河北省张家口市2016届高三(上)期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，则（ B=（ ） A 0， 1 B 0 C 2， 4 D 2设 z（ 1+i） =i，则 |z|=（ ） A B C D 2 3若 =4，则 ） A B C D 4双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 3 5若 x（ 0， 1），则下列结论正确的是（ ） A B C D 6下列判断错误的是（ ） A “ “a b”的充分不必要条件 B命题 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0” C若 p， q 均为假命题，则 pq 为假命题 D函数 y=1 是幂函数 7把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将 图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A B C D 8已知等比数列 前 n 项和 a1+， a2+，则 =（ ） A 4n 1B 4n 1 C 2n 1D 2n 1 9执行如图所示的程序框图，若输出的 a 等于 341，则判断框内应填写（ ） 第 2 页（共 19 页） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 10从一个正方体中截去部分几何体，得到的剩余几何体的三视图如图，则此几何体的体积是（ ） A 64 B C D 11过抛物线 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点若 |3，则 面积为（ ） A B C D 2 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ 2 x） =f（ x），且在 0， 1）上单调递减，若方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有实数根，则方程 f（ x） =1 在区间 1， 7上所有实根之和是（ ） A 12 B 14 C 6 D 7 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1）， =（ 3， 2），若（ ） ，则 m 的值是 14设 x， y 满足的约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值为 15设二次函数 f（ x） =4x+c（ xR）的值域为 0， +），则 的最小值 为 16已知四面体 P ， B=4， ， ， 平面 四面体 P 接球的表面积为 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 第 3 页（共 19 页） （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 18已知锐角三角形 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c， a2+ （ 1）求角 C 的值； （ 2）设函数 ，且 f（ x）图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f（ A）的取值范围 19如图，四棱锥 P ， 正三角形，四边形 矩形，且面 面 ， （ ） 若点 E 是 中点，求证： 面 （ ） 若点 F 在线段 ，且 ，求三棱锥 B 体积 20设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为 A（ 0， 2），右焦点 F 与点 的距离为 2 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在经过点（ 0， 3）的直线 l，使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M， N 满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 4 （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）当 0 a 2 时，求函数 g（ x） =f（ x） 1 在区间 0， 3上的最小值 选做题 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 的直径， 点 H，与 O 交于点 C、 D，且 0， ， ， O 切于点 F， 于点 G （ ）证明： G； （ ）求 长 第 4 页（共 19 页） 选修 4标系与参数方程 23极坐标系的极点为直角坐标系 原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中长度单位相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2（ 斜率为 的直线 l 交 y 轴于点 E（ 0， 1） （ ）求曲线 C 的直角坐标方程，直线 l 的参数方程； （ ）直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 |值 选修 4等式选讲 24已知函数 f（ x） =|x+a|+|x 2| （ ）当 a= 3 时，求不等式 f（ x） 3 的解集； （ ）若 f（ x） |x 4|的解集包含 1， 2，求 a 的取值范 围 第 5 页（共 19 页） 2015年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求 . 1已知集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，则（ B=（ ） A 0， 1 B 0 C 2， 4 D 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 由集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4，知 x1，由此能求出（ B 【解答】 解： 集合 A=x|x 1， B=0， 1， 2， 4， x1， （ B=0， 1 故选 A 2设 z（ 1+i） =i，则 |z|=（ ） A B C D 2 【考点】 复数求模 【分析】 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z，再由复数模的计算公式得答案 【解答】 解： z（ 1+i） =i， ， 则 |z|= 故选： B 3若 =4，则 ） A B C D 【考点】 二倍角的正弦；同角三角函数间 的基本关系 【分析】 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以 1，将 1 用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求 【解答】 解： = = = 第 6 页（共 19 页） 故选 D 4双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线互相垂直，那么此双曲线的离心率是（ ） A B C 2 D 3 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，可得 a=b，由 a， b， c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值 【解答】 解：双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线方程为 y= x， 由两条渐近线互相垂直，可得 = 1， 可得 a=b，即有 c= = a， 可得离心率 e= = 故选： A 5若 x（ 0， 1），则下列结论正确的是（ ） A B C D 【考点】 不等式比较大小 【分析】 根据指数函数幂函数对数函数的图象与性质，得到不等式与 0， 1 的关 系，即可比较大小 【解答】 解： x（ 0， 1）， 0， 2x 1， 0 1， 2x 故选： C 6下列判断错误的是（ ） A “ “a b”的充分不必要条件 B命题 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0” C若 p， q 均为假命题，则 pq 为假命题 D函数 y=1 是幂函数 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 A根据充分条件和必要条件的定义进行 B根据含有量词的命题的否定，进行判断 C根据复合命题真假之间的关系进行判断 D根据幂函数的定义进行判断 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解： A若 m0，则 a b 成立，若 m=0，则 A 正确， B命题 “xR， 10”的否定是 “， x x 1 0”，故 B 正确， C若 p， q 均为假命题，则 pq 为假命题，故 C 正确， D函数 y=1 不是幂函数，故 D 错误， 故选： D 7把函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A B C D 【考点】 正弦函数的对称性 【分析】 先对函数 进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令 x+= 即可得到答案 【解答】 解： 图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 ； 再将图象向右平移 个单位，得函数 ，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知 是其图象的一条对称轴方程 故选 A 8已知等比数列 前 n 项和 a1+， a2+，则 =（ ） A 4n 1B 4n 1 C 2n 1D 2n 1 【考点】 等比数列的性质；等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列 前 n 项和 a1+， a2+，求出 q= ，可 得 可得出结论 【解答】 解： 等比数列 前 n 项和 a1+， a2+， 两式相除可得公比 q= ， ， 第 8 页（共 19 页） = ， =4（ 1 ）， =2n 1， 故选： D 9执行如图所示的程序框图，若输出的 a 等于 341，则判断框内应填写（ ） A k 4？ B k 5？ C k 6？ D k 7？ 【考点】 程序框图 【分析】 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】 解 ：当 k=1， a=0 时，应该满足继续循环的条件，则 a=1， k=2， 当 k=2， a=1 时，应该满足继续循环的条件，则 a=5， k=3， 当 k=3， a=5 时，应该满足继续循环的条件，则 a=21， k=4， 当 k=4， a=21 时，应该满足继续循环的条件，则 a=85， k=5， 当 k=5， a=85 时，应该满足继续循环的条件，则 a=3411， k=6， 当 k=6， a=341 时，应该不满足继续循环的条件， 故条件应为： k 6？， 故选： C 10从一个正方体中截去部分几何体，得到的剩余几何体的三视图如图，则此几何体的体积是（ ） A 64 B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 几何体为正方体切去一个小三棱锥得到的，使用作差法求出体积 第 9 页（共 19 页） 【解答】 解：由三视图可知几何体为正方体切去一个小三棱锥得到的，正方体的边长为 4，小三棱锥的底面直角边为 2，高为 2， 所以几何体的体积 V=43 = 故选 C 11过抛物线 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点， O 为坐标原点若 |3，则 面积为（ ） A B C D 2 【考点】 直线与圆锥曲 线的关系；抛物线的简单性质 【分析】 设直线 倾斜角为 ，利用 |3，可得点 A 到准线 l： x= 1的距离为 3，从而 ，进而可求 | |由此可求 面积 【解答】 解：设直线 倾斜角为 （ 0 ）及 |m， |3， 点 A 到准线 l： x= 1 的距离为 3 2+3 m=2+ ） 面积为 S= = 故选 C 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ 2 x） =f（ x），且在 0， 1）上单调递减，若方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有实数根，则方程 f（ x） =1 在区间 1， 7上所有实根之和是（ ） A 12 B 14 C 6 D 7 【考点】 根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用 【分析】 根据函数 f（ x）是奇函数，且满足 f（ 2 x） =f（ x），推出函数的周期性，然后判断方程 f（ x） = 1 在一个周期内实根的个数并求和，进而求出方程 f（ x） =1 在区间 1， 7上所有实根之和 【解答】 解：由 f（ 2 x） =f（ x）知函数 f（ x）的图象关于直线 x=1 对称， 由 f（ x）是 R 上的奇函数知 f（ 2 x） = f（ x 2）， f（ x 4） = f（ 4 x） 在 f（ 2 x） =f（ x）中，以 x 2 代 x 得： f（ 2（ x 2） =f（ x 2）即 f（ 4 x） =f（ x 2）， 所以 f（ x） =f（ 2 x） = f（ 4 x） =f（ x 4） 即 f（ x+4） =f（ x）， 所以 f（ x）是以 4 为周期的周期函数 考虑 f（ x）的一个周期，例如 1， 3， 由 f（ x）在 0， 1）上是减函数知 f（ x）在（ 1， 2上是增函数， 第 10 页（共 19 页） f（ x）在（ 1， 0上是减函数， f（ x）在 2， 3）上是增函数 对于奇函数 f（ x）有 f（ 0） =0， f（ 2） =f（ 2 2） =f（ 0） =0， 故当 x（ 0， 1）时， f（ x） f（ 0） =0，当 x（ 1， 2）时， f（ x） f（ 2）=0， 当 x（ 1， 0）时， f（ x） f（ 0） =0，当 x（ 2， 3）时， f（ x） f（ 2）=0， 方程 f（ x） = 1 在 0， 1）上有实数根， 则这实数根是唯一的，因为 f（ x）在（ 0， 1）上是单调函数， 则由于 f（ 2 x） =f（ x），故方程 f（ x） = 1 在（ 1， 2）上有唯一实数 在（ 1， 0）和（ 2， 3）上 f（ x） 0， 则方程 f（ x） = 1 在（ 1， 0）和（ 2， 3）上没有实数根 从而方程 f（ x） = 1 在一个周期内有且仅有两个实数根 当 x 1， 3，方程 f（ x） = 1 的两实数根之和为 x+2 x=2， 当 x 1， 7，方程 f（ x） = 1 的所有四个实数根之和为 x+2 x+4+x+4+2 x=2+8+2=12 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知向量 =（ 1， 2）， =（ m， 1）， =（ 3， 2），若（ ） ，则 m 的值是 3 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得 【解答】 解：若（ ） ，则（ ） =（ 1 m， 3） （ 3， 2） = 3 3m 6=0， 求得 m= 3， 故答案为： 3 14设 x， y 满足的约束条件 ，则 z=x+2y 的最大值为 7 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值 【解答】 解：作出不等式对应的平面区域， 由 z=x+2y，得 y= ， 平移直线 y= ，由图象可知当直线 y= 经过点 B 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大 由 ，得 ， 第 11 页（共 19 页） 即 B（ 3， 2）， 此时 z 的最大值为 z=1+23=1+6=7， 故答案为： 7 15设二次函数 f（ x） =4x+c（ xR）的值域为 0， +），则 的最小值为 3 【考点】 基本不等式；二次函数的性质 【分析】 先判断 a、 c 是正数，且 ，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值 【解答】 解： 二次函数 f（ x） =4x+c（ xR）的值域为 0， +）， a 0， =16 4， ，则 c 0， 2 =2 =3，当且仅当， = 时取到等号， 的最小值为 3 故答案为： 3 16已知四面体 P ， B=4， ， ， 平面 四面体 P 接球的表面积为 36 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 由题意算出 合勾股定理的逆定理得 平面 出 得 两互相垂直因此以 长、宽、高作长方体，该长方体的外接球就是四面体 P 外接球，根据长方体对角线公式算出外接球的直径，从而可得所求外接球的表面积 【解答】 解： ， ， ， ， 0=得 平面 面 长、宽、高， 作长方体如图所示 则该长方体的外接球就是四面体 P 外接球 长方体的对角线长为 =6 第 12 页（共 19 页） 长方体外接球的直径 2R=6，得 R=3 因此，四面体 P 外接球体积为 V=432=36 故答案为： 36 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17已知等差数列 足 ， a5+6，数列 前 n 项和 （ ）求 （ ）令 （ nN*），求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前 n 项和 【分析】 （ I）设等差数列 公差为 d，由 ， a5+6，可得 ，解出利用等差数列的前 n 项和公式即可得出； （ ） = = ，利用 “裂项求和 ”即可得出 【解答】 解：（ I）设等差数列 公差为 d， ， a5+6， ，解得 ， d=2 +2（ n 1） =2n+1 数列 前 n 项和 =n （ ） = = ， 数列 前 n 项和 + + = 18已知锐角三角形 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a， b， c， a2+ （ 1）求角 C 的值； 第 13 页（共 19 页） （ 2）设函数 ，且 f（ x）图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 f（ A）的取值范围 【考点】 余弦定理；由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 （ 1）利用正弦定理与余弦定理可求得 值，即可求得 C 的值； （ 2）化简函数，利用周期确定 ，进而可得函数的解析式，即可求 f（ A）的取值范围 【解答】 解：（ 1） 由正弦定理有： 由余弦定理有： a2+b2=1+ 又 a2+由 得 1+ ， 又 0 C ， C= ； （ 2） = x ） f（ x）图象上相邻两最高点间的距离为 ， T= =2 f（ x） = 2x ） f（ A） = 2A ） A ， 0 2A 0 2A ） 1 0 f（ A） 19如图，四棱锥 P ， 正三角形，四边形 矩形，且面 面 ， （ ） 若点 E 是 中点，求证： 面 （ ） 若点 F 在线段 ，且 ，求 三棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （ ）证 面 在平面 找到一条直线与 行，则连接 D=O，再连结 得 此结合线面平行的判定得答案； （ ）由 正三角形，可取 ，证得 面 B 于点 N，可得 面 同时求出 后求出三角形 三棱锥 B 体积转化为 F 体积， 代入棱锥的体积公式得答案 【解答】 （ ）证明：如图， 连接 D=O， 点 E 是 中点， 又 面 （ ）解： B=，取 中点 M ， 面 面 B， 面 作 点 N， 面 ， 四边形 矩形， 面 直角三角形， 又 ，可得 = = 20设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为 A（ 0， 2），右焦点 F 与点 的距离为 2 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）是否存在经过点（ 0， 3）的直线 l，使直线 l 与椭圆相交于不同的两点 M， N 满足 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由 【考点】 圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程 【分析】 （ 1）直接根据条件得到 以及 b=2；求出 2 即可得到椭圆的方程； （ 2）设直线 l 的方程为 y=3（ k0），由 |点 A 在线段 垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到 k 的屈指范围以及点 M， N 的坐标和 k 的关系，结合点 A 在线段 垂直平分线对应的斜率相乘等于 1即可求出结论 第 15 页（共 19 页） 【解答】 解：（ 1）依题意，设椭圆方程为 ， 则其右焦点坐标为 ，由 |2， 得 ，即 ，故 又 b=2， 2， 从而可得椭圆方程为 （ 2）由题意可设直线 l 的方程为 y=3（ k0），由 |点 A 在线段 垂直平分线上， 由 消去 y 得 （ 3） 2=12，即可得方程（ 1+385=0（ *） 当方程（ *）的 =（ 18k） 2 4（ 1+315=14460 0 即 时方程（ *）有两个不相等的实数根 设 M（ N（ 线段 中点 P（ 则 方程（ *）的两个不等的实根，故有 从而有 ， 于是，可得线段 中点 P 的坐标为 又由于 k0，因此直线 斜率为 ， 由 ，即 5+6，解得 ， ， 综上可知存在直线 l： 满足题意 21设函数 f（ x） =（ 1+x） 2 4 第 16 页（共 19 页） （ ）求 f（ x）的单调区间； （ ）当 0 a 2 时，求函数 g（ x） =f（ x） 1 在区间 0， 3上的最小值 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （ ）求出 g（ x）的导数，得到 g（ x）的单调区间，通过讨论 a 的范围，确定函数在闭区间上的最小值即可 【解答】 解：（ ）函数的定义域是（ 0， +）， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x 1，令 f（ x） 0，解得： 0 x 1， f（ x）在（ 0， 1）递减，在（ 1， +）递增； （ ） g（ x） =f（ x） 1=（ 2 a） x 4x 0）， g（ x） = ， 0 a 2， 2 a 0， 0， 令 g（ x） 0，解得： x ，令 g（ x） 0，解得： 0 x ， g（ x）在（ 0， ）递减，在（ ， +）递增； 当 0 3，即 0 a 时， g（ x）在（ 0， ）递减，在（ ，3）递增， g（ x） g（ =4 4 当 3，即 a 2 时， g（ x）在 0， 3递减， g（ x） g（ 3） =6 3a 4 综上， 0 a 时， g（ x） 4 a 2 时， g（ x） 3a 4 选做题 选修 4何证明选讲 22如图，已知 O 的直径， 点 H，与 O 交于点 C、 D，且 0， ， ， O 切于点 F， 于点 G （ ）证明： G； （ ）求 长 第 17 页（共 19 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ ）证明：连接 A， F， G， H 四点共圆，证明 可证明 G； （ ）求出 可求 长 【解答】 （ ）证明：连接 A， F， G， H 四 点共圆 由 切线知 点 H， G （ ）解： 8， G=4 ， H 4 选