2 1 4 222 . 13 94.【解析】令 3 , ( 0 , 0 )x y m x y n m n ，则问题转化为 4, 求 41最小值，而41( ) ( ) 9mn ，故知最小值为 9/4. 14 23 .【解析】2( ) ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 2 ) 0m x f x f x x b m x a b m a m b x a b ，可知 13m，进而( ) ( 2 ) 3 0x b a b x a b ，由于 0b 得 a=b，所以 2m a b2/3 . 二、解答题 15 （ 1）由 92，得 92 2 分 又因为 35，所以 92152 4 分 又 C 为 内角，所以 45 所以 面积 S 123 6 分 （ 2）因为 x/y，所以 23 3 8 分 第 6 页，共 12 页 因为 ，所以 3 因为 B 为三角形的内角，所以 B3 10 分 所以 A C 23，所以 A 23 C 所以 A) A) 3)12 分 1232 12 45 32 35 4 3 310 14 分 16 （ 1）四边形11 1A C A A C C 平 面又平面11平面11面11平面11 平面11 3 分 1面11 四边形1111C， 5 分 1B C I， 平面1面1 1面17 分 （ 2）取1，连 四边形11E， F 分别为1 平面1平面1 面19 分 又 D， F 分别为边11 平面1面1 面111 分 F FI ， 平面 平面 平面 面1 平面 面114 分 17 因为 22 ， = 2， 所以 a 2， c 1，所以 b 2 分 故椭圆的方程为 1 4 分 第 7 页，共 12 页 解法一 设 P 点坐标为 (则 Q 点坐标为 ( 因为 10 1所以直线 方程为 y 11 令 y = 0，解得 m 1. 7 分 因为 10 1以直线 方程为 y 11 令 y 0，解得 n 1 10 分 所以 1 1 又因为 (椭圆 1 上，所以 + y= 1，即 1 y= ， 12 分 所以 2，即 2 所以 常数，且常数为 2 14 分 解法二 设直线 斜率为 k(k 0)，则 方程为 y = 1， 令 y = 0，得 m 1k 7 分 联立方程组y = 1，+ 1， 消去 y，得 (1 2k2)40，解得 0， 4 2 所以 k1 1 22 则 Q 点的坐标为 ( 4 2 1 22 10 分 所以 1 221 4 212k，故直线 方程为 y 121 令 y 0，得 n 2k， 12 分 所以 ( k )( 2k) 2 所以 常数，常数为 2 14 分 18 （ 1）在 中，因为 3， 33， 90 ，所以 60 ， 在 中， 33 , , 6 02O A A M O A M ，由余弦定理，得 332 2 分 所以 2 2 2O M A M O A，即 N ， 4 分 所以 30 ，从而 为正三角形， 第 8 页，共 12 页 所以 的周长为 9，即防护网的总长度为 97 分 （2）设 ( 0 6 0 )A O M ，在 B O N 中 ， 据 正 弦 定 理 得332 ， 9 分 又在 中，由s i n 6 0 s i n ( 6 0 )O M O A ， 得 332 s i n ( 6 0 ) ， 11 分 所以 1 2 7s i n 3 02 1 6 s i n ( 6 0 ) c o M O N 13 分 271 3 38 ( s i n 2 c o s 2 )2 2 2278 s i n ( 2 6 0 ) 4 3 ， 所以当且仅当 2 6 0 9 0 ，即 15时， 的面积取最小值为 27(2 3)42. 答：当 分 时，可使 的面积最小，且最小值为 27(2 3)4216 分 19 (1) 当 b 1 时， f(x) 1x 1 1x 1 21， 则 f (x) 4x(1)2， 可得 f ( 2) 4 2， 又 f( 2) 2， 故 所求切线方程为 y 2 4 2(x 2)，即 4 2x y 10 0 当 1 时， f(x) 1x 1 1x b， 则 f (x) 1(x 1)2 1(x b)2 (x 1)2 (x b)2(x 1)2(x b)2 2(b 1)(x b 12 )(x 1)2(x b)2 因为 b 0， 则 b 1 0 ，且 b b 12 12 故当 b x b 12 时， f (x) 0， f(x)在 (b， b 12 )上单调递增 ； 当 b 12 x 12 时， f (x) 0， f(x)在 (b 12 ， 12 )单调递减 ( )当 b 12 13，即 b 13时， f(x)在 13， 12单调递减， 所以 f(x)f(13) 9b 92 6b； ( )当 13 b 12 12，即 13 b 0 时， f(x)f(b 12 ) 4b 1 综上所述， f(x)4b 1， 13 b 0，9b 92 6b， b 13(2) f(x)1即 1x a 1x b1 当 x b 时， x a 0， x b 0，此时解集为空集 当 a x b 时，不等式 (*)可化为 (x a) (x b)(x a)(x b)， 第 9 页，共 12 页 展开并整理得， (a b 2)x (a b)0， 设 g (x) (a b 2)x (a b)， 因为 (a b)2 4 0，所以 g (x)有两不同的零点，设为 x2( 又 g (a) b a 0， g (b) a b 0，且 b a， 因此 b a 所以 当 a x b 时，不等式 (a b 2)x (a b)0的解为 b x 当 x a 时，不等式 (*)可化为 (x a) (x b)(x a)(x b)， 展开并整理得， (a b 2)x (a b)0， 由 知，此时不等式的解为 a x 综上所述， f(x) 1 的解构成的区间为 (b， (a， 其长度为 (b) (a) a b a b 2 a b 2 故 不等式 f(x) 1 的解集构成的区间长度 D 为定值 2 20（ 1）设等差数列 d ， 所以11na a ，1 ( 1 )2n n a d，由112 ( ) ( ) ( )n n n n n S S n S S n N，得112 ( 2 )n n n n nb a S n S a ，及由 0 又由 0得 1 1 1 1( 1 )2 ( ) 2 ( 1 ) 02n d n a d n n a n n d a n d 对一切 n N 都成立，即 2 2 2 21 1 1 1 1( 3 2 ) 2 0d d n a d d a n a a d a 对一切 n N 都 成立令1n ， 2n ，解之得10,0,或11,1,经检验，符合题意， 所以 或 （ 2）由题意得 1212 ， 12 32，2 2 1 3 ( 2 1 ) 4 2 4n n ， 112 1 2 2 4 2 4 3 2 5 2 4n n nn n a 2 2 1 2 2 2 12 2 ( 2 )n n n n nb a S n S a 2 2 ( 4 2 4 ) 2 ( 8 2 8 2 )n n n 122 ( 2 9 4 ) 1 6nn 2 1 2 2 1 2 1 22 ( 2 1 ) ( 2 )n n n n nb a S n S a 1 1 1 16 2 ( 5 2 4 ) ( 2 1 ) ( 1 0 2 8 3 2 )n n n 112 ( 3 0 2 2 6 1 1 ) 1 6 8nn 1 2 1 12 2 1 2 ( 2 9 4 ) 1 6 2 ( 3 0 2 2 6 1 1 ) 1 6 8 n n n b n n n n 第 10 页，共 12 页 1 2 1552 ( 2 5 ) 8 2 8 2 ( 5 )22n n n 记21 52 8 2) ()2( 5nn ，即 15( ) 2 2 ( 5 ) 22 8n n ， 记 15( ) 2 ( 5 )22ng n n ， 则11 1 5 1 5( 1 ) ( ) 2 ( 5 ) 2 52 2 2 2n g n n n 1 252 n ， 当 1n ， 2， 3 时， ( 1) ( ) 0g n g n ， 当 *nN 时， 4n ， ( 1) ( )g n g n 1 2 5 02 n ， 因为 1n 时， 13(1) 02g ，所以 (4) 0g ；且 1(6) 02g ； 53(7) 02g 所以 15( ) 2 2 ( 5 ) 22 8n n 在 7( *) N 时也是单调递增， 1n 时， (1) 5 0f ； 2n 时， (2) 34 0f ； 3n 时， (3) 1 0 0 0f ； 4n 时， (4 ) 2 2 4 0f ； 5n 时， (5) 3 6 0 0f ； 6n 时， (6) 24 0f ； 7n 时， (7 ) 3 4 0 0 0f ， 所以满足条件的正整数 n 的集合为 1， 2， 3， 4， 5， 6 第卷（附加题，共 40分） 21A 因为 圆 O 的切线， 所以 2C A C E C D， 又 B ，所以 2C B C E C D， 即 B，又 B C D B C D ，所以 所以 B （ 1）因为 A A 1 3 02 a 13 0b 1 1 023 a 1 00 1 所以a 1，23 0解得 a 1， b 23 （ 2）由（ 1）得 A 3 02 1 ， 第 11 页，共 12 页 则 A 的特征多项式 f() 3 0 2 1 ( 3)( 1) 令 f() 0，解得 A 的特征值 1 1， 2 3 C 由 x s，y 去 s 得曲线 C 的普通方程为 y 由x 2 110t，y 4 310t 得直线 l 的普通方程为 y 3x 2 联立直线方程与曲线 C 的方程，即 y x2，y 3x 2， 解得交点的坐标分别为 (1， 1)， (2， 4) 所以线段 长度为 (2 1)2 (4 1)2 10 D 因为 x 为正数，所以 2 x2 2x 同理 2 y2 2y ， 2 z2 2z 所以 (2 x)( 2 y)( 2 z) 2 2 2 2 2 2 8 8x y z x y z