高中数学必修一之知识讲解-单调性与最大(小)值-基础

1、单调性与最大（小）值【学习目标】1.理解函数的单调性定义；2.会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性【要点梳理】要点一、函数的单调性1增函数、减函数的概念一般地，设函数f(x)的定义域为a，区间da：如果对于d内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是增函数；如果对于d内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在区间d上是减函数.要点诠释：（1）属于定义域a内某个区间上；（2）任意两个自变量x,x且xx；1212（3）都有f(x)f(x)；1212.（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右

2、是上升的，减函数的图象从左向右是下降的2单调性与单调区间（1）单调区间的定义如果函数f(x)在区间d上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间d上具有单调性，d称为函数f(x)的单调区间.函数的单调性是函数在某个区间上的性质.要点诠释：单调区间与定义域的关系-单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；不能随意合并两个单调区间；有的函数不具有单调性.(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？基本方法：观察图形或依据定义.3函数的最大（小）值一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：(1)

3、对于任意的xi，都有f(x)m（或f(x)m）；(2)存在xi，使得f(x)=m，那么，我们称m是函数的最大值（或最小值）.00要点诠释：最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x，使f(x)等于最值；00对于定义域内的任意元素x，都有f(x)f(x)（或f(x)f(x)），“任意”两字不可省；00使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个；函数f(x)在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.4.证明函数单调性的步骤(1)取值.设x，x是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x0时，函数y=kx在定义域r是增函数；当k

4、0时，函数y=kx+b在定义域r是增函数；当k0时，函数y=在区间(-,0),(0,+)上是减函数；当k0，在区间(-，-若a0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1f(x)为减函数；若f(x)0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1f(x)为增函数.【典型例题】类型一、函数的单调性的证明【高清课堂：函数的单调性356705例1】例1.已知：函数f(x)=x+1x（1）讨论f(x)的单调性.（2）试作出f(x)的图象.【思路点拨】本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.【解析】（1）设x1，x2是定义域上的任意实数，且x1x2，则xxf(x)-f(x)

5、=x+112111-(x+)22x=(x-x)+(11211-)x2xx=(x-x)+x2-x12121xxxxxxxx12在区间(-,-1)上是增函数.1=(x-x)(1-)1212=(x-x)(x1x2-1)1212当x1x2-1时，x1-x20，10，故(x-x)(x1x2-1x1x2-1)0，即f(x)-f(x)0121212x1x2时有f(x1)f(x2)1f(x)=x+x当-1x1x20x1-x20，0x1x210x1x21xx-112xx120，即f(x1)-f(x2)0在区间(-1,0)上是减函数.同理：函数f(x)=x+在区间(0,1)是减函数,函数f(x)=x+在区间(1,

6、+)是增函数.x1f(x2)1f(x)=x+x11xx1（2）函数f(x)=x+的图象如下x【总结升华】（1）证明函数单调性要求使用定义；（2）如何比较两个量的大小？(作差)（3）如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】（2014福建南安期中）已知函数f(x)=ax(a0)x-1（）判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性，并用单调性的定义加以证明；（）若a=1，求函数f(x)在-1,上的值域212【答案】（）详见解析；（）-1,f(x)-f(x)=axx-1x-1(x-1)(x-1)13【解析】（）当a0时，任取-1xx1，12axa(x-x)2211-=,121212因

7、为x-10，x-10，1221(x-1)(x-1)所以a(x2-x1)0，得f(x)f(x)，故函数f(x)在(-1,1)上是减函数；1212（）当a=1时，由（1）得f(x)=xx-1在(-1,1)上是减函数,从而函数f(x)=x11在-,x-122上也是减函数，223f(x)min111=f()=-1,f(x)=f(-)=.max由此可得，函数f(x)在-11,上的值域为-1,【答案】（1）f(x)在-，上递减，在-,0上递增，在0,上递减，在，上递增.33331223类型二、求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)y=|x-1|+(x-2)2【思

8、路点拨】对x进行讨论，把绝对值和根号去掉，画出函数图象。-+22221+（2）f(x)在(-，上递减，在2，)上递增.【解析】(1)由图象对称性，画出草图f(x)在-，上递减，在-,0上递增，在0,上递减，在，上递增.3333(2)y=|x-1|+|x-2|=1(1x2)2x-3(x2)-+2222-2x+3(x1)图象为(1)y=|x+1|；(2)y=1；(3)y=【答案】（1）函数的减区间为(-,-1，函数的增区间为(-1，+)；（2）在-,+上为减1+f(x)在(-，上递减，在2，)上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：12x-1x2；（4）y=|x2-2x-3|.1122函

9、数；（3）y=1x2单调增区间为：(-，0)，单调减区间为(0，+)；(4)单调减区间是（-，-1），（1，3）；单调增区间是（-1，1），（3，+）【解析】(1)y=x+1(x-1)-x-1(xf(a+6)，求实数a的取值范围【思路点拨】抽象函数求字母取值范围的题目，最终一定要变形成f(x)f(y)的形式，再依据函数f(x)的单调性把f符号脱掉得到关于字母的不等式再求解。【答案】（1）f(a2+2)f(2a)；（2）a3或a0，所以a2+22a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2+2)f(2a)（2）因为f(x)是单调增函数，且f(a2)f(a+6)，所以a2a+6，解得a3或a-2

10、例4.求下列函数的值域：(1)y=2x-1x+2；1)x5，10；2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=-x2+2x+8；，2）(-，)(7，+)；（2）0,3；（3）-,+；（4）(-,191912(3)y=4x+3x-1-2；(4)y=x+1-2x.【思路点拨】(1)可应用函数的单调性；(2)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(3)由单调性求值域，此题也可换元解决；(4)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t的范围.【答案】（1）1）,71233【解析】y=2(x+2)-5=+2可看作是由y=左移2个单位，再上移2个单位得到，如图(1

11、)-5-5x+2x+2x2)y(-,f(1)(f(-3),+)即(-，)(7，+)；1)f(x)在5，10上单增，yf(5),f(10)即9,19；71213(2)y=-(x-1)2+9，(x-1)20，-(x-1)20，0-(x-1)2+99，y0,3；3x-10,x，经观察知，y在,+上单增，yf()=-，y-,+；(3)3333312112(4)令1-2x=t0y=1-t2111+t=-t2+t+=-(t-1)2+1,y(-,1.2222举一反三：【变式1】已知f(x)=3x2-12x+5,当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.（1）0，3；（2）-1，1；（3）3，+

12、）.【答案】（1）在区间0，3上，当x=2时，f(x)min=-7；当x=0时，f(x)max=5.（2）在区间-1，1上，当x=1时，f(x)min=-4；当x=-1时，f(x)max=20.（3）在区间3，+）上，当x=3时，f(x)min=-4；在这个区间上无最大值.【总结升华】由本例可知，作出二次函数的图象后，利用图象的形象直观很容易确定二次函数在闭区间上的单调性，由单调性不难求出二次函数在闭区间上的最值.因此，确定二次函数在所给的闭区间上的单调性是求二次函数在闭区间上的最大（小）值的关键.例5（2015西安周至县一模）已知函数f(x)=x2+2ax+2，x5，5，（1）当a=1时，求

13、f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间5，5上是单调函数【思路点拨】（1）先求出二次函数的对称轴，结合开口方向可知再对称轴处取最小值，在离对称轴较远的端点处取最大值；（2）要使y=f（x）在区间5，5上是单调函数，只需当区间5，5在对称轴的一侧时，即满足条件【解析】（1）f(x)=x2+2ax+2=(x+a)2+2-a2，其对称轴为x=a，当a=1时，f(x)=x2+2x+2，=所以当x=1时，f（x）minf（1）=12+2=1；当x=5时，即当a=1时，f（x）的最大值是37，最小值是1（2）当区间5，5在对称轴的一侧时，函数y=f（x）是单调函数所以a5或a5，即a5或a5，即实数a的取值范围是