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2020_2021学年新教材高中数学第九章解三角形单元质量评估含解析新人教B版必修第四册20201014139.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册课时分层作业含解析打包28套新人教B版必修第四册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册课时分层作业含解析打包28套新人教b版必修第四册,文本
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第九章单元质量评估一、单项选择题(每小题5分，共40分)1在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c.若a60，c2，b1，则a(b)a1 b. c2d3解析：由余弦定理得a2b2c22bccosa142123，从而a.2abc中，a2，a30，c45，则sabc(c)a.b2 c.1 d.(1)解析：abc180，b105，且sin105sin75sin(3045)sin30cos45cos30sin45.又由正弦定理：c2.sabcacsinb1.3在abc中，已知三边a，b，c满足a2abc2b2，则c等于(a)a. b. c. d.解析：由已知得a2b2c2ab，cosc，故c.故选a.4钝角三角形abc的面积是，ab1，bc，则ac(b)a5 b. c2d1解析：由题意可得abbcsinb，又ab1，bc，所以sinb，所以b45或b135，当b45时，由余弦定理可得ac1，此时acab1，bc，易得a90，与已知条件“钝角三角形”矛盾，舍去所以b135.由余弦定理可得ac.5abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.若abc的面积为，则c(c)a. b. c. d.解析：根据题意及三角形的面积公式知absinc，所以sinccosc，所以c.故选c.6已知abc的三边长分别为a，b，则此三角形中最大的内角为(c)a. b. c. d.或解析：因为a，b，所以abc中最大的边为，从而最大的内角为c，由余弦定理得cosc，所以c，故选c.7在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若tanb，则tanb(d)a. b.1 c2d2解析：由余弦定理得a2c2b22accosb，由，得accosb，所以tanb2.故选d.8如图所示，在坡度一定的山坡a处测得山顶上一建筑物cd的顶端c对于山坡的斜度为15， 向山顶前进100 m到达b处，又测得c对于山坡的斜度为45，若cd50 m，山坡的坡角为，则cos(c)a.b2 c.1 d.解析：在abc中，由正弦定理可知bc50()(m)在bcd中，由正弦定理可知sinbdc1.由题图可cossin(90)sinbdc1.故选c.二、多项选择题(每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9由下列条件求解abc，其中有两解的是(bd)aa10，b45，c75ba8，b6，b30ca30，c28，b60da4，b4，a45解析：a中，已知两角和一边，abc只有一解；c中，已知两边及夹角，abc只有一解；b中，asinb8sin304，asinbb6a，abc有两解；d中，bsina4sin4542，bsinaa4b4，abc有两解10若将直角三角形的三边都增加同样的长度，则对这个新三角形的形状的说法不正确的是(bcd)a锐角三角形b直角三角形 c钝角三角形d由增加的长度决定解析：设三边增加的长度均为x，原三角形的三边长分别为a，b，c，且c2a2b2，abc，新的三角形的三边长分别为ax，bx，cx，显然cx为最大边，其对应的角最大，而(ax)2(bx)2(cx)2x22(abc)x0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值大于0，则这个角为锐角，那么新的三角形为锐角三角形11在abc中，a，bc3，则abc的周长不可能为(abc)a4sin3b4sin3c6sin3d6sin3解析：a，bc3，设周长为x，由正弦定理，知，由合分比定理，知，即.2sinbsin(ab)x，即x323232323636sin.12在钝角三角形abc中，若sinasinbsinc，则下列关系不正确的是(abd)acosacosc0bcosbcosc0ccosacosb0dcosacosbcosc0解析：sinasinbsinc，c为钝角，cosc0，cosa0，cosb0，cosacosc0，cosbcosc0，cosacosb0，cosacosbcosc0.三、填空题(每小题5分，共20分)13在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c，已知a1，b45，sabc2，则abc外接圆的直径为5.解析：由题意得acsinb2，1csin452，c4.由余弦定理，得cosb，解得b5.由正弦定理，得2r，2r5.14如图所示，一块三角形土地abc，ad是一条小路，bc5 m，ac4 m，coscad，adbd，则该土地的面积是m2.解析：设cdx，则adbd5x.在cad中，由余弦定理，可知coscad，解得x1.cd1，adbd4.在cad中，由正弦定理，可知，sinc4.sabcacbcsinc45(m2)15在abc中，角a，b，c，的对边分别为a，b，c，b，且a22a(sinbcosb)40，b2，则a_2_，abc的面积为2.(本题第一空2分，第二空3分)解析：b，a22a(sinbcosb)4a22a()4a24a4(a2)20，a2.由余弦定理得b2a2c22accosb，284c22c，c4.sabcacsinb242.16设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是_.(写出所有正确命题的序号)若a2b2c2，则abc为锐角三角形；若abc123，则abc123；若sinasinb，则ab；若b2ac，则cos(ac)cosbcos2b1.解析：由a2b2c2，仅能判断c为锐角，a，b未知，错；由abc123，知a，b，c，abcsinasinbsinc112，错；由sinasinb，根据正弦定理得，即ab，则ab，正确；b2ac，由正弦定理得sin2bsinasinc，cos(ac)cosbcos2bcos(ac)cos(ac)cos2b2sinasinc12sin2b1，正确故填.四、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)在锐角abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且2asinbb.(1)求角a的大小；(2)若a6，bc8，求abc的面积解：(1)由2asinbb及正弦定理，得sina.因为a是锐角，所以a.(2)由余弦定理，得a2b2c22bccosa，即b2c2bc36.又bc8，所以bc.则abc的面积sbcsina.18(12分)设abc的内角a，b，c所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1.abc的面积为，求cosa与a的值解：由三角形面积公式，得31sina，故sina.因为sin2acos2a1，所以cosa.当cosa时，由余弦定理得a2b2c22bccosa32122138，所以a2.当cosa时，由余弦定理得a2b2c22bccosa3212213()12.所以a2.19(12分)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c.设(sinbsinc)2sin2asinbsinc.(1)求a；(2)若ab2c，求sinc.解：(1)由已知得sin2bsin2csin2asinbsinc，由正弦定理，得b2c2a2bc，由余弦定理，得cosa，0a180，a60.(2)由(1)知b120c，由已知及正弦定理，得sinasin(120c)2sinc，即coscsinc2sinc，cos(c60).0c120，sin(c60)，sincsin(c6060)sin(c60)cos60cos(c60)sin60.20(12分)在abc中，a，b，c分别为内角a，b，c的对边，且(sinbsincsina)(sinbsincsina)sinbsinc，b和c是关于x的方程x29x25cosa0的两根(bc)(1)求cosa的值；(2)判断abc的形状解：(1)由正弦定理得(bca)(bca)bc，即b2c2a2bc，由余弦定理得cosa.(2)由(1)知cosa，则方程x29x25cosa0可化为x29x200，解得x5或x4.bc，b5，c4，由余弦定理得a2b2c22bccosa9，a3.b2a2c2，abc为直角三角形21(12分)abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知asinbsina.(1)求b；(2)若abc为锐角三角形，且c1，求abc面积的取值范围解：(1)由已知及正弦定理得sinasinsinbsina.因为sina0，所以sinsinb.由abc180，可得sincos，故cos2sincos，因为cos0，所以sin，所以b60.(2)由已知及(1)知abc的面积sabca，又ac180b120，由正弦定理得a.由于abc为锐角三角形，故0a90，0c90.结合ac120，得30c90，所以a2，从而sabc.因此，abc面积的取值范围是.22(12分)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20 n mile的a处，并正以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30 min内(含30 min)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值解：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图，设小艇与轮船在c处相遇在rtoac中，oc20cos3010(n mile)，ac20sin3010 (n mile)又
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