第三讲分离变量法

1、整理课件第三讲第三讲 分离变量法分离变量法 分离变量法分离变量法是求解线性偏微分方程定解问题的普是求解线性偏微分方程定解问题的普遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。遍方法之一，它适用于各种类型的偏微分方程。 基本思想基本思想是将多元函数化为单元函数，将偏微分是将多元函数化为单元函数，将偏微分方程化为常微分方程进行求解。方程化为常微分方程进行求解。 具体做法具体做法是首先求出具有变量分离形式且满足边是首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线界条件的特解，然后由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数。性组合，最后由其余的定解条件确定叠

2、加系数。 由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的由于要将满足齐次偏微分方程和齐次边界条件的解通过变量分离解通过变量分离, , 将其转化为常微分方程的定解将其转化为常微分方程的定解问题问题. . 为此，我们首先复习为此，我们首先复习二阶线性常微分方程二阶线性常微分方程求解公式求解公式及及傅里叶级数傅里叶级数理论。理论。整理课件 一、基础知识一、基础知识整理课件2、傅立叶级数、傅立叶级数若函数若函数f(t)f(t)的周期为的周期为T=2LT=2L，则傅里叶展开式为，则傅里叶展开式为1021( ) (cossin)ntntnnLLnf taab,cos)(1LLLtnndttfLaLLLtnnd

3、ttfLbsin)(1整理课件狄利克雷收敛定理：狄利克雷收敛定理：若函数在一个周期内连续或只有有限个第一若函数在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点且在一个周期内至多只有有限个极类间断点且在一个周期内至多只有有限个极值点，则值点，则1 1、当、当x x是连续点时，级数收敛于该点的函数是连续点时，级数收敛于该点的函数值；值；2 2、当、当x x是间断点时，级数收敛于该点左右极是间断点时，级数收敛于该点左右极限的平均值。限的平均值。 整理课件 二. 有界弦的自由振动 例例1. 1. 研究两端固定均匀的自由振动研究两端固定均匀的自由振动.求解定解问题222220000,00,0,0( ),( ),

4、0 xx lttuuaxltxuutuuxxxlt特点特点: : 方程齐次方程齐次, , 边界齐次边界齐次. .整理课件 设设 且且 不恒为零，代入不恒为零，代入方程和边界条件中得方程和边界条件中得)()(),(tTxXtxu ),(txu 0 2 TXaXT 由由 不恒为零，有：不恒为零，有： ),(txu)()()()(2 tTatTxXxX XXTaT 2 取参数取参数整理课件 0)(0,(0) lXX成立成立 0)()( xXxX . . . 02 TaT 0)()(0)()0(tTlXtTX利用边界条件利用边界条件整理课件则则 0)(, 0)0(0 lXXXX 特征值问题 参数参数称

5、为称为特征值，特征值，下面分三种情形讨论特征值问题的求解下面分三种情形讨论特征值问题的求解函数函数X X( (x x) )称为称为特征函数。特征函数。整理课件 002121lleCeCCC 由边值条件 00212ClCC(i) 方程通解为 xxeCeCxX 21)(0 (ii) 时，通解 21)(CxCxX 0 由边值条件得：0)( xXC C1 1 = =C C 2 2=0=0 从而 ， 无意义. 0 , 0)(021 xXCC 无意义0 整理课件 由边值条件： 0sin021lCC 从而 0 l sin即： , 3 , 21,222，nln (iii） 时，通解 xCxCxX sincos

6、)(21 0 nl 故, 2 , 1,sin)(2 nxlnCxX而, 02 C得整理课件再求解T： 0)()(2222 tTlnatTnn 其解为 ltannltannnBAtT sincos)( 所以 ,sin)sincos(),(321nBAtxulxnlt annlt annn 两端两端固定固定弦本弦本的征的征振动振动叠加 lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1. . 整理课件代入初始条件得： 11)(sin)(sinnlxnlannnlxnnxBxA 将 展开为Fourier级数，比较系数得 )(),(xx llnnannalnllnlnndBdA0

7、202sin)(sin)( lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),( 1 定解问题的解是Fourier正弦级数，这是在 x0 0 和 x= =l 处的第一类齐次边界条件决定的。 整理课件0)()0(, 0)()0()()0( lll 则无穷级数解lxnlatnnlatnnnBAtxu sin)sincos(),(1 为如下混合问题的解 lxxulxxuuulxuautttlxxxxtt0)(0)(00000002 上， ，且 23)(,)(CxCx ,l0定理定理：若在区间整理课件解：令 , 得 )()(),(tTxXtxu 0)()( 0)(0)0 2 tTlXt

8、TXTXaXT化简: 002 )()( lXXXXTaT引入参数 得 XXTaT 2例2：研究两端自由棒的自由纵振动问题. )()(xuxuuuuautttlxxxxxxtt 0002000第二类边界条件第二类边界条件整理课件得C1 =C 2=0 从而 ，无意义 0)( xX分离变量： 0)()0(0 lXXXX 时， 0 xxeCeCxX 21)( 0)(0)(2121lleCeCCC 由边值条件02 TaT 整理课件(ii) 时, , 0 xDCxX00 )(000CxXlXX )()()(iii) 时, 0 xCxCxX sincos)(21 0sin012lCC 则 而 , 01 C.

9、), 2 , 1(0sin nnll lxnCxXln cos)(1222 由边值条件由边值条件从而整理课件本征值 ,222102 nln 本征函数 ,cos)(101 nlxnCxX T 的方程00 T002222 nTlanTnn 其解为 tBAtT000 )(,sincos)(21 nlatnBlatnAtTnnn 整理课件所以 tBAtxu000 ),(,cos)sincos(),(21 nlxnlatnBlatnAtxunnn 100nnnlxnlatnBlatnAtBAtxu cos)sincos(),(故代入初始条件: )(sin)(cos1010 xlxnBlanBxlxnAA

10、nnnn 将 展开为傅立叶余弦级数，比较系数得 )(),(xx lldlBdlA000000)(1)(1 lnlnndlnanBdlnlA00cos)(2cos)(2 解为傅立叶余弦级数，由端点处的二类齐次边界条件000 lxxxxuu决定.整理课件 三三. .有限长杆的热传导问题有限长杆的热传导问题 对于齐次热传导方程的定解问对于齐次热传导方程的定解问题题, , 其解题过程和波动方程的过程其解题过程和波动方程的过程类似类似. . 所以下面的例题我们仅给出所以下面的例题我们仅给出主要步骤主要步骤. .整理课件2000000( )0txxxx ltua uxltuuuf xxl，0其中其中 为给

11、定的函数为给定的函数. . f x例齐次热传导方程的定解问题例齐次热传导方程的定解问题 整理课件令令 )()(),(tTxXtxu 0)(0)0(0 lXXXX 02 TaT 代入方程及边界条件中代入方程及边界条件中, , 并引入参数并引入参数 得得 当当 或或 时时, , 0 0 0 )(xX特征值问题特征值问题当当 时时, , 0 xCxCxX sincos)(21 由边界条件由边界条件 0sin021lCC 整理课件从而从而 , 2 , 1,222 nln 特征函数为：特征函数为： , 2 , 1,sin)(2 nlxnCxX 整理课件T T 的方程的方程 02222 TlnaT 解得解

12、得 2222)(ltannCetT 所以所以 1sin,2222nltannlxneCtxu 整理课件将将 叠加叠加, , 利用初始条件确定系数利用初始条件确定系数,nux t21,sinnatlnnnu x tC exl将初始条件将初始条件 ( ,0)( )u xf x代入上式，得代入上式，得 )(sin1xfxlnCnn lnxdxlnxflC0sin2所以系数所以系数 整理课件分离变量流程图xxtuau20|0Lxxuu)(|0 xut)()(xXtTu0)() 0 (LXXXXTaT/ )/(2022TwaT02 XwX)exp(22twaATLkxX,sin)()(xXtTukkkk

13、kXTu),( txuu整理课件例细杆的热传导问题细杆的热传导问题 长为长为 的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的均匀细杆，设与细杆线垂直截面上各点的温度相等，侧面绝热，的温度相等，侧面绝热， 端绝热，端绝热， 端热量自端热量自由散发到周围介质中，介质温度恒为由散发到周围介质中，介质温度恒为0 0 ，初始温度为，初始温度为 求此杆的温度分布。求此杆的温度分布。 l0 xlx ),(x 解：定解问题为解：定解问题为 xuhuuutlxuautlxxxxxxt 002|0| )(, 0|)0,0(0整理课件设设 且且 ),()(),(tTxXtxu ,),(0 txu, 0 XX 02 TaT

14、, 0) 0( X. 0)()( lhXlX得本征值问题得本征值问题 0)()(, 0)0(0 lhXlXXXX 由由 及齐次边界条件，有及齐次边界条件，有 0 ),(txu整理课件当当 或或 时时, 0 0 0)( xX当 时, 0 xBxAxX sincos 由由 得得 0)()( lhXlX0cossin lhl 由由 得得 故故 0)0( X, 0 BxAxX cos)( 即即 ,tg hl 令令, lr ,hl rr tg有有函数方程整理课件ryry 2rytg 13r 2r 1r 1r2r3r图图 1 1由图由图1 1看出，函数方程看出，函数方程有成对的无穷多个实根有成对的无穷多个

15、实根,321rrr ,2222211 lrlrlrkk 故本征值为：故本征值为： 整理课件对应的本征函数 , 2 , 1,cos kxAxXkkk 的方程： tT02 TaT takkkeCtT2 解为故 1cos),(2kktakxeatxuk lnmnnmhhlnmxdxx02)(210coscos 可以证明函数系 在 上正交), 2 , 1(cos kxk , 0l由初始条件得由初始条件得 1cos)0 ,(kkkxaxxu )(x cosxk 将将 展成以展成以 为基底的付氏级数为基底的付氏级数，ka确定确定 lkkkdhhla02cos2 整理课件（二）利用边界条件（二）利用边界条件, ,得到特征值问题并求解得到特征值问题并求解 （三）将特征值代入另一常微分方程，（三）将特征值代入另一常微分方程， 得到得到