三元一次方程组的消元策略

1、三元一次方程组的消元策略解三元一次方程组的基本思路是消元， 即化三元为二元， 从而转化为二元一次方程组求解，这里的关键是消元，解题若能根据题目的特点，灵活地进行消元，则可把方程组解得又准确又快捷，下面介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.策略一 若方程组中某个方程却某个元，则可从另外两个方程消去这个元，转化为二元一次方程求解x + 3y + 2z = 2,例 1解方程组2x - y = 7,3x + 2 y - 4z = 3.分析：由于方程中缺少z 项，所以先从、消去z.简解：× +，得 5x+8y=7.× 8+，得 21x=63，即 x=3，从而，得y=1.把 x=

2、3,y=1 代入，得 z=1.策略二若三个方程中均未缺元，但三个方程中同一未知数的系数的绝对值相等（或成倍数关系） ，可消去这个元，转化为二元一次方程组求解.2x + 4 y + 3z = 9,例 2解方程组3x - 2 y + 5z = 11,5x - 6 y + 7 z = 13.分析：由于三个方程中y 的系数成倍数关系，所以可先消去y.简解： +× 2，得 8x+13z=31.× 3- ，得 4x+8z=20，即 x+2z=5.由、解得x=-1,z=3 ，从而，得y = 1.2策略三若均非上述三种情况，可消去三个方程中同一未知数的系数绝对值的最小公倍数最小的那个元，转

3、化为二元一次方程组求解.2x + 3 y - 4z = 3,例 3解方程组3x + 4 y - 5z = 5,5x + 7 y + 6z = 23.分析：显然三个方程中x 的系数的最小公倍数为最小，应先消去未知数x.简解：× 3- × 2，得 y-2z=-1.× 5-× 2，得 y-32z=-31.由、解得y=1,z=1 ，从而 x=2.策略四对于一些特殊的三元一次方程组，可根据其特殊结构，灵活处理x + y = 1,解方程组 y + z = 6,例 4z + x = 3.分析：这里的三个方程是循环对称的， 故若将它们整体相加后再分别减去每个方程， 则可

4、直接得出方程组的解 .简解： + +，得 2x+2y+2z=10.即 x+y+z=5. 把分别剪去、，得z=4,x=-1,y=2.三元一次方程组解法分析解三元一次方程组的基本思路是：将三元一次方程组消元，转化为二元一次方程组或一元一次方程.通过解二元一次方程组或一元一次方程求到方程组的解.下面举例说明 .xyz26,例 1 解方程组 xy1,2x y z 18.分析：观察方程组中的三个方程，其中方程不含有未知数z，可通过 -，消去未知数 z，然后把所得到的方程与方程组合二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组可求到 x， y 的值，进而求到原方程组的解 .解： -，得 x-2y= -8 ，由，

5、组成方程组得xy 1,x2 y8x10,解这个方程组，得y 9把 x=10， y=9 代代入，得 z=7，x 10,所以方程组的解为y9,z7.评注：解三元一次方程组的基本思想是消元，在解题过程中，应根据方程组中方程的特点确定消元的方法.本题也可以采用消去未知数y 的方法得到关于 x、 z 的方程组求解 .xyz0,例 2 解方程组x2 yz3,2x 3y 2z 5. 分析：观察方程组的特点，方程，中x， z 的系数相等，若用 -可以直接求到 y的值，把所得的y 的值代入，并组成方程组，可得到关于x、 z 的二元一次方程组，解此方程组可得到x、z 的值 .解： -，得 y=3 ，把 y=3 代

6、入，得x z 3, 2x 2 z 14x2,解这个方程组，得z5x2,所以原方程组的解为y3,z5评注：解三元一次方程组，应注意观察其特点，根据特点灵活选择消元方法.本题也可以直接把代入进行消元，得到y 的值 .xy1,例 3 解方程组 yz6,zx3分析：方程组的各个方程中所含未知数个数相等，且未知数的系数都是1，如果将三个方程相加，则可得x+y+z=5 ，用 x+y+z=5 减去每个方程，可以得到方程组的解.解： + +，得 2(x+y+z)=10, 即 x+y+z=5 由 - ,得 z=4, - ,得 x=-1, - ,得 y=2.x1,所以方程组的解为y2,z4.评注 :本题采用整体代

7、入消元的方法得到方程组的解,这是一种比较简单的求解方法.实际上 ,本题也可以先用方程,消去 y,把所得到的方程和组成二元一次方程组求解.三元一次方程组消元八法消元是解三元一次方程组的关键， 若能根据各未知数系数的特点， 灵活地进行消元，则可以提高解题速度。下面介绍几种消元方法。一、先消系数最简单的未知数3xy2z3 ， 例 1解方程组2xy3z11，xyz12。 分析 三个方程中， y 的系数的绝对值都是1，所以先消去 y 比较简单。解+，得 5xz14 。，得 x 4z1。 5 ，得 19z19 ， z1。把 z 1代入，得 x 3。把 x 3 ， z 1代入，得 y 8 。二、先消某个方程

8、中缺少的未知数4x9z17 ，例 2解方程组 3xy15z18，x2 y3z2 。分析因为方程中缺少y，所以由先消去 y 比较简单。解 2得 5x27z34 。1 。再解由、组成的方程组，得x5 ， z1 代入，解得 y3把 x5 ， z2 。3三、先消去系数的绝对值相等（或成倍数关系）的未知数2x4y3z9 ，例 3解方程组3x2y5z11，5x6 y7z13 。分析三个方程中 y 的系数成倍数关系，因此先消去y 比较简单。解 + 2 ，得 8x13z31。 3，得 4x8z20 。、两个方程中 x 的系数成倍数关系，易消去x，由 2 ，得 3z9 ， z3 。把 z3 代入，得 x1 。把

9、 x1 ， z 3 代入，得 y1 。2四、整体代入消元xyz26 ，例 4解方程组xy1，2xzy18 ， 分析 将方程左边变形为含有方程、 左边代数式的形式， 作整体代入便可消元求解。解方程变形为：xyzxyy18 。把、代入，得261y18 。y9 。把y9 代入，得x91。x10 。把 x10 ， y9 代入，得z7 。五、整体加减消元3x2yz13 ，例 5解方程组x y2z7，2x3y z12。 分析观察三个方程中未知数 x、z 的系数特点，可用整体加减消元法来解。解 ，得 2y6 ， y3 。 并化简，得 xy5 。把 y3 代入，得 x2 。把代入，得5 2z7 。 z1。六、设比值参数消元x y =32，例 6解方程组y z=54，xyz 66 。分析方程组中前两个方程是比例式，可用设比值参数法消元求解。解设每一份为 k，则 x3k ， y2k ， z1.6k 。 把代入得 3k2k1.6k66。 k10 。则 x3 1030 ，y210 20，z 1.6 10 16 。七、轮换相加法xyz11 ，例 7解方程组 yzx5 ，zxy1。分析 观察发现每两个方程都有两对互为相反数， 故两两相加均可同时消去两个元。解将三个