2020_2021学年新教材高中数学第7章三角函数7.1.1任意角教学案含解析苏教版必修第一册20200907169.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册教学案含解析打包53套苏教版必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册教学案含解析打包53套苏教版必修第一册,文本
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7.1角与弧度7.1.1任意角学 习 目 标核 心 素 养1了解任意角的概念，了解两角的和、互为相反角和两角的差的概念2理解象限角的概念及终边相同的角的含义(重点)3掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养初中对角的定义是：射线oa绕端点o按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到0360范围内的角但是现实生活中随处可见超出0360范围的角例如体操中有“前空翻转体540”，主动轮和被动轮的旋转方向不一致，如何定义角才能解决这些问题呢？1任意角的概念(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转所形成的角负角按顺时针方向旋转所形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角思考1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？提示不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角(3)两角的和、互为相反角、两角的差：对于两个任意角，将角的终边旋转角(当是正角时，按逆时针方向旋转；当是负角时，按顺时针方向旋转；当是零角时，不旋转)，这时终边所对应的角称为与的和，记作射线oa绕端点o分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角角的相反角记为，于是有()2象限角与轴线角(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角(2)轴线角：终边在坐标轴上的角3终边相同的角与角终边相同的角的集合为|k360，kz思考2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？提示终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角的表示方法不唯一1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)180是第二象限角()(2)30是第四象限角()(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角()提示(1)180是轴线角(3)如375120，而375和120分别是第一、二象限内的角答案(1)(2)(3)2如图，角，240120是按逆时针方向旋转的，为240，是按顺时针方向旋转的，为1203与215角终边相同的角的集合可表示为|k360215，kz由终边相同的角的表示可知与215角终边相同的角的集合是|k360215，kz4将885化成k360(0360，kz)的形式是3360195设885k360，kz，易得8853360195角的概念辨析【例1】(1)下列结论：第一象限角是锐角；锐角是第一象限角；始边和终边重合的角是零角；钝角是第二象限角；小于90的角是锐角；第一象限角一定不是负角其中正确的结论是(填序号)(2)(一题两空)将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为思路点拨(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90的角(2)由正、负角的概念可得角的大小(1)(2)25395(1)400角是第一象限角，但不是锐角，故不正确；锐角是大于0且小于90的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，正确；不正确，因为360角的始边和终边也重合；钝角是大于90且小于180的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，正确；0角是小于90的角，但不是锐角，故不正确；300角是第一象限角，但300角是负角，故不正确(2)由角的定义可知，将35角的终边按顺时针方向旋转60所得的角度数为356025，将35角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为353603951解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别2任意角的概念的理解三个要素：顶点、始边、终边(1)用旋转的观点来定义角，可以把角的概念推广到任意角，包括任意大小的正角、负角和零角(2)对角的概念的认识，关键是抓住“旋转”二字3判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可1(一题两空)时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为，分针转过的角的度数为1001 200时针每小时转30，分针每小时转360，由于旋转方向均为顺时针方向，故转过的角度均为负值，又3小时20分等于小时，故时针转过的角度为30100；分针转过的角度为3601 200终边相同的角与象限角【例2】已知1 910(1)把写成k360(kz,0360)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200；(3)若与终边相同的最大负角、最小正角分别为1，2，求12思路点拨(1)把写成k360(kz,0360)的形式后，判断所在的象限即可(2)将写成k360(kz,0360)的形式，用观察法验证k的不同取值即可解(1)法一：1 9106360250，1 910角与250角终边相同，6360250，它是第三象限角法二：设k360(kz)，则1 910k360(kz)令1 910k3600，解得k5k的最大整数解为k6，相应的250，于是2506360，它是第三象限角(2)由(1)知令250k360(kz)，取k1，2就得到符合7200的角：250360110，250720470故110或470(3)因为与终边相同的角为k360250 (kz)所以取k1,0得与终边相同的最大负角为1110，最小正角为2250，所以121401把任意角化为k360(kz且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可用除法2要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值3终边相同的角常用的三个结论：(1)终边相同的角之间相差360的整数倍(2)终边在同一直线上的角之间相差180的整数倍(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90的整数倍提醒：kz，即k为整数这一条件不可少2在0360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)150；(2)650；(3)95015解(1)因为150360210，所以在0360范围内，与150角终边相同的角是210角，它是第三象限角(2)因为650360290，所以在0360范围内，与650角终边相同的角是290角，它是第四象限角(3)因为95015336012945，所以在0360范围内，与95015角终边相同的角是12945角，它是第二象限角3已知与330角的终边相同，判断是第几象限角解由k360330(kz)，可得k120110 (kz)若k 3n(nz)，则n360110(nz)，与110角的终边相同，是第二象限角；若k3n1(nz)，则n360230(nz)，与230角的终边相同，是第三象限角若k3n2(nz)，则n360350(nz)，与350角的终边相同，是第四象限角所以是第二或第三或第四象限角区域角的表示探究问题1第一象限内的角的集合能否用|090表示？为什么？提示不能，第一象限内的角未必是(0，90)的角，也可能是负角，也可能是大于360的角，其表示为|k36090k360，kz2终边落在x轴上的角如何表示？提示|k180，kz3若角，满足k180，kz，则角，的终边存在怎样的关系？提示角，的终边落在同一条直线上【例3】写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合思路点拨法一：先写出与30及105终边相同的角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可法二：分别写出与30及105的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可解法一：设终边落在阴影部分的角为，角的集合由两部分组成：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz，角的集合应当是集合与的并集：|k36030k360105，kz|k360210k360285，kz|2k180302k180105，kz|(2k1)18030(2k1)180105，kz|2k180302k180105或(2k1)18030(2k1)180105，kz|n18030n180105，nz法二：与30角终边在同一条直线上的角的集合为|k18030，kz与18075105角终边在同一条直线上的角的集合为|k180105，kz，结合图形可知，阴影部分的角的集合为|k18030k180105，kz1(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？解在0360范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60105与240285，所以所有满足题意的角为|k36060k360105，kz|k360240k360285，kz|2k180602k180105，kz|(2k1)18060(2k1)180105，kz|n18060n180105，nz故角的取值集合为|n18060n180105，nz2(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么与阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？解在0360范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150225，则所有满足条件的角为|k360150k360225，kz表示区间角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的360360范围内的角和，写出最简区间x|x，其中360；第三步：起始、终止边界对应角，再加上360的整数倍，即得区间角集合.4 如图所示，阴影部分内的角的集合s|210k36030k360，kz因为阴影部分含x轴正半轴，所以终边为oa的角为30k360，kz，终边为ob的角为210k360，kz所以终边在阴影部分内的角的集合为|210k36030k360，kz1本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是n及所在象限的判定2本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示(2)象限角及n、所在象限的判断3本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角(2)把任意角化为k360(kz，且0360)的形式，关键是确定k，可以用观察法(的绝对值较小)，也可以用除法(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0360内符合条件的角的范围，最后都加上k360，得到所求1(多选题)以下说法，其中正确的有()a75是第四象限角 b265是第三象限角c475是第二象限角d315是第一象限角abcd由终边相同角的概念知：a、b、c、d都正确2已知990630，且角与120角的终边相同，则960角与120角的终边相同，k360120，kz又990630，990k360120630，kz，即1 110k360750，kz，k3当k3时，(3)3601209603如图，射线oa先绕端点o逆时针方向旋转60到ob处，再按顺时针方向旋转820至oc处，则40aoc60(820)760，(760720)404已知角的终边在直线xy0上(1)写出角的集合s；(2)写出s中适合不等式360720的元素解(1)如图，直线xy0过原点，倾斜角为60，在0360范围内，终边落在射线oa上的角是60，终边落在射线ob上的角是240，所
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